八年級上冊數(shù)學(xué)期末考試卷
八年級數(shù)學(xué)上冊期末考試的日子近了,面對機遇,不猶豫;面對抉擇,不彷徨;面對決戰(zhàn),不懼怕!祝你取得好成績,期待你的成功!小編整理了關(guān)于八年級上冊數(shù)學(xué)的期末考試卷,希望對大家有幫助!
八年級上冊數(shù)學(xué)期末考試卷題目
一、選擇題(本大題8個小題,每小題4分,共32分)
1.下面圖案中是軸對稱圖形的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.不能判斷兩個三個角形全等的條件是( )
A.有兩角及一邊對應(yīng)相等 B.有兩邊及夾角對應(yīng)相等
C.有三條邊對應(yīng)相等 D.有兩個角及夾邊對應(yīng)相等
3.已知等腰三角形的一邊等于4,一邊等于7,那么它的周長等于( )
A.12 B.18 C.12或21 D.15或18
4.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A.∠M=∠N B.AM=CN C.AB=CD D.AM∥CN
5.如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連接BE,則∠CBE等于( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
6.如圖,AC=AD,BC=BD,則有( )
A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD
C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
7.如圖,如果直線是多邊形的對稱軸,其中∠A=130°,∠B=110°,那么∠BCD的度數(shù)等于( )
A.60° B.50° C.40° D.70°
8.如圖的2×4的正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點都在小正方形的格點上,這樣的三角形稱為格點三角形,在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
二、填空題(本大題10個小題,每小題4分,共40分)
9.寫出一個你熟悉的軸對稱圖形的名稱: .
10.如果△ABC≌△DEC,∠B=60°,∠C=40°,那么∠E= °.
11.如圖,△ABC≌△DEF,請根據(jù)圖中提供的信息,寫出x= .
12.如圖,AB∥DC,請你添加一個條件使得△ABD≌△CDB,可添條件是 .(添一個即可)
13.將一張長方形紙片如圖所示折疊后,再展開.如果∠1=56°,那么∠2= .
14.如圖,用直尺和圓規(guī)畫∠AOB的平分線OE,其理論依據(jù)是 .
15.如圖,OP平分∠AOB,PB⊥OB,OA=8cm,PB=3cm,則△POA的面積等于 cm2.
16.如圖,DE是△ABC邊AC的垂直平分線,若BC=18cm,AB=10cm,則△ABD的周長為 .
17.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是三角形的角平分線,交AC于點D,AD=2.2cm,AC=3.7cm,則點D到AB邊的距離是 cm.
18.如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F.
(1)若△AEF的周長為10cm,則BC的長為 cm.
(2)若∠EAF=100°,則∠BAC .
三、解答題(本大題8個小題,共78分)
19.如圖,在△ABC和△ABD中,AC與BD相交于點E,AD=BC,∠DAB=∠CBA,求證:AC=BD.
20.如圖,△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱,點E、F在線段AC上,且AF=CE.
求證:FD=BE.
21.已知,如圖,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,試問:DE和DF相等嗎?說明理由.
22.在圖示的方格紙中
(1)作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1;
(2)說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的?
23.尺規(guī)作圖:
(1)如圖(1),已知:點A和直線l.求作:點A′,使點A′和點A關(guān)于直線l對稱.
(2)如圖(2),已知:線段a,∠α.求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
24.如圖,已知直線l及其兩側(cè)兩點A、B.
(1)在直線l上求一點O,使到A、B兩點距離之和最短;
(2)在直線l上求一點P,使PA=PB;
(3)在直線l上求一點Q,使l平分∠AQB.
25.如圖①A、E、F、C在一條直線上,AE=CF,過E、F分別作DE⊥AC,B F⊥AC,若AB=CD.
(1)圖①中有 對全等三角形,并把它們寫出來.
(2)求證:G是BD的中點.
(3)若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變?yōu)閳D②時,其余條件不變,第(2)題中的結(jié)論是否成立?如果成立,請予證明.
八年級上冊數(shù)學(xué)期末考試卷參考答案
一、選擇題(本大題8個小題,每小題4分,共32分)
1.下面圖案中是軸對稱圖形的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念:關(guān)于某條直線對稱的圖形叫軸對稱圖形,進而判斷得出即可.
