高考數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧及高考題例析
高考數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧及高考題例析
考試是檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知識(shí)儲(chǔ)備。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的高考數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧，希望對(duì)大家有所幫助!
高考數(shù)學(xué)解析幾何解題技巧及高考題例析
每次和同學(xué)們談及高考數(shù)學(xué)，大家似乎都有同感：高中數(shù)學(xué)難，高考數(shù)學(xué)解析幾何又是難中之難。實(shí)在不然，解析幾何題目自有路徑可循，方法可依。只要經(jīng)過(guò)認(rèn)真的預(yù)備和正確的點(diǎn)撥，完全可以讓高考數(shù)學(xué)的解析幾何壓軸題變成讓同學(xué)們都很有信心的中等題目。
我們先來(lái)分析一下解析幾何高考的命題趨勢(shì)：
(1)題型穩(wěn)定：近幾年來(lái)高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個(gè)選擇題，一個(gè)填空題，一個(gè)解答題上，分值約為30分左釉冬 占總分值的20%左右。
(2)整體平衡，重點(diǎn)突出：《考試說(shuō)明》中解析幾何部分原有33個(gè)知識(shí)點(diǎn)，現(xiàn)縮為19個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一般考查的知識(shí)點(diǎn)超過(guò)50%，其中對(duì)直線、圓、圓錐曲線知識(shí)的考查幾乎沒(méi)有遺漏，通過(guò)對(duì)知識(shí)的重新組合，考查時(shí)既留意全面，更留意突出重點(diǎn)，對(duì)支撐數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)，考查時(shí)保證較高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考對(duì)解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類(lèi)型：
?、?求曲線方程(類(lèi)型確定、類(lèi)型未定);
?、谥本€與圓錐曲線的交點(diǎn)題目(含切線題目);
?、叟c曲線有關(guān)的最(極)值題目;
?、芘c曲線有關(guān)的幾何證實(shí)(對(duì)稱(chēng)性或求對(duì)稱(chēng)曲線、平行、垂直);
⑤探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)目特征;
(3)能力立意，滲透數(shù)學(xué)思想：如2000年第(22)題，以梯形為背景，將雙曲線的概念、性質(zhì)與坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式、離心率等知識(shí)融為一體，有很強(qiáng)的綜合性。一些雖是常見(jiàn)的基本題型，但假如借助于數(shù)形結(jié)合的思想，就能快速正確的得到答案。
(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計(jì)算量減少，思考量增大。加大與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程、不等式等)，凸現(xiàn)教材中研究性學(xué)習(xí)的能力要求。加大探索性題型的分量。
在近年高考中，對(duì)直線與圓內(nèi)容的考查主要分兩部分：
(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質(zhì)，此類(lèi)題一般難度不大，但每年必考，考查內(nèi)容主要有以下幾類(lèi)：
?、倥c本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規(guī)劃等)有關(guān)的題目;
?、趯?duì)癡光目(包括關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng))要熟記解法;
?、叟c圓的位置有關(guān)的題目，其常規(guī)方法是研究圓心到直線的間隔.
以及其他“標(biāo)準(zhǔn)件”類(lèi)型的基礎(chǔ)題。
(2)以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，此類(lèi)題綜合性比較強(qiáng)，難度也較大。
預(yù)計(jì)在今后一、二年內(nèi)，高考對(duì)本章的考查會(huì)保持相對(duì)穩(wěn)定，即在題型、題量、難度、重點(diǎn)考查內(nèi)容等方面不會(huì)有太大的變化。
相比較而言，圓錐曲線內(nèi)容是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因而是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內(nèi)容是圓錐曲線的概念和性質(zhì)，直線與圓錐的位置關(guān)系等，從近十年高考試題看大致有以下三類(lèi)：
(1)考查圓錐曲線的概念與性質(zhì);
(2)求曲線方程和求軌跡;
(3)關(guān)于直線與圓及圓錐曲線的位置關(guān)系的題目.
選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查對(duì)象，填空題以拋物線為考查對(duì)象，解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為主，對(duì)于求曲線方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學(xué)生的想象能力、分析題目的能力，從而體現(xiàn)解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨(dú)考查，總是與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn).解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標(biāo)法以及二次曲線性質(zhì)的運(yùn)用的命題趨向要引起我們的重視.
