高考數(shù)學(xué)立體幾何專題復(fù)習(xí)題及答案
高考數(shù)學(xué)立體幾何專題復(fù)習(xí)題及答案
數(shù)學(xué)是高考考試中的主科之一，我們要對高考數(shù)學(xué)立體幾何進(jìn)行強化復(fù)習(xí)，立體幾何是高考數(shù)學(xué)考試中丟分的重災(zāi)區(qū)。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高考數(shù)學(xué)立體幾何專題復(fù)習(xí)題，希望對大家有所幫助!
高考數(shù)學(xué)立體幾何專題復(fù)習(xí)題
專題四 立體幾何
第1講 三視圖及空間幾何體的計算問題
(建議用時：60分鐘)
一、選擇題
1.(2014•湖北卷)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).給出編號為①②③④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 ( ).
A.①和② B.③和①
C.④和③ D.④和②
解析 由三視圖可知，該幾何體的正視圖是一個直角三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且內(nèi)有一個虛線(一個頂點與另一直角邊中點的連線)，故正視圖是④;俯視圖即在底面的射影是一個斜三角形，三個頂點的坐標(biāo)分別是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯視圖是②.
答案 D
2.(2013•東北三校第三次模擬)如圖，多面體ABCDEFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C=GD=2EA，其俯視圖如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是 ( ).
解析 注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實線，且由已知長度關(guān)系確定投影位置，排除A，C選項，觀察B，D選項，側(cè)視圖是指光線，從幾何體的左面向右面正投影，則BG，BF的投影為虛線，故選D.
答案 D
3.(2014•安徽卷)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為
( ).
A.21+3 B.18+3
C.21 D.18
解析 由三視圖知，幾何體的直觀圖如圖所示.因此該幾何體的表面積為6×2×2-6×12×1×1+2×34×(2)2=21+3.
答案 A
4.(2013;廣東卷)某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是 ( ).
A.4 B.143
C.163 D.6
解析 由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為1的正方形，下底面是邊長為2的正方形，高為2.由棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積V=13(12+1×22+22)×2=143，故選B.
答案 B
5.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐ABCD正視圖和俯視圖如圖，則三棱錐ABCD側(cè)視圖的面積為 ( ).
A.613 B.1813
C.213 D.313
解析 由正視圖及俯視圖可得，在三棱錐ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，該幾何體的側(cè)視圖是腰長為2×322+32=613的等腰直角三角形，其面積為12×6132=1813.
答案 B
6.在具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積為 ( ).
A.13 B.7+32
C.72π D.14
解析 由正視圖和俯視圖可知，該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圓柱.由圖象可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為1，底面邊長分別為1,3，所以表面積為2(1×3+1×1+3×1)=14.
答案 D
7.(2013•湖南卷)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為2的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于 ( ).
A.32 B.1
C.2+12 D.2
解析 易知正方體是水平放置的，又側(cè)視圖是面積為2的矩形.所以正方體的對角面平行于投影面，此時正視圖和側(cè)視圖相同，面積為2.
答案 D
二、填空題
8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為____________.
解析 由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成.其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2，高為4.所以V=2×2×4+12×22×π×4=16+8π.
答案 16+8π
9.(2013•江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1∶V2=________.
解析 設(shè)三棱柱A1B1C1-ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1=13×14S•12h=124Sh=124V2，即V1∶V2=1∶24.
答案 1∶24
10.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為________.
解析 利用三棱錐的體積公式直接求解.
VD1-EDF=VF-DD1F=13S△D1DE•AB=13×12×1×1×1=16.
答案 16
11.(2014重慶卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________.
解析 由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.在長方體中分析還原，如圖(1)所示，故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.在圖(1)中，直角梯形ABPA1的面積為12×(2+5)×4=14，計算可得A1P=5.直角梯形BCC1P的面積為12×(2+5)×5=352.因
答案 60
12.已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為________.
解析 在Rt△ASC中，AC=1，∠SAC=90°，SC=2，所以SA=4-1=3.同理，SB=3.過A點作SC的垂線交SC于D點，連接DB，因為△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD=BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD為等腰三角形.因為∠ASC=30°，故AD=12SA=32，則△ABD的面積為12×1×AD2-122=24，則三棱錐S-ABC的體積為13×24×2=26.
答案 26
三、解答題
13.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形.
