浙教版八年級上冊數學期末測試卷
浙教版八年級上冊數學期末測試卷
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浙教版八年級上冊數學期末測試題
一、選擇題：(本大題共有8小題，每小題3分，共24分，以下各題都有四個選項，其中只有一個是正確的，選出正確答案，并寫在答題紙上)
1.二次根式 可化簡成( )
A.﹣2 B.4 C.2 D.
2.下列各選項的圖形中，不是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
4.下列說法正確的是( )
A.﹣4的平方根是±2 B.(﹣3)2的平方根是﹣3
C.1的立方根是±1 D.0的平方根是0
5.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是( )
A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm
6.關于函數y=﹣2x+1，下列結論正確的是( )
A.圖象經過點(﹣2，1) B.y隨x的增大而增大
C.圖象不經過第三象限 D.圖象不經過第二象限
7.估算 ﹣2的值( )
A.在1到2之間 B.在2到3之間 C.在3到4之間 D.在4到5之間
8.如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM，ON上當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大距離為( )
A.2.4 B. C. D.
二、填空題：(本大題共10小題，每小題3分，共30分，把答案直接填在答題紙相對應的位置上)
9.要使二次根式 有意義，字母x必須滿足的條件是__________.
10.如果等腰三角形的周長為10，底邊長為4，那么腰長為__________.
11.16的平方根是__________.
12.姜堰區(qū)溱湖風景區(qū)2013年接待游客的人數為289700人次，將這個數字精確到萬位，并用科學記數法表示為__________.
13.小亮在鏡子中看到一輛汽車的車牌號為 ，實際車牌號為__________.
14.如圖，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點.若AB=10，AC=8，則四邊形AEDF的周長為__________.
15.如圖，直線y=kx+b與直線y=4x+2相交于點A(﹣1，﹣2)，則不等式kx+b>4x+2的解集為__________.
16.已知正方形①、②在直線上，正方形③如圖放置，若正方形①、②的面積分別4cm2和15cm2，則正方形③的面積為__________.
17.在平面直角坐標系中，已知點A(﹣ ，0)，B( ，0)，點C在坐標軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點C的坐標__________.
18.若[x]表示不超過x的最大整數(如[π]=3，[﹣2 ]=﹣3等)，則[ ]+[ ]+…[ ]=__________.
三、解答題(本大題共10個小題，共96分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.計算：
(1)
(2) .
20.如圖，小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖①)，再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②).小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎?請說明理由.
21.在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形(頂點是網格線的交點的三角形)ABC的頂點A，C的坐標分別為(﹣4，5)，(﹣1，3).
(1)請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系;
(2)請作出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′;
(3)寫出點B′的坐標.
22.如圖，有人在岸上點C的地方，用繩子拉船靠岸開始時，繩長CB=5米，拉動繩子將船身岸邊行駛了2米到點D后，繩長CD= 米，求岸上點C離水面的高度CA.
23.如圖，在▱ABCD中，點E是AB邊的中點，DE與CB的延長線交于點F.
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC，連接CE.試判斷CE和DF的位置關系，并說明理由.
24.某廠計劃生產A、B兩種產品共50件.已知A產品每件可獲利潤1200元，B產品每件可獲利潤700元，設生產兩種產品的獲利總額為y(元)，生產A產品x(件).
(1)寫出y與x之間的函數關系式;
(2)若生產A、B兩種產品的件數均不少于10件，求總利潤的最大值.
25.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點.
(1)在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、 、 ;
(3)如圖3，點A、B、C是小正方形的頂點，求∠ABC的度數.
26.甲、乙兩地相距300千米，一輛轎車從甲地出發(fā)駛向乙地，同時一輛貨車從乙地駛向甲地.如圖，線段AB表示貨車離甲地的距離y (千米)與行駛的時間x(小時)之間的函數關系;折線O﹣C﹣D表示轎車離甲地的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數關系，請根據圖象解答下列問題：
(1)求線段CD對應的函數關系式;
(2)求線段AB的函數關系式，并求出轎車出發(fā)多少小時與貨車相遇?
(3)當轎車出發(fā)多少小時兩車相距80千米?
27.已知正比例函數y1=2x和一次函數y2=﹣x+b，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，正比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于點P.
(1)若P點坐標為(3，n)，試求一次函數的表達式，并用圖象法求y1≥y2的解;
(2)若S△AOP=3，試求這個一次函數的表達式;
(3)x軸上有一定點E(2，0)，若△POB≌△EPA，求這個一次函數的表達式.
