七年級數(shù)學(xué)一元一次方程方程應(yīng)用題歸類分析
七年級數(shù)學(xué)一元一次方程方程應(yīng)用題歸類分析
列方程解應(yīng)用題,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.許多實際問題都?xì)w結(jié)為解一種方程或方程組,所以列出方程或方程組解應(yīng)用題是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際,解決實際問題的一個重要方面;下面老師就從以下幾個方面分門別類的對常見的數(shù)學(xué)問題加以闡述,希望對同學(xué)們有所幫助.
1. 和、差、倍、分問題:
(1)倍數(shù)關(guān)系:通過關(guān)鍵詞語“是幾倍,增加幾倍,增加到幾倍,增加百分之幾,增長率……”來體現(xiàn).
(2)多少關(guān)系:通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現(xiàn).
例1.根據(jù)2001年3月28日新華社公布的第五次人口普查統(tǒng)計數(shù)據(jù),截止到2000年11月1日0時,全國每10萬人中具有小學(xué)文化程度的人口為35701人,比1990年7月1日減少了3.66%,1990年6月底每10萬人中約有多少人具有小學(xué)文化程度?
分析:等量關(guān)系為:
設(shè)1990年6月底每10萬人中約有x人具有小學(xué)文化程度
答:略.
2. 等積變形問題:
“等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關(guān)系為:
?、傩螤蠲娣e變了,周長沒變;
②原料體積=成品體積.
例2. 用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯(已裝滿水)向一個由底面積為 內(nèi)高為81mm的長方體鐵盒倒水時,玻璃杯中的水的高度下降多少mm?(結(jié)果保留整數(shù) )
分析:等量關(guān)系為:圓柱形玻璃杯體積=長方體鐵盒的體積
下降的高度就是倒出水的高度
設(shè)玻璃杯中的水高下降xmm
答:略.
3. 勞力調(diào)配問題:
這類問題要搞清人數(shù)的變化,常見題型有:
(1)既有調(diào)入又有調(diào)出;
(2)只有調(diào)入沒有調(diào)出,調(diào)入部分變化,其余不變;
(3)只有調(diào)出沒有調(diào)入,調(diào)出部分變化,其余不變.
例3. 機械廠加工車間有85名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套,問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大小齒輪剛好配套?
分析:列表法.
每人每天 人數(shù) 數(shù)量
大齒輪 16個 x人 16x
小齒輪 10個 人
等量關(guān)系:小齒輪數(shù)量的2倍=大齒輪數(shù)量的3倍
設(shè)分別安排x名、 名工人加工大、小齒輪
答:略.
4. 比例分配問題:
這類問題的一般思路為:設(shè)其中一份為x,利用已知的比,寫出相應(yīng)的代數(shù)式.
常用等量關(guān)系:各部分之和=總量.
例4. 三個正整數(shù)的比為1:2:4,它們的和是84,那么這三個數(shù)中最大的數(shù)是幾?
設(shè)一份為x,則三個數(shù)分別為x,2x,4x
分析:等量關(guān)系:三個數(shù)的和是84
答:略.
5. 數(shù)字問題
(1)要搞清楚數(shù)的表示方法:一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字為c(其中a、b、c均為整數(shù),且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)則這個三位數(shù)表示為:100a+10b+c.
(2)數(shù)字問題中一些表示:兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系,較大的比較小的大1;偶數(shù)用2N表示,連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n—2表示;奇數(shù)用2n+1或2n—1表示.
例5. 一個兩位數(shù),個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍,如果把十位與個位上的數(shù)對調(diào),那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36,求原來的兩位數(shù)
等量關(guān)系:原兩位數(shù)+36=對調(diào)后新兩位數(shù)
設(shè)十位上的數(shù)字X,則個位上的數(shù)是2x,
10×2x+x=(10x+2x)+36解得x=4,2x=8.
答:略.
6. 工程問題:
工程問題中的三個量及其關(guān)系為:工作總量=工作效率×工作時間
經(jīng)常在題目中未給出工作總量時,設(shè)工作總量為單位1.
例6. 一件工程,甲獨做需15天完成,乙獨做需12天完成,現(xiàn)先由甲、乙合作3天后,甲有其他任務(wù),剩下工程由乙單獨完成,問乙還要幾天才能完成全部工程?