(1)求該幾何體的體積V;
(2)求該幾何體的側(cè)面積S.
解 由已知可得，該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐EABCD，AB=8，BC=6.
(1)V=13×8×6×4=64.
(2)四棱錐EABCD的兩個側(cè)面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高h(yuǎn)1=42+822=42;
另兩個側(cè)面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高h(yuǎn)2=42+622=5.
因此S=2×12×6×42+12×8×5=40+242.
14.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，E和F是l上的兩個不同點，且EA=ED，F(xiàn)B=FC.E′和F′是平面ABCD內(nèi)的兩點，EE′和FF′都與平面ABCD垂直.
(1)證明：直線E′F′垂直且平分線段AD;
(2)若∠EAD=∠EAB=60 °，EF=2.求多面體ABCDEF的體積.
(1)證明 ∵EA=ED且EE′⊥平面ABCD，
∴E′D=E′A，∴點E′在線段AD的垂直平分線上.
同理，點F′在線段BC的垂直平分線上.
又四邊形ABCD是正方形，
∴線段BC的垂直平分線也就是線段AD的垂直平分線，即點E′、F′都在線段AD的垂直平分線上.
∴直線E′F′垂直且平分線段AD.
(2)解 如圖，連接EB、EC，由題意知多面體ABCDEF可分割成正四棱錐EABCD和正四面體EBCF兩部分.設(shè)AD的中點為M，在Rt△MEE′中，由于ME′=1，ME=3，∴EE′=2.
∴VEABCD=13•S正方形ABCD•EE′=13×22×2=423.
又VEBCF=VCBEF=VCBEA=VEABC=13S△ABC•EE′=13×12×22×2=223，
∴多面體ABCDEF的體積為VEABCD+VEBCF=22.
15.(2013•廣東卷)如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G.將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=22.
(1)證明：DE∥平面BCF;
(2)證明：CF⊥平面ABF;
(3)當(dāng)AD=23時，求三棱錐F-DEG的體積VFDEG.
(1)證明 在等邊三角形ABC中，AB=AC.
∵AD=AE，
∴ADDB=AEEC，∴DE∥BC，
同理可證GE∥平面BCF.
∵DG∩GE=G，∴平面GDE∥平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)證明 在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，∴AF⊥FC，
∴BF=FC=12BC=12.
在圖2中，∵BC=22，
∴BC2=BF2+FC2，∴∠BFC=90°，
∴FC⊥BF.
∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF.
(3)解 ∵AD=23，
∴BD=13，AD∶DB=2∶1，
在圖2中，AF⊥FC，AF⊥BF，
∴AF⊥平面BCF，
由(1)知平面GDE∥平面BCF，
∴AF⊥平面GDE.
在等邊三角形ABC中，AF=32AB=32，
∴FG=13AF=36，DG=23BF=23×12=13=GE，
∴S△DGE=12DG•EG=118，
∴VF-DEG=13S△DGE•FG=3324.
高考數(shù)學(xué)答題技巧
1.調(diào)整好狀態(tài)，控制好自我。
(1)保持清醒。數(shù)學(xué)的考試時間在下午，建議同學(xué)們中午最好休息半個小時或一個小時，其間盡量放松自己，從心理上暗示自己：只有靜心休息才能確保考試時清醒。
(2)按時到位。今年的答題卡不再單獨發(fā)放，要求答在答題卷上，但發(fā)卷時間應(yīng)在開考前5-10分鐘內(nèi)。建議同學(xué)們提前15-20分鐘到達(dá)考場。
2.通覽試卷，樹立自信。
剛拿到試卷，一般心情比較緊張，此時不易匆忙作答，應(yīng)從頭到尾、通覽全卷，哪些是一定會做的題要心中有數(shù)，先易后難，穩(wěn)定情緒。答題時，見到簡單題，要細(xì)心，莫忘乎所以。面對偏難的題，要耐心，不能急。
3.提高解選擇題的速度、填空題的準(zhǔn)確度。
數(shù)學(xué)選擇題是知識靈活運用，解題要求是只要結(jié)果、不要過程。因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、數(shù)形結(jié)合法……盡顯威力。12個選擇題，若能把握得好，容易的一分鐘一題，難題也不超過五分鐘。由于選擇題的特殊性，由此提出解選擇題要求“快、準(zhǔn)、巧”，忌諱“小題大做”。填空題也是只要結(jié)果、不要過程，因此要力求“完整、嚴(yán)密”。
4.審題要慢，做題要快，下手要準(zhǔn)。
題目本身就是破解這道題的信息源，所以審題一定要逐字逐句看清楚，只有細(xì)致地審題才能從題目本身獲得盡可能多的信息。
找到解題方法后，書寫要簡明扼要，快速規(guī)范，不拖泥帶水，牢記高考評分標(biāo)準(zhǔn)是按步給分，關(guān)鍵步驟不能丟，但允許合理省略非關(guān)鍵步驟。答題時，盡量使用數(shù)學(xué)語言、符號，這比文字?jǐn)⑹鲆?jié)省而嚴(yán)謹(jǐn)。
5.保質(zhì)保量拿下中下等題目。
中下題目通常占全卷的80%以上，是試題的主要部分，是考生得分的主要來源。誰能保質(zhì)保量地拿下這些題目，就已算是打了個勝仗，有了勝利在握的心理，對攻克高難題會更放得開。