28.一節(jié)數學課后，老師布置了一道課后練習題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE.
(1)理清思路，完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.
(2)特殊位置，證明結論
若PB平分∠ABO，其余條件不變.求證：AP=CD.
(3)知識遷移，探索新知
若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數量關系.(不必寫解答過程)
浙教版八年級上冊數學期末測試卷參考答案
一、選擇題：(本大題共有8小題，每小題3分，共24分，以下各題都有四個選項，其中只有一個是正確的，選出正確答案，并寫在答題紙上)
1.二次根式 可化簡成( )
A.﹣2 B.4 C.2 D.
【考點】二次根式的性質與化簡.
【分析】根據 =a(a≥0)，可得答案.
【解答】解： =2，
故選：C.
【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，二次根式的性質是解題關鍵.
2.下列各選項的圖形中，不是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】軸對稱圖形.
【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項不合題意;
B、是軸對稱圖形，故本選項不合題意;
C、不是軸對稱圖形，故本選項正確;
D、是軸對稱圖形，故本選項不合題意.
故選：C.
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.
3.如圖，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC
【考點】全等三角形的判定.
【分析】求出AF=CE，再根據全等三角形的判定定理判斷即可.
【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項錯誤;
B、根據AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，錯誤，故本選項正確;
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS)，正確，故本選項錯誤;
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項錯誤;
故選B.
【點評】本題考查了平行線性質，全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS.
4.下列說法正確的是( )
A.﹣4的平方根是±2 B.(﹣3)2的平方根是﹣3
C.1的立方根是±1 D.0的平方根是0
【考點】平方根;立方根.
【分析】根據平方根和立方根的概念進行解答即可.
【解答】解：﹣4沒有平方根，A錯誤;
(﹣3)2的平方根是±3，B錯誤;
1的立方根是1，C錯誤;
0的平方根是0，D正確，
故選：D.
【點評】本題考查的是平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解題的關鍵.
5.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是( )
A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm
【考點】角平分線的性質.
【分析】過D作DE⊥AB于E，由已知條件，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等解答.
【解答】解：過D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm.
故選C.
【點評】本題主要考查角平分線的性質;作出輔助線是正確解答本題的關鍵.
6.關于函數y=﹣2x+1，下列結論正確的是( )
A.圖象經過點(﹣2，1) B.y隨x的增大而增大
C.圖象不經過第三象限 D.圖象不經過第二象限
【考點】一次函數的性質.
【分析】根據一次函數的性質對各選項進行逐一分析即可.
【解答】解：A、∵當x=﹣2時，y=﹣4+1=3≠1，∴圖象不經過點(﹣2，1)，故本選項錯誤;
B、∵﹣2<0，∴y隨x的增大而減小，故本選項錯誤;
C、∵k=﹣2<0，b=1>0，∴圖象不經過第三象限，故本選項正確;
D、∵k=﹣2<0，b=1>0，∴圖象經過第二象限，故本選項錯誤.
故選C.
【點評】本題考查的是一次函數的性質，熟知一次函數y=kx+b(k≠0)，當k<0，b>0時函數圖象經過一、二、四象限是解答此題的關鍵.
7.估算 ﹣2的值( )
A.在1到2之間 B.在2到3之間 C.在3到4之間 D.在4到5之間
【考點】估算無理數的大小.
【分析】先估計 的整數部分，然后即可判斷 ﹣2的近似值.
【解答】解：∵5< <6，
∴3< ﹣2<4.
故選C.
【點評】此題主要考查了無理數的估算能力，現實生活中經常需要估算，估算應是我們具備的數學能力，“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.
8.如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM，ON上當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大距離為( )
A.2.4 B. C. D.
【考點】直角三角形斜邊上的中線;線段的性質：兩點之間線段最短;等邊三角形的性質.
【分析】如圖，取AB的中點D.連接CD.根據三角形的邊角關系得到OC小于等于OD+DC，只有當O、D及C共線時，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長為2，根據D為AB中點，得到BD為1，根據三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據勾股定理求出CD的長，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長求出OD的長，進而求出DC+OD，即為OC的最大值.
【解答】解：如圖，取AB的中點D，連接CD.
∵△ABC是等邊三角形，且邊長是2，∴BC=AB=2，
∵點D是AB邊中點，
∴BD= AB=1，
∴CD= = = ，即CD= ;
連接OD，OC，有OC≤OD+DC，
當O、D、C共線時，OC有最大值，最大值是OD+CD，
由(1)得，CD= ，
又∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴OD= AB=1，
∴OD+CD=1+ ，即OC的最大值為1+ .