【解答】解:第1,2個圖形沿某條直線折疊后直線兩旁的部分能夠完全重合,是軸對稱圖形,
故軸對稱圖形一共有2個.
故選:B.
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形,軸對稱的關(guān)鍵是尋找對稱軸,兩邊圖象折疊后可重合.
2.不能判斷兩個三個角形全等的條件是( )
A.有兩角及一邊對應(yīng)相等 B.有兩邊及夾角對應(yīng)相等
C.有三條邊對應(yīng)相等 D.有兩個角及夾邊對應(yīng)相等
【考點】全等三角形的判定.
【分析】全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.
【解答】解:A、不符合全等三角形的判定定理,故本選項正確;
B、符合全等三角形的判定定理SAS,故本選項錯誤;
C、符合全等三角形的判定定理SSS,故本選項錯誤;
D、符合全等三角形的判定定理ASA,故本選項錯誤;
故選A.
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.
3.已知等腰三角形的一邊等于4,一邊等于7,那么它的周長等于( )
A.12 B.18 C.12或21 D.15或18
【考點】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)等腰三角形的定義,可得第三邊的長,根據(jù)三角形的周長,可得答案.
【解答】解:腰長是4時,周長是4+4+7=15,
腰長是7時,周長是7+7+4=18,
綜上所述:周長是15或18,故選;D.
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),利用了等腰三角形的性質(zhì).
4.如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A.∠M=∠N B.AM=CN C.AB=CD D.AM∥CN
【考點】全等三角形的判定.
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)普通三角形全等的判定定理,有AAS、SSS、ASA、SAS四種.逐條驗證.
【解答】解:A、∠M=∠N,符合ASA,能判定△ABM≌△CDN,故A選項不符合題意;
B、根據(jù)條件AM=CN,MB=ND,∠MBA=∠NDC,不能判定△ABM≌△CDN,故B選項符合題意;
C、AB=CD,符合SAS,能判定△ABM≌△CDN,故C選項不符合題意;
D、AM∥CN,得出∠MAB=∠NCD,符合AAS,能判定△ABM≌△CDN,故D選項不符合題意.
故選:B.
【點評】本題重點考查了三角形全等的判定定理,普通兩個三角形全等共有四個定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,本題是一道較為簡單的題目.
5.如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,連接BE,則∠CBE等于( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】先根據(jù)△ABC中,AB=AC,∠A=20°求出∠ABC的度數(shù),再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可求出AE=BE,即∠A=∠ABE=20°即可解答.
【解答】解:∵等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°,∴∠ABC= =80°,
∵DE是線段AB垂直平分線的交點,
∴AE=BE,∠A=∠ABE=20°,
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°.
故選C.
【點評】此題主要考查線段的垂直平分線及等腰三角形的性質(zhì)等幾何知識.線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.
6.如圖,AC=AD,BC=BD,則有( )
A.CD垂直平分AB B.AB垂直平分CD
C.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)題意得出AB是線段CD的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵AC=AD,BC=BD,
∴AB是線段CD的垂直平分線.
故選B.
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì),熟知線段垂直平分線上任意一點,到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
7.如圖,如果直線是多邊形的對稱軸,其中∠A=130°,∠B=110°,那么∠BCD的度數(shù)等于( )
A.60° B.50° C.40° D.70°
【考點】軸對稱的性質(zhì).
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的特點,且直線m把多邊形ABCDE分成二個四邊形,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°,通過計算便可解決問題.
【解答】解:把AE與直線m的交點記作F,
∵在四邊形ABCF中,∠A=130°,∠B=110°,且直線m是多邊形的對稱軸;
∴∠BCD=2∠BCF=2×(360°﹣130°﹣110°﹣90°)=60°.
故選A
【點評】此題考查了軸對稱圖形和四邊形的內(nèi)角和,關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱圖形的特點解答.
8.如圖的2×4的正方形網(wǎng)格中,△ABC的頂點都在小正方形的格點上,這樣的三角形稱為格點三角形,在網(wǎng)格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】軸對稱的性質(zhì).