6.要牢記分段得分的原則，規(guī)范答題。
會做的題目要特別注意表達(dá)的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語言的科學(xué)，防止被“分段扣點分”。
難題要學(xué)會：
(1)缺步解答：聰明的解題策略是，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，能解決多少就解決多少，能演算幾步就寫幾步。特別是那些解題層次明顯的題目，或者是已經(jīng)程序化了的方法，每進(jìn)行一步得分點的演算都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分?jǐn)?shù)卻已過半。
(2)跳步答題：解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時，我們可以假定某些結(jié)論是正確的往后推，看能否得到結(jié)論，或從結(jié)論出發(fā)，看使結(jié)論成立需要什么條件。如果方向正確，就回過頭來，集中力量攻克這一“卡殼處”。如果時間不允許，那么可以把前面的寫下來，再寫出“證實某步之后，繼續(xù)有……”一直做到底，這就是跳步解答。也許，后來中間步驟又想出來，這時不要亂七八糟插上去，可補在后面。若題目有兩問，第一問想不出來，可把第一問作“已知”，“先做第二問”，這也是跳步解答。今年仍是網(wǎng)上閱卷，望廣大考生規(guī)范答題，減少隱形失分。
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)攻略
一、夯實基礎(chǔ)，知識與能力并重。
沒有基礎(chǔ)談不上能力;復(fù)習(xí)要真正地回到重視基礎(chǔ)的軌道上來，這里的基礎(chǔ)不是指針對考試機械重復(fù)的訓(xùn)練，而是指要搞清基本原理、基本方法，體驗知識形成過程以及對知識本質(zhì)意義的理解與感悟，同時，對基礎(chǔ)知識進(jìn)行全面回顧，并形成自己的知識體系。
著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：“數(shù)學(xué)是一個原則，無數(shù)內(nèi)容，一種方法，到處可用。”華羅庚先生還一再倡導(dǎo)讀書要把書讀得“由薄到厚”，再“由厚到薄”，如果說我們從小學(xué)到中學(xué)學(xué)習(xí)12年數(shù)學(xué)的過程是“由薄到厚”的過程，那么高考復(fù)習(xí)的過程應(yīng)該是深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)的內(nèi)容、意義和方法，認(rèn)真梳理、歸納、探究、總結(jié)、提練，把握規(guī)律、靈活運用，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成“由厚變薄”的過程，變成我們培養(yǎng)科學(xué)精神、掌握科學(xué)方法的最有效的工具，成為自己做高素質(zhì)現(xiàn)代人的重要武器，那時，做高考數(shù)學(xué)題就會得心應(yīng)手。
二、復(fù)習(xí)中要把注意力放在培養(yǎng)自己的思維能力上。
培養(yǎng)自己獨立解決問題的能力始終是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的出發(fā)點與落腳點，要在體驗知識的過程中，適時進(jìn)行探究式、開放式題目的研究和學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)悟蘊涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法，并加以自覺的應(yīng)用，力求做到使自己的理性思維能力、分析問題和解決問題的能力有切實的提高。
學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)要抓住“四個三”：1、內(nèi)容上要充分領(lǐng)悟三個方面：理論、方法、思維;2、解題上要抓好三個字：數(shù)、式、形;3、閱讀、審題和表述上要實現(xiàn)數(shù)學(xué)的三種語言自如轉(zhuǎn)化(文字語言、符號語言、圖形語言);4、學(xué)習(xí)中要駕馭好三條線：知識(結(jié)構(gòu))是明線(要清晰)，方法(能力)是暗線(要領(lǐng)悟、要提練)，思維(訓(xùn)練)是主線(思維能力是數(shù)學(xué)諸能力的核心，創(chuàng)造性的思維能力是最強大的創(chuàng)新動力，是檢驗自己大腦潛能開發(fā)好壞的試金石。)
三、講究復(fù)習(xí)策略。
在第一輪復(fù)習(xí)中，要注意構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，不要盲目地做題，不要急于攻難度大的“綜合題、探究題”，復(fù)習(xí)要以中檔題為主，選題要典型，要深刻理解概念，抓住問題的本質(zhì)，抓住知識間的相互聯(lián)系。高考題大多數(shù)都很常規(guī)，只不過問題的情景、設(shè)問的角度改變了一下，因此，建議考生在首輪復(fù)習(xí)中，不要盲目地自己找題，而應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，精做題。
數(shù)學(xué)是應(yīng)用性很強的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題。搞題海戰(zhàn)術(shù)的方式、方法固然是不對的，但離開解題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣也是錯誤的的，其中的關(guān)鍵在于對待題目的態(tài)度和處理解題的方式上。
