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八年級下冊數(shù)學(xué)書經(jīng)典例題

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八年級下冊數(shù)學(xué)書經(jīng)典例題

  在八年級下冊數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,通過做經(jīng)典例題,應(yīng)用所學(xué)知識的應(yīng)用,能正確有效地進行觀察,解剖,決策,制訂方案,并加以解決。學(xué)習(xí)啦為大家整理了八年級下冊數(shù)學(xué)書的經(jīng)典例題,歡迎大家閱讀!

  八年級下冊數(shù)學(xué)書經(jīng)典例題試題及參考答案

  經(jīng)典例題透析

  類型一:勾股定理的直接用法

  1、在Rt△ABC中,∠C=90°

  (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a.

  思路點撥: 寫解的過程中,一定要先寫上在哪個直角三角形中,注意勾股定理的變形使用。

  解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=

  (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=

  (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=

  舉一反三

  【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少?

  【答案】∵∠ACD=90°

  AD=13, CD=12

  ∴AC2 =AD2-CD2

  =132-122

  =25

  ∴AC=5

  又∵∠ABC=90°且BC=3

  ∴由勾股定理可得

  AB2=AC2-BC2

  =52-32

  =16

  ∴AB= 4

  ∴AB的長是4.

  類型二:勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用

  2、如圖,已知:在 中, , , . 求:BC的長.

  思路點撥:由條件 ,想到構(gòu)造含 角的直角三角形,為此作 于D,則有

  , ,再由勾股定理計算出AD、DC的長,進而求出BC的長.

  解析:作 于D,則因 ,

  ∴ ( 的兩個銳角互余)

  ∴ (在 中,如果一個銳角等于 ,

  那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).

  根據(jù)勾股定理,在 中,

  .

  根據(jù)勾股定理,在 中,

  .

  ∴ .

  舉一反三【變式1】如圖,已知: , , 于P. 求證: .

  解析:連結(jié)BM,根據(jù)勾股定理,在 中,

  .

  而在 中,則根據(jù)勾股定理有

  .

  ∴

  又∵ (已知),

  ∴ .

  在 中,根據(jù)勾股定理有

  ,

  ∴ .

  【變式2】已知:如圖,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四邊形ABCD的面積。

  分析:如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵,可以連結(jié)AC,或延長AB、DC交于F,或延長AD、BC交于點E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種,進一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。

  解析:延長AD、BC交于E。

  ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。

  ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,

  ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= = 。

  ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE= = 。

  ∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=

  類型三:勾股定理的實際應(yīng)用

  (一)用勾股定理求兩點之間的距離問題

  3、如圖所示,在一次夏令營活動中,小明從營地A點出發(fā),沿北偏東60°方向走了 到達B點,然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。

  (1)求A、C兩點之間的距離。

  (2)確定目的地C在營地A的什么方向。

  解析:(1)過B點作BE//AD

  ∴∠DAB=∠ABE=60°

  ∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

  ∴∠CBA=90°

  即△ABC為直角三角形

  由已知可得:BC=500m,AB=

  由勾股定理可得:

  所以

  (2)在Rt△ABC中,

  ∵BC=500m,AC=1000m

  ∴∠CAB=30°

  ∵∠DAB=60°

  ∴∠DAC=30°

  即點C在點A的北偏東30°的方向

  舉一反三

  【變式】一輛裝滿貨物的卡車,其外形高2.5米,寬1.6米,要開進廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?

  【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過,只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH.如圖所示,點D在離廠門中線0.8米處,且CD⊥AB, 與地面交于H.

  解:OC=1米 (大門寬度一半),

  OD=0.8米 (卡車寬度一半)

  在Rt△OCD中,由勾股定理得:

  CD= = =0.6米,

  CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

  因此高度上有0.4米的余量,所以卡車能通過廠門.

  (二)用勾股定理求最短問題

  4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀,目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造,某地有四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點,現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路,他們設(shè)計了四種架設(shè)方案,如圖實線部分.請你幫助計算一下,哪種架設(shè)方案最省電線.

  思路點撥:解答本題的思路是:最省電線就是線路長最短,通過利用勾股定理計算線路長,然后進行比較,得出結(jié)論.

  解析:設(shè)正方形的邊長為1,則圖(1)、圖(2)中的總線路長分別為

  AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3

  圖(3)中,在Rt△ABC中

  同理

  ∴圖(3)中的路線長為

  圖(4)中,延長EF交BC于H,則FH⊥BC,BH=CH

  由∠FBH= 及勾股定理得:

  EA=ED=FB=FC=

  ∴EF=1-2FH=1-

  ∴此圖中總線路的長為4EA+EF=

  3>2.828>2.732

  ∴圖(4)的連接線路最短,即圖(4)的架設(shè)方案最省電線.

