高中數(shù)學(xué)不等式的恒成立問題

　　不等式恒成立的問題既含參數(shù)又含變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機(jī)結(jié)合起來，具有形式靈活、思維性強(qiáng)、不同知識(shí)交匯等特點(diǎn). 考題通常有兩種設(shè)計(jì)方式：一是證明某個(gè)不等式恒成立，二是已知某個(gè)不等式恒成立，求其中的參數(shù)的取值范圍.解決這類問題的方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化化歸，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化可以把問題順利解決，下面我就結(jié)合自己記得教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談?wù)劜坏仁降暮愠闪栴}的處理方法。

　　一、構(gòu)造函數(shù)法

　　在解決不等式恒成立問題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，即構(gòu)造函數(shù)法，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題，同時(shí)注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更加面目更加清晰明了，一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù).例如;

　　例1 已知不等式對(duì)任意的都成立，求的取值范圍.

　　解：由移項(xiàng)得:.不等式左側(cè)與二次函數(shù)非常相似，于是我們可以設(shè)則不等式對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，即

　　解得故的取值范圍是.

　　評(píng)注：此類問題常因思維定勢，學(xué)生易把它看成關(guān)于的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折;若轉(zhuǎn)換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以為變量，令則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))的值在內(nèi)恒為負(fù)的問題，再來求解參數(shù)應(yīng)滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了。

　　二、分離參數(shù)法

　　在不等式中求含參數(shù)范圍過程中，當(dāng)不等式中的參數(shù)(或關(guān)于參數(shù)的代數(shù)式)能夠與其它變量完全分離出來并，且分離后不等式其中一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值或范圍可求時(shí)，常用分離參數(shù)法.

　　例2 已知函數(shù)(為常數(shù))是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù). (Ⅰ)若對(duì)(Ⅰ)中的任意實(shí)數(shù)都有在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：由題意知，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù). 在上恒成立

　　注：此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則;若對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則. 三、數(shù)形結(jié)合法

　　如果不等式中涉及的函數(shù)、代數(shù)式對(duì)應(yīng)的圖象、圖形較易畫出時(shí)，可通過圖象、圖形的位置關(guān)系建立不等式求得參數(shù)范圍.

　　例3 已知函數(shù)若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .

　　解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)的圖象下方，因此，當(dāng)時(shí)，所以故的取值范圍是

　　注：解決不等式問題經(jīng)常要結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系來確定參數(shù)的范圍.利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確做出函數(shù)的圖象.如：不等式，在時(shí)恒成立，求的取值范圍.此不等式為超越不等式，求解時(shí)一般使用數(shù)形結(jié)合法，設(shè)然后在同一坐標(biāo)系下準(zhǔn)確做出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，借助圖象觀察便可求解. 四、最值法

　　當(dāng)不等式一邊的函數(shù)(或代數(shù)式)的最值較易求出時(shí)，可直接求出這個(gè)最值(最值可能含有參數(shù))，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式求解. 例4 已知函數(shù)

　　(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間;

　　(Ⅱ)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，則，由得.且當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也就是函數(shù)在定義域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范圍為.

　　例5 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析①：把左邊看作x的函數(shù)關(guān)系，就可利用函數(shù)最值求解. 解法1：設(shè)f(x)=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,(x≤1)3，(-12) ∴f(x)min=3. ∴a<3.

　　分析②：利用絕對(duì)值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f(x)=│x+1│+│x-2│的最小值.

　　解法2：設(shè)f(x)=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3， ∴f(x)min=3. ∴a<3.

　　分析③：利用絕對(duì)值的幾何意義求解.

　　解法3：設(shè)x、-1、2在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是P、A、B，則│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，│PA│+│PB│=│AB│=3，當(dāng)點(diǎn)P不在線段AB上時(shí)，│PA│+│PB│>3，因此不論點(diǎn)P在何處，總有│PA│+│PB│≥3，而當(dāng)a<3時(shí)，│PA│+│PB│>a恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式│x+1│+│x-2│>a恒成立.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，3).

　　點(diǎn)評(píng)：求"恒成立問題"中參數(shù)范圍，利用函數(shù)最值方便自然，利用二次不等式恒為正(負(fù))的充要條件要分情況討論，利用圖象法直觀形象. 從圖象上直觀得到0