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高二所有數(shù)學(xué)公式要點

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  凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要講究方法和技巧,更要學(xué)會對知識點進行歸納整理。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高二所有數(shù)學(xué)公式要點,希望對大家有所幫助!

  高二所有數(shù)學(xué)公式要點總結(jié)

  一、不等式的性質(zhì)

  1.兩個實數(shù)a與b之間的大小關(guān)系

  2.不等式的性質(zhì)

  (4) (乘法單調(diào)性)

  3.絕對值不等式的性質(zhì)

  (2)如果a>0,那么

  (3)|a•b|=|a|•|b|.

  (5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

  (6)|a1+a2+……+an|≤|a1|+|a2|+……+|an|.

  二、不等式的證明

  1.不等式證明的依據(jù)

  (2)不等式的性質(zhì)(略)

  (3)重要不等式:①|(zhì)a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)

 ?、赼2+b2≥2ab(a、b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)

  2.不等式的證明方法

  (1)比較法:要證明a>b(a0(a-b<0),這種證明不等式的方法叫做比較法.

  用比較法證明不等式的步驟是:作差——變形——判斷符號.

  (2)綜合法:從已知條件出發(fā),依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明不等式的方法叫做綜合法.

  (3)分析法:從欲證的不等式出發(fā),逐步分析使這不等式成立的充分條件,直到所需條件已判斷為正確時,從而斷定原不等式成立,這種證明不等式的方法叫做分析法.

  證明不等式除以上三種基本方法外,還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.

  三、解不等式

  1.解不等式問題的分類

  (1)解一元一次不等式.

  (2)解一元二次不等式.

  (3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式.

 ?、俳庖辉叽尾坏仁?

  ②解分式不等式;

 ?、劢鉄o理不等式;

  ④解指數(shù)不等式;

 ?、萁鈱?shù)不等式;

  ⑥解帶絕對值的不等式;

 ?、呓獠坏仁浇M.

  2.解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點:

  (1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì).

  (2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性.

  (3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍.

  3.不等式的同解性

  (5)|f(x)|0)

  (6)|f(x)|>g(x)①與f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解;②與g(x)<0同解.

  (9)當(dāng)a>1時,af(x)>ag(x)與f(x)>g(x)同解,當(dāng)0ag(x)與f(x)

  平方關(guān)系:

  sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α

  積的關(guān)系:

  sinα=tanα×cosα cosα=cotα×sinα tanα=sinα×secα cotα=cosα×cscα secα=tanα×cscα cscα=secα×cotα

  倒數(shù)關(guān)系:

  tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1

  商的關(guān)系:

  sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα

  直角三角形ABC中,

  角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

  余弦等于角A的鄰邊比斜邊

  正切等于對邊比鄰邊,

  ·[1]三角函數(shù)恒等變形公式

  ·兩角和與差的三角函數(shù):

  cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

  ·三角和的三角函數(shù):

  sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

  ·輔助角公式:

  Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A²+B²)^(1/2)cost=A/(A²+B²)^(1/2)tant=B/AAsinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

  ·倍角公式:

  sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]

  ·三倍角公式:

  sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α)tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

  ·半角公式:

  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

  ·降冪公式

  sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

  ·萬能公式:

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

  ·積化和差公式:

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

  ·和差化積公式:

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  ·推導(dǎo)公式

  tanα+cotα=2/sin2α

  tanα-cotα=-2cot2α

  1+cos2α=2cos²α

  1-cos2α=2sin²α

  1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²

  ·其他:

  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

  sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

  cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

  證明:

  左邊=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx

  =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx (積化和差)

  =[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右邊

  等式得證

  sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

  證明:

  左邊=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)

  =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

  =- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右邊

  等式得證

  [編輯本段]三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

  公式一:

  設(shè)α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

  sin(2kπ+α)=sinα

  cos(2kπ+α)=cosα

  tan(2kπ+α)=tanα

  cot(2kπ+α)=cotα

  公式二:

  設(shè)α為任意角,π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(π+α)=-sinα

  cos(π+α)=-cosα

  tan(π+α)=tanα

  cot(π+α)=cotα

  公式三:

  任意角α與 -α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(-α)=-sinα

  cos(-α)=cosα

  tan(-α)=-tanα

  cot(-α)=-cotα

  公式四:

  利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(π-α)=sinα

  cos(π-α)=-cosα

  tan(π-α)=-tanα

  cot(π-α)=-cotα

  公式五:

  利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(2π-α)=-sinα

  cos(2π-α)=cosα

  tan(2π-α)=-tanα

  cot(2π-α)=-cotα

  公式六:

  π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

  sin(π/2+α)=cosα

  cos(π/2+α)=-sinα

  tan(π/2+α)=-cotα

  cot(π/2+α)=-tanα

  sin(π/2-α)=cosα

  cos(π/2-α)=sinα

  tan(π/2-α)=cotα

  cot(π/2-α)=tanα

  sin(3π/2+α)=-cosα

  cos(3π/2+α)=sinα

  tan(3π/2+α)=-cotα

  cot(3π/2+α)=-tanα

  sin(3π/2-α)=-cosα

  cos(3π/2-α)=-sinα

  tan(3π/2-α)=cotα

  cot(3π/2-α)=tanα

  (以上k∈Z)

  對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  證明:

  已知(A+B)=(π-C)

  所以tan(A+B)=tan(π-C)

  則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

  整理可得

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  類似地,我們同樣也可以求證:當(dāng)α+β+γ=nπ(n∈Z)時,總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

  設(shè)a=(x,y),b=(x',y')。

  1、向量的加法

  向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x',y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的運算律:

  交換律:a+b=b+a;

  結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

  2、向量的減法

  如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量為0

  AB-AC=CB. 即“共同起點,指向被減”

  a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').

  4、數(shù)乘向量

  實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

  當(dāng)λ>0時,λa與a同方向;

  當(dāng)λ<0時,λa與a反方向;

  當(dāng)λ=0時,λa=0,方向任意。

  當(dāng)a=0時,對于任意實數(shù)λ,都有λa=0。

  注:按定義知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

  實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù),乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

  當(dāng)∣λ∣>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;

  當(dāng)∣λ∣<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。

  數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律

  結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

  向量對于數(shù)的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

  數(shù)對于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

  數(shù)乘向量的消去律:① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

  3、向量的的數(shù)量積

  定義:兩個非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π]。

  定義:兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量,記作a·b。若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉;若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣。

  向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示:a·b=x·x'+y·y'。

  向量的數(shù)量積的運算率

  a·b=b·a(交換率);

  (a+b)·c=a·c+b·c(分配率);

  向量的數(shù)量積的性質(zhì)

  a·a=|a|的平方。

  a⊥b 〈=〉a·b=0。

  |a·b|≤|a|·|b|。

  向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點

  1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)^2≠a^2·b^2。

  2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即:由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c。

  3、|a·b|≠|a|·|b|

  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

  4、向量的向量積

  定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b。若a、b不共線,則a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線,則a×b=0。

  向量的向量積性質(zhì):

  ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

  a×a=0。

  a‖b〈=〉a×b=0。

  向量的向量積運算律

  a×b=-b×a;

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

  (a+b)×c=a×c+b×c.

  注:向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

  向量的三角形不等式

  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

 ?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,左邊取等號;

 ?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,右邊取等號。

  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

 ?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時,左邊取等號;

 ?、?當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時,右邊取等號。

  定比分點

  定比分點公式(向量P1P=λ·向量PP2)

  設(shè)P1、P2是直線上的兩點,P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ,使 向量P1P=λ·向量PP2,λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有

  OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)

  x=(x1+λx2)/(1+λ),

  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標(biāo)公式)

  我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

  三點共線定理

  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

  三角形重心判斷式

  在△ABC中,若GA +GB +GC=0 ,則G為△ABC的重心

  [編輯本段]向量共線的重要條件

  若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ,使a=λb。

  a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。

  [編輯本段]向量垂直的充要條件

  a⊥b的充要條件是 a·b=0。

  a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。

  零向量0垂直于任何向量.

  還有注意一點,不要把點寫成叉

  圓錐曲線里的弦長公式

  d=根號(1+k^2)|x1-x2|=根號(1+k^2)根號[(x1+x2)^2-4x1x2]=根號[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]

  圓里相交直線所構(gòu)成的弦長m,與圓的半徑r,圓心到直線的距離d的關(guān)系為

  (m/2)^2+d^2=r^2

  直線

  A1x+B1y+C1=0

  A2x+B2y+C2=0

  平行的充要條件是A1B2+A2B1=0且B1C2+B2C1不等于0

  點到直線的距離公式

  d=|Ax0+By0+C|/根號(A^2+B^2)

  若平行

  則d=|c2-c1|/根號(A^2+B^2)

  A和B上下兩個式子必須相等
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