  舉一反三

  【變式】如圖,一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C,試求出爬行的最短路程.

  解:

  如圖,在Rt△ABC中,BC=底面周長的一半=10cm, 根據(jù)勾股定理得

  (提問:勾股定理)

  ∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).

  答:最短路程約為10.77cm.

  類型四:利用勾股定理作長為 的線段

  5、作長為 、 、 的線段。

  思路點撥:由勾股定理得,直角邊為1的等腰直角三角形,斜邊長就等于 ,直角邊為 和1的直角三角形斜邊長就是 ,類似地可作 。

  作法:如圖所示

  (1)作直角邊為1(單位長)的等腰直角△ACB,使AB為斜邊;

  (2)以AB為一條直角邊,作另一直角邊為1的直角 。斜邊為 ;

  (3)順次這樣做下去,最后做到直角三角形 ,這樣斜邊 、 、 、 的長度就是

  、 、 、 。

  舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示 的點。

  解析:可以把 看作是直角三角形的斜邊, ,

  為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù),

  而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和,得另外兩邊分別是3和1。

  作法:如圖所示在數(shù)軸上找到A點,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以O(shè)C為半徑,

  以O(shè)為圓心做弧,弧與數(shù)軸的交點B即為 。

  類型五:逆命題與勾股定理逆定理

  6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確

  1.原命題:貓有四只腳.(正確)

  2.原命題:對頂角相等(正確)

  3.原命題:線段垂直平分線上的點,到這條線段兩端距離相等.(正確)

  4.原命題:角平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.(正確)

  思路點撥:掌握原命題與逆命題的關(guān)系。

  解析:1. 逆命題:有四只腳的是貓(不正確)

  2. 逆命題:相等的角是對頂角(不正確)

  3. 逆命題:到線段兩端距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.(正確)

  4. 逆命題:到角兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.(正確)

  總結(jié)升華:本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。

  7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷ΔABC的形狀。

  思路點撥:要判斷ΔABC的形狀,需要找到a、b、c的關(guān)系,而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從該條件入手,解決問題。

  解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 :

  a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

  ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

  ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

  ∴ a=3,b=4,c=5。

  ∵ 32+42=52,

  ∴ a2+b2=c2。

  由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

  總結(jié)升華:勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。

  舉一反三【變式1】四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。

  【答案】:連結(jié)AC

  ∵∠B=90°,AB=3,BC=4

  ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

  ∴AC=5

  ∵AC2+CD2=169,AD2=169

  ∴AC2+CD2=AD2

  ∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

  【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m>n),判斷△ABC是否為直角三角形.

  分析:本題是利用勾股定理的的逆定理, 只要證明:a2+b2=c2即可

  證明:

  所以△ABC是直角三角形.

  【變式3】如圖正方形ABCD,E為BC中點,F(xiàn)為AB上一點,且BF= AB。

  請問FE與DE是否垂直?請說明。

  【答案】答:DE⊥EF。

  證明:設(shè)BF=a,則BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,

  ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

  DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

  連接DF(如圖)

  DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

  ∴ DF2=EF2+DE2,

  ∴ FE⊥DE。

  經(jīng)典例題精析

  類型一:勾股定理及其逆定理的基本用法

  1、若直角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積。

  思路點撥:在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度,求面積,可以先通過比值設(shè)未知數(shù),再根據(jù)勾股定理列出方程,求出未知數(shù)的值進而求面積。

  解析:設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x,4x,根據(jù)題意得:

  (3x)2+(4x)2=202

  化簡得x2=16;

  ∴直角三角形的面積= ×3x×4x=6x2=96

  總結(jié)升華:直角三角形邊的有關(guān)計算中,常常要設(shè)未知數(shù),然后用勾股定理列方程(組)求解。

  舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積。

  【答案】如圖,等邊△ABC,作AD⊥BC于D

  則:BD= BC(等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)

  ∵AB=AC=BC=2(等邊三角形各邊都相等)

  ∴BD=1

  在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:AD2=AB2-BD2=4-1=3

  ∴AD=

  S△ABC= BC•AD=

  注:等邊三角形面積公式:若等邊三角形邊長為a,則其面積為 a。

  【變式2】直角三角形周長為12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積。

  【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x,y,根據(jù)題意得:

  由(1)得:x+y=7,

  (x+y)2=49,x2+2xy+y2=49 (3)

  (3)-(2),得:xy=12

  ∴直角三角形的面積是 xy= ×12=6(cm2)