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】根據(jù)題意畫出圖形,找出對稱軸及相應(yīng)的三角形即可.
【解答】解:如圖:
共3個,
故選B.
【點評】本題考查的是軸對稱圖形,根據(jù)題意作出圖形是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題10個小題,每小題4分,共40分)
9.寫出一個你熟悉的軸對稱圖形的名稱: 圓、矩形 .
【考點】軸對稱圖形.
【專題】開放型.
【分析】關(guān)于某條直線對稱的圖形叫軸對稱圖形.
【解答】解:結(jié)合所學(xué)過的圖形的性質(zhì),則有線段,等腰三角形,矩形,菱形,正方形,圓等.
故答案為:圓、矩形等.
【點評】考查了軸對稱圖形的概念,需能夠正確分析所學(xué)過的圖形的對稱性.
10.如果△ABC≌△DEC,∠B=60°,∠C=40°,那么∠E= 60 °.
【考點】全等三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠E=∠B,代入求出即可.
【解答】解:∵△ABC≌△DEC,∠B=60°,∠C=40°,
∴∠E=∠B=60°,
故答案為:60.
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,注意:全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等.
11.如圖,△ABC≌△DEF,請根據(jù)圖中提供的信息,寫出x= 20 .
【考點】全等三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=70°,然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等解答.
【解答】解:如圖,∠A=180°﹣50°﹣60°=70°,
∵△ABC≌△DEF,
∴EF=BC=20,
即x=20.
故答案為:20.
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì),根據(jù)角度確定出全等三角形的對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵.
12.如圖,AB∥DC,請你添加一個條件使得△ABD≌△CDB,可添條件是 AB=CD等(答案不唯一) .(添一個即可)
【考點】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】由已知二線平行,得到一對角對應(yīng)相等,圖形中又有公共邊,具備了一組邊和一組角對應(yīng)相等,還缺少邊或角對應(yīng)相等的條件,結(jié)合判定方法及圖形進行選擇即可.
【解答】解:∵AB∥DC,
∴∠ABD=∠CDB,又BD=BD,
①若添加AB=CD,利用SAS可證兩三角形全等;
?、谌籼砑覣D∥BC,利用ASA可證兩三角形全等.(答案不唯一)
故填A(yù)B=CD等(答案不唯一)
【點評】本題考查三角形全等的判定方法;判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時注意:AAA、SSA不能判定兩個三角形全等,不能添加,根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)健.
13.將一張長方形紙片如圖所示折疊后,再展開.如果∠1=56°,那么∠2= 68° .
【考點】翻折變換(折疊問題).
【分析】根據(jù)∠1=56°和軸對稱的性質(zhì),得∠ABC=2∠1,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.
【解答】解:根據(jù)軸對稱的性質(zhì),得
∠ABC=2∠1=112°.
∵AB∥CD,
∴∠2=180°﹣112°=68°.
【點評】此題主要是運用了軸對稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì).
14.如圖,用直尺和圓規(guī)畫∠AOB的平分線OE,其理論依據(jù)是 全等三角形,對應(yīng)角相等 .
【考點】作圖—基本作圖;全等三角形的判定.
【分析】首先連接CE、DE,然后證明△OCE≌△ODE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AOE=∠BOE.
【解答】解:連接CE、DE,
在△OCE和△ODE中,
,
∴△OCE≌△ODE(SSS),
∴∠AOE=∠BOE.
因此畫∠AOB的平分線OE,其理論依據(jù)是:全等三角形,對應(yīng)角相等.
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是掌握證明三角形全等的方法.
15.如圖,OP平分∠AOB,PB⊥OB,OA=8cm,PB=3cm,則△POA的面積等于 12 cm2.
【考點】角平分線的性質(zhì).
【分析】過點P作PD⊥OA于點D,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PD的長,再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.
【解答】解:過點P作PD⊥OA于點D,
∵OP平分∠AOB,PB⊥OB,PB=3cm,
∴PD=PB=3cm,
∵OA=8cm,
∴S△POA= OA•PD= ×8×3=12cm2.
故答案為:12.
【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.
16.如圖,DE是△ABC邊AC的垂直平分線,若BC=18cm,AB=10cm,則△ABD的周長為 28cm .