故選：C.
【點評】此題考查了等邊三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大時的長為CD+OD是解本題的關鍵.
二、填空題：(本大題共10小題，每小題3分，共30分，把答案直接填在答題紙相對應的位置上)
9.要使二次根式 有意義，字母x必須滿足的條件是x≥﹣1.
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據被開方數大于等于0列式進行計算即可得解.
【解答】解：根據題意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1.
故答案為：x≥﹣1.
【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數.
10.如果等腰三角形的周長為10，底邊長為4，那么腰長為3.
【考點】等腰三角形的性質;三角形三邊關系.
【分析】由等腰三角形的周長是10，則底邊長4，根據等腰三角形的兩腰相等，即可求得其腰長的值
【解答】解：∵等腰三角形的底邊長為4，周長為10，
∴腰長為：(10﹣4)÷2=3.
故答案為：3.
【點評】此題考查了等腰三角形的性質.此題比較簡單，注意掌握等腰三角形的兩腰相等是解此題的關鍵.
11.16的平方根是±4.
【考點】平方根.
【專題】計算題.
【分析】根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x，使得x2=a，則x就是a的平方根，由此即可解決問題.
【解答】解：∵(±4)2=16，
∴16的平方根是±4.
故答案為：±4.
【點評】本題考查了平方根的定義.注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數;0的平方根是0;負數沒有平方根.
12.姜堰區(qū)溱湖風景區(qū)2013年接待游客的人數為289700人次，將這個數字精確到萬位，并用科學記數法表示為2.9×105.
【考點】科學記數法與有效數字.
【分析】根據四舍五入，可得精確到萬位的數，根據科學記數法表示的方法，可得答案案.
【解答】解：289700≈29萬，
故答案為：2.9×105.
【點評】本題考查了科學記數法，a×10n，a是一位整數，n是數位的位數減一.
13.小亮在鏡子中看到一輛汽車的車牌號為 ，實際車牌號為100968.
【考點】鏡面對稱.
【分析】根據鏡面對稱的性質，在平面鏡中的像與現實中的事物恰好順序顛倒，且關于鏡面對稱.
【解答】解：根據鏡面對稱性質得出：實際車牌號是100968.故答案為：100968
【點評】本題考查了鏡面反射的性質;解決本題的關鍵是得到對稱軸，進而得到相應數字.
14.如圖，△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點.若AB=10，AC=8，則四邊形AEDF的周長為18.
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【分析】根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可得ED=EB= AB，DF=FC= AC，再由AB=10，AC=8可得答案.
【解答】解：∵AD是高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E、F分別是AB、AC的中點，
∴ED=EB= AB，DF=FC= AC，
∵AB=10，AC=8，
∴AE+ED=10，AF+DF=8，
∴四邊形AEDF的周長為10+8=18，
故答案為：18.
【點評】此題主要考查了直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.
15.如圖，直線y=kx+b與直線y=4x+2相交于點A(﹣1，﹣2)，則不等式kx+b>4x+2的解集為x<﹣1.
【考點】一次函數與一元一次不等式.
【分析】由圖象得到直線y=kx+b與直線y=4x+2的交點A的坐標為(﹣1，﹣2)，觀察直線y=kx+b落在直線y=4x+2的上方的部分對應的x的取值即為所求.
【解答】解：∵直線y=kx+b與直線y=4x+2相交于點A(﹣1，﹣2)，
∴觀察圖象得：當x<﹣1時，kx+b>4x+2，
∴不等式kx+b>4x+2的解集為x<﹣1.
故答案為：x<﹣1.
【點評】本題考查了一次函數與一元一次不等式的關系：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=ax+b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍;從函數圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上(或下)方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.
16.已知正方形①、②在直線上，正方形③如圖放置，若正方形①、②的面積分別4cm2和15cm2，則正方形③的面積為19.
【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;正方形的性質.
【分析】根據正方形的性質就可以得出∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD，∠AEB=∠CBD，就可以得出△ABE≌△CDB，得出AE=BC，AB=CD，由勾股定理就可以得出BE2的值，進而得出結論.
【解答】解：∵四邊形1、2、3都是正方形，
∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，
∴∠AEB=∠CBD.
在△ABE和△CDB中，
，
∴△ABE≌△CDB(AAS)，
∴AE=BC，AB=CD.
∵正方形①、②的面積分別4cm2和15cm2，
∴AE2=4，CD2=15.