  【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1,n+2,n+3,求n。

  思路點撥:首先要確定斜邊(最長的邊)長n+3,然后利用勾股定理列方程求解。

  解:此直角三角形的斜邊長為n+3,由勾股定理可得:

  (n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

  化簡得:n2=4

  ∴n=±2,但當(dāng)n=-2時,n+1=-1<0,∴n=2

  總結(jié)升華:注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方,在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下,首先要先確定斜邊,直角邊。

  【變式4】以下列各組數(shù)為邊長,能組成直角三角形的是( )

  A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40

  解析:此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷,

  對數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形:b2=c2-a2=(c-a)(c+a)來判斷。

  例如:對于選擇D,

  ∵82≠(40+39)×(40-39),

  ∴以8,39,40為邊長不能組成直角三角形。

  同理可以判斷其它選項。 【答案】:A

  【變式5】四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形ABCD的面積。

  解:連結(jié)AC

  ∵∠B=90°,AB=3,BC=4

  ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

  ∴AC=5

  ∵AC2+CD2=169,AD2=169

  ∴AC2+CD2=AD2

  ∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

  ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36

  類型二:勾股定理的應(yīng)用

  2、如圖,公路MN和公路PQ在點P處交匯,且∠QPN=30°,點A處有一所中學(xué),AP=160m。假設(shè)拖拉機行駛時,周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響,那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時,學(xué)校是否會受到噪聲影響?請說明理由,如果受影響,已知拖拉機的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒?

  思路點撥:(1)要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A,實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響,大于100m則不受影響,故作垂線段AB并計算其長度。(2)要求出學(xué)校受影響的時間,實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校,行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。

  解析:作AB⊥MN,垂足為B。

  在 RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°, AP=160,

  ∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中,30°所對的直角邊等于斜邊的一半)

  ∵點 A到直線MN的距離小于100m,

  ∴這所中學(xué)會受到噪聲的影響。

  如圖,假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響,那么AC=100(m),

  由勾股定理得: BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。

  同理,拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響,那么,AD=100(m),BD=60(m),

  ∴CD=120(m)。

  拖拉機行駛的速度為 : 18km/h=5m/s

  t=120m÷5m/s=24s。

  答:拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時,學(xué)校會受到噪聲影響,學(xué)校受影響的時間為24秒。

  總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。

  舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園,有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”,在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了花草。

  解析:他們原來走的路為3+4=7(m)

  設(shè)走“捷徑”的路長為xm,則

  故少走的路長為7-5=2(m)

  又因為2步為1m,所以他們僅僅少走了4步路。【答案】4

  【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格,它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形,這樣的三角形稱為單位正三角形。

  (1)直接寫出單位正三角形的高與面積。

  (2)圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形?平行四邊形ABCD的面積是多少?

  (3)求出圖中線段AC的長(可作輔助線)。

  【答案】(1)單位正三角形的高為 ,面積是 。

  (2)如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形,因此其面積 。

  (3)過A作AK⊥BC于點K(如圖所示),則在Rt△ACK中, ,

  ,故

  類型三:數(shù)學(xué)思想方法(一)轉(zhuǎn)化的思想方法

  我們在求三角形的邊或角,或進行推理論證時,常常作垂線,構(gòu)造直角三角形,將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.

  3、如圖所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜邊BC的中點,E、F分別是AB、AC邊上的點,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求線段EF的長。

  思路點撥:現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中,所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化,根據(jù)直角三角形的特征,三角形的中線有特殊的性質(zhì),不妨先連接AD.

  解:連接AD.

  因為∠BAC=90°,AB=AC. 又因為AD為△ABC的中線,

  所以AD=DC=DB.AD⊥BC.

  且∠BAD=∠C=45°.

  因為∠EDA+∠ADF=90°. 又因為∠CDF+∠ADF=90°.

  所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).

  所以AE=FC=5.

  同理:AF=BE=12.

  在Rt△AEF中,根據(jù)勾股定理得:

  ,所以EF=13。

  總結(jié)升華:此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題,我們可以了解:當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時,應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。

  (二)方程的思想方法

  4、如圖所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°, ,求 、 、 的值。

  思路點撥:由 ,再找出 、 的關(guān)系即可求出 和 的值。

  解:在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,

  則 ,由勾股定理,得 。

  因為 ,所以 ,

  , , 。

  總結(jié)升華:在直角三角形中,30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。

  舉一反三:【變式】如圖所示,折疊矩形的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的長。

  解:因為△ADE與△AFE關(guān)于AE對稱,所以AD=AF,DE=EF。

  因為四邊形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,

  在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,

  所以 。 所以 。

  設(shè) ,則 。

  在Rt△ECF中, ,即 ,解得 。

  即EF的長為5cm。


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