圓錐曲線的定義、概念與定理
圓錐曲線的定義、概念與定理
圓錐曲線包括橢圓，拋物線，雙曲線。那么你對圓錐曲線的定義了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于圓錐曲線的定義的內(nèi)容，希望大家喜歡!
圓錐曲線的定義
幾何觀點
用一個平面去截一個二次錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線(conic sections)。
通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴(yán)格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：
1) 當(dāng)平面與二次錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結(jié)果為拋物線。
2) 當(dāng)平面與二次錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結(jié)果退化為一條直線。
3) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點，結(jié)果為橢圓。
4) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點，并與圓錐的對稱軸垂直，結(jié)果為圓。
5) 當(dāng)平面只與二次錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點，結(jié)果為一點。
6) 當(dāng)平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點，結(jié)果為雙曲線(每一支為此二次錐面中的一個圓錐面與平面的交線)。
7) 當(dāng)平面與二次錐面兩側(cè)都相交，且過圓錐頂點，結(jié)果為兩條相交直線。
代數(shù)觀點
在笛卡爾平面上，二元二次方程 的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。
焦點--準(zhǔn)線觀點
(嚴(yán)格來講，這種觀點下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導(dǎo)出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質(zhì))。
給定一點P，一直線L以及一非負(fù)實常數(shù)e，則到P的距離與L距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。
根據(jù)e的范圍不同，曲線也各不相同。具體如下：
1) e=0，軌跡為圓(橢圓的特例);
2) e=1(即到P與到L距離相同)，軌跡為拋物線 ;
3) 0<e<1，軌跡為橢圓;
4) e>1，軌跡為雙曲線的一支。
圓錐曲線的概念
(以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質(zhì)，由于大部分性質(zhì)是在焦點-準(zhǔn)線觀點下定義的，對于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。)
考慮焦點--準(zhǔn)線觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點;定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線;固定的常數(shù)(即圓錐曲線上一點到焦點與準(zhǔn)線的距離比值)稱為圓錐曲線的離心率;焦點到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距;焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準(zhǔn)線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學(xué)中又稱為正焦弦。
圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。
類似圓，與圓錐曲線交于兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦;過焦點的弦稱為焦點弦。
對于同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點-準(zhǔn)線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準(zhǔn)線。而拋物線只有一個焦點和一條準(zhǔn)線。
圓錐曲線關(guān)于過焦點與準(zhǔn)線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對于橢圓和雙曲線，還關(guān)于焦點連線的垂直平分線對稱。
Pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等于該點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離乘以離心率。
Pascal定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形，若對邊兩兩不平行，則該六邊形對邊延長線的交點共線。(對于退化的情形也適用)
Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。
圓錐曲線的定理
由比利時數(shù)學(xué)家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準(zhǔn)線定義的等價性。
即有一以Q為頂點的圓錐(蛋筒)，有一平面π'(你也可以說是餅干)與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面π'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點，拋物線只有一個(或者另一個在無窮遠(yuǎn)處)，則切點為焦點。又球與圓錐之交為圓，設(shè)以此圓所在平面π與π'之交為直線d(曲線為圓時d為無窮遠(yuǎn)線)，則d為準(zhǔn)線。
圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點為焦點，d為準(zhǔn)線。
證：假設(shè)P為曲線上一點，聯(lián)線PQ交圓O于E。設(shè)平面π′與π的交角為α，圓錐的母線(如PQ)與平面π的交角為β。設(shè)P到平面π 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線(三垂線定理)，而∠PRH=α。因為PE、PF同為圓球之切線，得PE=PF。
如此則有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH
其中：PF/PR=sinα/sinβ為常數(shù)。
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