∴AB2=15.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE2=AE2+AB2=19，
正方形③為19.
故答案為：19.
【點評】本題考查了正方形的性質的運用，勾股定理的運用，正方形的面積公式的運用，三角形全等的判定及性質的運用，解答時證明△ABE≌△CDB是關鍵.
17.在平面直角坐標系中，已知點A(﹣ ，0)，B( ，0)，點C在坐標軸上，且AC+BC=6，寫出滿足條件的所有點C的坐標(0，2)，(0，﹣2)，(﹣3，0)，(3，0).
【考點】勾股定理;坐標與圖形性質.
【專題】壓軸題;分類討論.
【分析】需要分類討論：①當點C位于x軸上時，根據線段間的和差關系即可求得點C的坐標;②當點C位于y軸上時，根據勾股定理求點C的坐標.
【解答】解：如圖，①當點C位于y軸上時，設C(0，b).
則 + =6，解得，b=2或b=﹣2，
此時C(0，2)，或C(0，﹣2).
如圖，②當點C位于x軸上時，設C(a，0).
則|﹣ ﹣a|+|a﹣ |=6，即2a=6或﹣2a=6，
解得a=3或a=﹣3，
此時C(﹣3，0)，或C(3，0).
綜上所述，點C的坐標是：(0，2)，(0，﹣2)，(﹣3，0)，(3，0).
故答案是：(0，2)，(0，﹣2)，(﹣3，0)，(3，0).
【點評】本題考查了勾股定理、坐標與圖形的性質.解題時，要分類討論，以防漏解.另外，當點C在y軸上時，也可以根據兩點間的距離公式來求點C的坐標.
18.若[x]表示不超過x的最大整數(如[π]=3，[﹣2 ]=﹣3等)，則[ ]+[ ]+…[ ]=2014.
【考點】估算無理數的大小.
【分析】首先化簡 ，可得 =1﹣ ，然后由取整函數的性質，可得：[ ]=[1﹣ ]=1，則代入原式即可求得結果，注意n是從2開始到2015結束，共有2014個.
【解答】解：∵ = =1﹣ =1﹣ ，
∴[ ]=[1﹣ ]=1，
∴[ ]+[ ]+…[ ]=1+1+…+1=2014.
故答案為：2014.
【點評】此題主要考查了二次根式的化簡與取整函數的性質，注意求得 =1﹣ 是解此題的關鍵.
三、解答題(本大題共10個小題，共96分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
19.計算：
(1)
(2) .
【考點】二次根式的混合運算.
【分析】(1)先算除法，再合并同類二次根式即可;
(2)先根據公式求出每一部分的值，再合并即可.
【解答】解：(1)原式=2 ﹣3 +4
=3 ;
(2)原式=9+12 +20﹣16+7
=20+12 .
【點評】本題考查了二次根式的混合運算，平方差公式，完全平方公式的應用，主要考查學生的計算和化簡能力.
20.如圖，小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖①)，再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖②).小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎?請說明理由.
【考點】翻折變換(折疊問題);等腰三角形的判定.
【分析】由兩次折疊知，點A在EF的中垂線上，所以AE=AF.
【解答】答：同意.
證明：如圖，設AD與EF交于點G.
∵∠BAD=∠CAD.
又∵∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，
∴∠AGE=∠AGF=90°，
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF，
即△AEF為等腰三角形.
【點評】本題考查了折疊的性質，理解折疊過程中出現的相等的線段與相等的角是關鍵.
21.在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形(頂點是網格線的交點的三角形)ABC的頂點A，C的坐標分別為(﹣4，5)，(﹣1，3).
(1)請在如圖所示的網格平面內作出平面直角坐標系;
(2)請作出△ABC關于y軸對稱的△A′B′C′;
(3)寫出點B′的坐標.
【考點】作圖-軸對稱變換.
【分析】(1)根據頂點A，C的坐標分別為(﹣4，5)，(﹣1，3)建立坐標系即可;
(2)作出各點關于y軸的對稱點，再順次連接即可;
(3)根據點B′在坐標系中的位置寫出其坐標即可.
【解答】解：(1)如圖所示;
(2)如圖所示;
(3)由圖可知，B′(2，1).
【點評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知關于y軸對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵.
22.如圖，有人在岸上點C的地方，用繩子拉船靠岸開始時，繩長CB=5米，拉動繩子將船身岸邊行駛了2米到點D后，繩長CD= 米，求岸上點C離水面的高度CA.
【考點】勾股定理的應用.