要精選做題，做到少而精。只有解決高質(zhì)量的、有代表性的題目才能達(dá)到事半功倍的效果，然而絕大多數(shù)的同學(xué)還沒有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導(dǎo)下來選擇復(fù)習(xí)的練習(xí)題，以了解高考題的形式、難度。
要分析題目。解答任何一個數(shù)學(xué)題目之前，都要先進(jìn)行分析。相對于比較難的題目，分析更顯得尤為重要，我們知道，解決數(shù)學(xué)問題實際上就是在題目的已知條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎(chǔ)上，化歸和消除這些差異。當(dāng)然在這個過程中也反映出對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度、理解程度和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)一后就可以解決問題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關(guān)鍵。
四、加強做題后的反思。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要做題，做題一定要獨立而精做，具備良好的反思能力，才談得上題目的精做。做題前要把老師上課時復(fù)習(xí)的知識再回顧一下，對所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)要有一個完整的清楚的認(rèn)識，不留下任何知識的盲點，對所涉及的解題方法要深刻領(lǐng)會、做題時，一定要全神貫注，保持最佳狀態(tài)，注意解題格式規(guī)范，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以良好的心態(tài)進(jìn)入高考。做題后，一定要認(rèn)真反思，仔細(xì)分析，通過做幾道相關(guān)的變式題來掌握一類題的解法，從中總結(jié)出一些解題技巧，更重要的是掌握解題的思維方式，內(nèi)化為自己的能力，并總結(jié)出對問題的規(guī)律性認(rèn)識和找出自己存在的問題，對做題中出現(xiàn)的問題，注意總結(jié)，及時解決，重點一定要放在培養(yǎng)自己的分析問題和解決問題的能力上。
注意分析探求解題思路時數(shù)學(xué)思想方法的運用。解題的過程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識，逐步縮小題設(shè)與結(jié)論間的差異的過程，也可以說是運用化歸思想的過程，解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程。
注意數(shù)學(xué)思想方法在解決典型問題中的運用。如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過一個面內(nèi)一點到另一個面上的垂線，過這點再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足，這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個通法就是在化立體問題為平面問題的轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下求得的，其中三垂線定理在構(gòu)圖中的運用，也是分析、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思維方法運用之所得。
調(diào)整思路，克服思維障礙時，注意數(shù)學(xué)方法的運用。通過認(rèn)真觀察，以產(chǎn)生新的聯(lián)想;分類討論，使條件確切、結(jié)論易求;化一般為特殊、化抽象為具體，使問題簡化等都值得我們一試，分析、歸納、類比等數(shù)學(xué)思維方法;數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想是走出思維困境的武器和指南。
用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識、方法的靈活運用，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性;對習(xí)題靈活變通、引申推廣，培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性;組織引導(dǎo)對解法的簡捷性的反思評估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性，對同一數(shù)學(xué)問題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源，豐富的合理的聯(lián)想，是對知識的深刻理解，及類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與議程等數(shù)學(xué)思想運用的必然。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自覺運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。
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