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】由DE是△ABC邊AC的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),可得AD=CD,繼而可得△ABD的周長等于AB+BC.
【解答】解:∵DE是△ABC邊AC的垂直平分線,
∴AD=CD,
∵BC=18cm,AB=10cm,
∴△ABD的周長為:AB+BD+AD=AB+BC+CD=AB+BC=28cm.
故答案為:28cm.
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).此題比較簡單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
17.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是三角形的角平分線,交AC于點D,AD=2.2cm,AC=3.7cm,則點D到AB邊的距離是 1.5 cm.
【考點】角平分線的性質(zhì).
【分析】過點D作DE⊥AB于E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD.
【解答】解:如圖,過點D作DE⊥AB于E,
∵AD=2.2cm,AC=3.7cm,
∴CD=1.5cm,
∵BD是∠ABC的平分線,∠C=90°,
∴DE=CD=1.5cm,
即點D到直線AB的距離是1.5cm.
故答案為:1.5.
【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
18.如圖,在△ABC中,AB、AC的垂直平分線分別交BC于點E、F.
(1)若△AEF的周長為10cm,則BC的長為 10 cm.
(2)若∠EAF=100°,則∠BAC 1400 .
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及△AEF的周長即可得出BC的長,
(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠AEF+∠AFE=80°;根據(jù)垂直平分線性質(zhì),以及外角的性質(zhì)即可得出∠BAC的度數(shù).
【解答】解:(1)∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線,
∴AE=BE,AF=CF,
∵△AEF的周長為10cm,
∴AC=10cm;
(2)∵∠EAF=100°,
∴∠AEF+∠AFE=80°,
∵ED、FG分別是AB、AC的垂直平分線,
∴EA=EB,F(xiàn)A=FC,
∴∠AEF=2∠EAB,∠AFE=2∠CAF,
∴∠BAC=∠EAF+∠EAB+∠FAC=100°+∠EAB+∠CAF=100°+ (∠AEF+∠AFE)=140°.
故答案為:10,140°.
【點評】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識,線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等,以及外角的性質(zhì),難度適中.
三、解答題(本大題8個小題,共78分)
19.如圖,在△ABC和△ABD中,AC與BD相交于點E,AD=BC,∠DAB=∠CBA,求證:AC=BD.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)“SAS”可證明△ADB≌△BAC,由全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=BD.
【解答】證明:在△ADB和△BAC中,
,
∴△ADB≌△BAC(SAS),
∴AC=BD.
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時,關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
20.如圖,△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱,點E、F在線段AC上,且AF=CE.
求證:FD=BE.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì);中心對稱.
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】根據(jù)中心對稱得出OB=OD,OA=OC,求出OF=OE,根據(jù)SAS推出△DOF≌△BOE即可.
【解答】證明:∵△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱,
∴OB=OD,OA=OC,
∵AF=CE,
∴OF=OE,
∵在△DOF和△BOE中
∴△DOF≌△BOE(SAS),
∴FD=BE.
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,中心對稱的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力.
21.已知,如圖,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,試問:DE和DF相等嗎?說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】常規(guī)題型.
【分析】連接AD,易證△ACD≌△ABD,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)可得∠EAD=∠FAD,再根據(jù)∠AED=∠AFD,AD=AD,即可證明△ADE≌△ADF,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)可得DE=DF.
【解答】證明:
連接AD,在△ACD和△ABD中, ,
∴ACD≌△ABD(SSS),
∵DE⊥AE,DF⊥AF,
∴∠AED=∠AFD=90°,
∴在△ADE和△ADF中, ,
∴△ADE≌△ADF,
∴DE=DF.
【點評】本題考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì).
22.在圖示的方格紙中
(1)作出△ABC關(guān)于MN對稱的圖形△A1B1C1;
(2)說明△A2B2C2是由△A1B1C1經(jīng)過怎樣的平移得到的?
【考點】作圖-軸對稱變換;作圖-平移變換.
【專題】作圖題.
【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于MN的對稱點A1、B1、C1的位置,然后順次連接即可;
(2)根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合圖形解答.
【解答】解:(1)△A1B1C1如圖所示;
(2)向右平移6個單位,再向下平移2個單位(或向下平移2個單位,再向右平移6個單位).