【分析】首先在兩個直角三角形中利用勾股定理求得AD的長，然后再利用勾股定理求得AC的長即可.
【解答】解：設AD=x，根據題意得13﹣x2=25﹣(x+2)2
解得：x=2，
∵BD=2，
∴AB=4，
∴由勾股定理得： ，
答：岸離水面高度AC為3米.
【點評】本題考查了勾股定理的應用，從實際問題中整理出直角三角形是解答本題的關鍵.
23.如圖，在▱ABCD中，點E是AB邊的中點，DE與CB的延長線交于點F.
(1)求證：△ADE≌△BFE;
(2)若DF平分∠ADC，連接CE.試判斷CE和DF的位置關系，并說明理由.
【考點】平行四邊形的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】(1)由全等三角形的判定定理AAS證得結論;
(2)由(1)中全等三角形的對應邊相等推知點E是邊DF的中點，∠1=∠2;根據角平分線的性質、等量代換以及等角對等邊證得DC=FC，則由等腰三角形的“三線合一”的性質推知CE⊥DF.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC.
又∵點F在CB的延長線上，
∴AD∥CF，
∴∠1=∠2.
∵點E是AB邊的中點，
∴AE=BE.
∵在△ADE與△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE(AAS);
(2)解：CE⊥DF.理由如下：
如圖，連接CE.
由(1)知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即點E是DF的中點，∠1=∠2.
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴CD=CF，
∴CE⊥DF.
【點評】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質.在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊、對頂角以及公共角.
24.某廠計劃生產A、B兩種產品共50件.已知A產品每件可獲利潤1200元，B產品每件可獲利潤700元，設生產兩種產品的獲利總額為y(元)，生產A產品x(件).
(1)寫出y與x之間的函數關系式;
(2)若生產A、B兩種產品的件數均不少于10件，求總利潤的最大值.
【考點】一次函數的應用.
【分析】(1)首先表示出B種產品的數量進而利用A，B種產品的利潤進而得出總利潤;
(2)利用不等式組求出x的取值范圍，進而利用一次函數增減性進而得出最大利潤.
【解答】解：(1)設生產兩種產品的獲利總額為y(元)，生產A產品x(件)，
則B種產品共(50﹣x)件，
∴y與x之間的函數關系式為：y=1200x+700(50﹣x)=500x+35000;
(2)∵生產A、B兩種產品的件數均不少于10件，
∴ ，
解得：10≤x≤40，
∵y=500x+35000，y隨x的增大而增大，
∴當x=40時，此時達到總利潤的最大值為：40×500+35000=55000(元)，
答：總利潤的最大值為55000元.
【點評】此題主要考查了一次函數的應用以及不等式組的解法和函數最值求法等知識，得出y與x的關系式是解題關鍵.
25.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點.
(1)在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形;
(2)在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、 、 ;
(3)如圖3，點A、B、C是小正方形的頂點，求∠ABC的度數.
【考點】勾股定理.
【專題】作圖題.
【分析】(1)根據勾股定理畫出邊長為 的正方形即可;
(2)根據勾股定理和已知畫出符合條件的三角形即可;
(3)連接AC、CD，求出△ACB是等腰直角三角形即可.
【解答】
解：(1)如圖1的正方形的邊長是 ，面積是10;
(2)如圖2的三角形的邊長分別為2， ， ;
(3)如圖3，連接AC，CD，
則AD=BD=CD= = ，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=BC= = ，
∴∠ABC=∠BAC=45°.
【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積，直角三角形的判定的應用，主要考查學生的計算能力和動手操作能力.
26.甲、乙兩地相距300千米，一輛轎車從甲地出發(fā)駛向乙地，同時一輛貨車從乙地駛向甲地.如圖，線段AB表示貨車離甲地的距離y (千米)與行駛的時間x(小時)之間的函數關系;折線O﹣C﹣D表示轎車離甲地的距離y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數關系，請根據圖象解答下列問題：
(1)求線段CD對應的函數關系式;
(2)求線段AB的函數關系式，并求出轎車出發(fā)多少小時與貨車相遇?
(3)當轎車出發(fā)多少小時兩車相距80千米?
【考點】一次函數的應用.
【分析】(1)利用待定系數法求出線段CD對應的函數關系式即可;
(2)利用待定系數法求出線段AB對應的函數關系式即可，再利用兩車行駛的時間和距離進而得出相遇所用的時間;
(3)利用兩車的速度進而結合兩車相遇前距80km，以及相遇后相距80km，分別求出即可.