分析設(shè)工程總量為單位1,等量關(guān)系為:甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量.
設(shè)乙還需x天完成全部工程,設(shè)工作總量為單位1,由題意得,(115+112)×3+x12=1, 解這個方程,15+14+x12=1
12+15+5x=60 5x=33 ∴ x=335=635
答:略.
7. 行程問題:
(1)行程問題中的三個基本量及其關(guān)系: 路程=速度×時間.
(2)基本類型有
① 相遇問題;② 追及問題;常見的還有:相背而行;行船問題;環(huán)形跑道問題.
(3)解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系,一般情況下問題就能迎刃而解.并且還常常借助畫草圖來分析,理解行程問題.
例7. 甲、乙兩站相距480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行90公里,一列快車從乙站開出,每小時行140公里.
(1)慢車先開出1小時,快車再開.兩車相向而行.問快車開出多少小時后兩車相遇?
(2)兩車同時開出,相背而行多少小時后兩車相距600公里?
(3)兩車同時開出,慢車在快車后面同向而行,多少小時后快車與慢車相距600公里?
(4)兩車同時開出同向而行,快車在慢車的后面,多少小時后快車追上慢車?
(5)慢車開出1小時后兩車同向而行,快車在慢車后面,快車開出后多少小時追上慢車?
此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義,弄清行駛過程.故可結(jié)合圖形分析.
(1)分析:相遇問題,畫圖表示為:
等量關(guān)系是:慢車走的路程+快車走的路程=480公里.
設(shè)快車開出x小時后兩車相遇,由題意得,140x+90(x+1)=480
解這個方程,230x=390
∴ x=11623
答:略.
分析:相背而行,畫圖表示為:
等量關(guān)系是:兩車所走的路程和+480公里=600公里.
設(shè)x小時后兩車相距600公里,
由題意得,(140+90)x+480=600解這個方程,230x=120
∴ x=1223
答:略.
(3)分析:等量關(guān)系為:快車所走路程-慢車所走路程+480公里=600公里.
設(shè)x小時后兩車相距600公里,由題意得,(140-90)x+480=600 50x=120
∴ x=2.4
答:略.
分析:追及問題,畫圖表示為:
等量關(guān)系為:快車的路程=慢車走的路程+480公里.
設(shè)x小時后快車追上慢車.
由題意得,140x=90x+480
解這個方程,50x=480 ∴ x=9.6
答:略.
分析:追及問題,等量關(guān)系為:快車的路程=慢車走的路程+480公里.
設(shè)快車開出x小時后追上慢車.由題意得,140x=90(x+1)+480
50x=570 解得, x=11.4
答:略. 8. 利潤贏虧問題
(1)銷售問題中常出現(xiàn)的量有:進價、售價、標(biāo)價、利潤等
(2)有關(guān)關(guān)系式:
商品利潤=商品售價—商品進價=商品標(biāo)價×折扣率—商品進價
商品利潤率=商品利潤/商品進價
商品售價=商品標(biāo)價×折扣率
例8. 一家商店將某種服裝按進價提高40%后標(biāo)價,又以8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件仍獲利15元,這種服裝每件的進價是多少?
分析:探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵,可直接設(shè)出成本為X元
進價 折扣率 標(biāo)價 優(yōu)惠價 利潤
x元 8折 (1+40%)x元 80%(1+40%)x 15元
等量關(guān)系:(利潤=折扣后價格—進價)折扣后價格-進價=15
設(shè)進價為X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125
答:略.
9. 儲蓄問題
?、?顧客存入銀行的錢叫做本金,銀行付給顧客的酬金叫利息,本金和利息合稱本息和,存入銀行的時間叫做期數(shù),利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅
⑵ 利息=本金×利率×期數(shù)
本息和=本金+利息
利息稅=利息×稅率(20%)
例9. 某同學(xué)把250元錢存入銀行,整存整取,存期為半年.半年后共得本息和252.7元,求銀行半年期的年利率是多少?(不計利息稅)
分析:等量關(guān)系:本息和=本金×(1+利率)
設(shè)半年期的實際利率為x,
250(1+x)=252.7,
x=0.0108
所以年利率為0.0108×2=0.0216