【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖,利用平移變換作圖,熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置以及變化情況是解題的關(guān)鍵.
23.尺規(guī)作圖:
(1)如圖(1),已知:點A和直線l.求作:點A′,使點A′和點A關(guān)于直線l對稱.
(2)如圖(2),已知:線段a,∠α.求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
【考點】作圖-軸對稱變換.
【專題】作圖題.
【分析】(1)過點A作直線l的垂線,再截取AA′,使直線l平分AA′;
(2)作∠B=∠α,然后取AB=a,以點A為圓心,以a為半徑畫弧,與∠B的另一邊相交于點C,連接AC即可.
【解答】解:(1)如圖所示;
(2)△ABC如圖所示.
【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖,作一個角等于已知角,都是基本作圖,需熟記.
24.如圖,已知直線l及其兩側(cè)兩點A、B.
(1)在直線l上求一點O,使到A、B兩點距離之和最短;
(2)在直線l上求一點P,使PA=PB;
(3)在直線l上求一點Q,使l平分∠AQB.
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì);線段的性質(zhì):兩點之間線段最短;角平分線的性質(zhì).
【專題】作圖題.
【分析】(1)根據(jù)兩點之間線段最短,連接AB,線段AB交直線l于點O,則O為所求點;
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB,在作出線段AB的垂直平分線即可;
(3)作B關(guān)于直線l的對稱點B′,連接AB′交直線l與點Q,連接BQ,由三角形全等的判定定理求出△BDQ≌△B′DQ,再由全等三角形的性質(zhì)可得出∠BQD=∠B′QD,即直線l平分∠AQB.
【解答】解:(1)連接AB,線段AB交直線l于點O,
∵點A、O、B在一條直線上,
∴O點即為所求點;
(2)連接AB,
分別以A、B兩點為圓心,以任意長為半徑作圓,兩圓相交于C、D兩點,連接CD與直線l相交于P點,
連接BD、AD、BP、AP、BC、AC,
∵BD=AD=BC=AC,
∴△BCD≌△ACD,
∴∠BED=∠AED=90°,
∴CD是線段AB的垂直平分線,
∵P是CD上的點,
∴PA=PB;
(3)作B關(guān)于直線l的對稱點B′,連接AB′交直線l與點Q,連接BQ,
∵B與B′兩點關(guān)于直線l對稱,
∴BD=B′D,DQ=DQ,∠BDQ=∠B′DQ,
∴△BDQ≌△B′DQ,
∴∠BQD=∠B′QD,即直線l平分∠AQB.
【點評】本題考查的是兩點之間線段最短、線段垂直平分線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì),熟知各題的知識點是解答此題的關(guān)鍵.
25.如圖①A、E、F、C在一條直線上,AE=CF,過E、F分別作DE⊥AC,B F⊥AC,若AB=CD.
(1)圖①中有 3 對全等三角形,并把它們寫出來.
(2)求證:G是BD的中點.
(3)若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變?yōu)閳D②時,其余條件不變,第(2)題中的結(jié)論是否成立?如果成立,請予證明.
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理即可直接寫出;
(2)首先證明△ABF≌△CDE,得到BF=DG,然后證明△DEG≌△BFG即可證得;
(3)與(2)證明方法相同.
【解答】解:(1)圖①中全等三角形有:△ABF≌△CDE,△ABG≌△CDG,△BFG≌△DEG.
故答案是:3;
(2)∵AE=CF,
∴AF=CE,
∴在直角△ABF和直角△CDE中, ,
∴△ABF≌△CDE,
∴BF=DE,
在△DEG和△BFG中, ,
∴△DEG≌△BFG,
∴BG=DG,即G是BD的中點;
(3)結(jié)論仍成立.
理由是:)∵AE=CF,
∴AF=CE,
在直角△ABF和直角△CDE中, ,
∴△ABF≌△CDE,
∴BF=DE,
在△DEG和△BFG中, ,
∴△DEG≌△BFG,
∴BG=DG,即G是BD的中點.
【點評】本題考查了全等三角新的判定與性質(zhì),證明BF=DE是解決本題的關(guān)鍵.
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