【解答】解：(1)設線段CD的解析式為：y=kx+b，將(1，80)，(3.2，300)代入得出：
，
解得：
∴線段CD對應的函數關系式為：y=100x﹣20;
(2)設線段AB的解析式為：y=ax+c，將(0，300)，(5，0)代入得出：
，
解得： ，
∴線段AB的函數關系式為：y=﹣60x+300;
∵貨車的速度為：300÷5=60(km/h)，
轎車開始1小時的速度為：80km/h，1小時后速度為：(300﹣80)÷(3.2﹣1)=100(km/h)，
∴轎車出發(fā)1小時后兩車相距：300﹣(80+60)=160(km)，
160÷(100+60)=1(小時)，
∴轎車出發(fā)2小時與貨車相遇;
(3)∵轎車開始1小時的速度為：80km/h，1小時后速度為：100km/h，
∴轎車出發(fā)1小時后兩車相距：160km，
∴繼續(xù)行駛當兩車相距80km，則所需時間為：80÷(100+60)= ，
∴轎車出發(fā) 小時兩車相距80千米;
當兩車相遇后再次相距80km時，即2小時后再次相距80km，
則還需 小時，
∴轎車出發(fā) 小時或 小時兩車相距80千米.
【點評】此題主要考查了一次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式等知識，利用圖象得出兩車的速度是解題關鍵.
27.已知正比例函數y1=2x和一次函數y2=﹣x+b，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，正比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于點P.
(1)若P點坐標為(3，n)，試求一次函數的表達式，并用圖象法求y1≥y2的解;
(2)若S△AOP=3，試求這個一次函數的表達式;
(3)x軸上有一定點E(2，0)，若△POB≌△EPA，求這個一次函數的表達式.
【考點】一次函數綜合題.
【分析】(1)將點P的坐標代入到正比例函數中求得n值，然后代入到一次函數中即可確定其表達式，然后根據其圖象的位置和交點坐標確定不等式的解集;
(2)用b表示出點A和點P的坐標，根據S△AOP=3求得點P的坐標即可求得一次函數的表達式;
(3)分一次函數經過一、二、四象限和經過二、三、四象限兩種情況并利用全等三角形的性質求得一次函數的表達式即可.
【解答】解：(1)∵正比例函數y1=2x和一次函數y2=﹣x+b的圖象相交于點P，P點坐標為(3，n)，
∴代入正比例函數求得n=6，
∴點P的坐標為(3，6)，
∴代入y2=﹣x+b得b=9，
所以一次函數的表達式為y2=﹣x+9;
圖象為：
∴y1≥y2的解為：x≥3;
(2)∵一次函數y2=﹣x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A(b，0)、點B(0，b)，兩函數的圖象交與點( ， )，
∴S△AOP= ×b× =3，
解得：b=±3，
所以一次函數的表達式為：y2=﹣x±3;
(3)當b>0時，如圖：
∵△POB≌△EPA，
∴PO=PE，
∵E(2，0)，
∴點P的橫坐標為1，
∵點P在y=2x上，
∴點P的縱坐標為2，
∴點P的坐標為(1，2)，
∴代入y2=﹣x+b得：y2=﹣x+3;
當b<0時，如圖：
∵△POB≌△EPA，
∴PO=PE，
∵點P在第三象限，
∴不成立;
綜上所敘：若△POB≌△EPA時，一次函數的表達式為y=﹣x+3.
【點評】本題考查了一次函數的綜合知識，特別是本題中與三角形的面積的知識相結合使得問題變難，此類題目往往是中考的壓軸題，應該重點掌握.
28.一節(jié)數學課后，老師布置了一道課后練習題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE.
(1)理清思路，完成解答(2)本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程.
(2)特殊位置，證明結論
若PB平分∠ABO，其余條件不變.求證：AP=CD.
(3)知識遷移，探索新知
若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數量關系.(不必寫解答過程)
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據AAS證△BPO≌△PDE即可;
(2)求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案;
(3)設OP=CP=x，求出AP=3x，CD= x，即可得出答案.
【解答】(1)證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE(AAS);
(2)證明：由(1)可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD(AAS)，
∴AP=CD.
(3)解：CD′與AP′的數量關系是CD′= AP′.
理由是：設OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由△OBP≌△EPD，得BO=PE，
PE=2x，CE=2x﹣x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′與AP′的數量關系是CD′= AP′
【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形性質，等腰三角形性質等知識點的綜合應用，主要考查學生的推理和計算能力.
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