請(qǐng)同學(xué)們留意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質(zhì).從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢(shì)，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數(shù)方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數(shù)方程與普通方程互化及等價(jià)變換的數(shù)學(xué)思想方法。
考試大綱這部分的變動(dòng)就是(1)、簡(jiǎn)單線性規(guī)劃由08年的了解進(jìn)步到理解，(2)、橢圓的參數(shù)方程由08年的了解進(jìn)步到理解。
04----08年，解析幾何部分的命題都是“一大兩小”——一個(gè)解答題兩個(gè)客觀題，多是以平面向量為載體，綜合圓錐曲線交匯處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型圓錐曲線題目，使平面向量的知識(shí)與解析幾何的知識(shí)得到了很好的整合。集中體現(xiàn)對(duì)考生綜合知識(shí)和應(yīng)變能力的考查。
考查的重點(diǎn)落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往是通過(guò)直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立、消元，借助于韋達(dá)定理代人、向量搭橋建立等量關(guān)系?？疾轭}型涉及的知識(shí)點(diǎn)題目有求曲線方程題目、參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線過(guò)定點(diǎn)題目、對(duì)癡光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。
命題特別留意對(duì)思維嚴(yán)密性的考查，解題時(shí)需要留意考慮以下幾個(gè)題目：
1、設(shè)曲線方程時(shí)看清焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上;留意方程待定形式及參數(shù)方程的使用。
2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意“D”的影響等。
3、命題結(jié)論給出的方式：搞清題目所給的幾個(gè)小題是并列關(guān)系還是遞進(jìn)關(guān)系。假如前后小題各自有強(qiáng)化條件，則為并列關(guān)系，前面小題結(jié)論后面小題不能用;不過(guò)考題經(jīng)常給出的是遞進(jìn)關(guān)系，有(1)、第一問(wèn)求曲線方程、第二問(wèn)討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，(2)第一問(wèn)求離心率、第二問(wèn)結(jié)合圓錐曲線性質(zhì)求曲線方程，(3)探索型題目等。解題時(shí)要根據(jù)不同情況考慮施加不同的解答技巧。
4、題目條件如與向量知識(shí)結(jié)合，也要留意向量的給出形式：
(1)、直接反映圖形位置關(guān)系和性質(zhì)的,如?=0，=( )，λ,以及過(guò)三角形“四心”的向量表達(dá)式等;
(2)、=λ：假如已知M的坐標(biāo)，按向量展開(kāi);假如未知M的坐標(biāo)，按定比分點(diǎn)公式代進(jìn)表示M點(diǎn)坐標(biāo)。
(3)、若題目條件由多個(gè)向量表達(dá)式給出，則考慮其圖形特征(數(shù)形結(jié)合)。
5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區(qū)別使用，留意圓錐曲線的性質(zhì)的應(yīng)用。
6、留意數(shù)形結(jié)合，特別留意圖形反映的平面幾何性質(zhì)。
7、解析幾何題的另一個(gè)考查的重點(diǎn)就是學(xué)生的基本運(yùn)算能力，所以解析幾何考題學(xué)生普遍感覺(jué)較難對(duì)付。為此我們有必要在平常的解題變形的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對(duì)癡規(guī)換的技巧，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)式用韋達(dá)定理代進(jìn)的技巧，構(gòu)造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。
8、平面解析幾何與平面向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，所以這兩者多有結(jié)合，在它們的知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，也是高考命題的一大亮點(diǎn).直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目是?？汲Ｐ?、經(jīng)久不衰的一個(gè)考查重點(diǎn)，另外，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對(duì)癡光目等綜合性題目也是高考的?？碱}型.解析幾何題一般來(lái)說(shuō)計(jì)算量較大且有一定的技巧性，需要“精打細(xì)算”，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目，對(duì)考生的意志品質(zhì)和數(shù)學(xué)機(jī)智都是一種考驗(yàn)，是高考試題中區(qū)分度較大的一個(gè)題目，有可能作為今年高考的一個(gè)壓軸題出現(xiàn).
例1已知點(diǎn)A(-1，0)，B(1，-1)和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖.
(1)若△POM的面積為，求向量與的夾角http://www.xxsxyy.com。什么牌子的粉底液好
(2)試證實(shí)直線PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。
高考命題雖說(shuō)千變?nèi)f化，但只要認(rèn)真研究考綱和近三年高考試題以及2010年的模擬試題，找出相應(yīng)的一些規(guī)律，我們就大膽地猜想高考解答題命題的一些思路和趨勢(shì)，指導(dǎo)我們后面的溫習(xí)。對(duì)待高考，我們應(yīng)該采取正確的態(tài)度，再大膽猜測(cè)的同時(shí)，更要注重基礎(chǔ)知識(shí)的進(jìn)一步鞏固，多做一些簡(jiǎn)單的綜合練習(xí)，進(jìn)步自己的解題能力.
一、高考溫習(xí)建議：
本章內(nèi)容是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，在每年的高考考試卷中占總分的15%左釉冬分值一直保持穩(wěn)定，一般有2-3道客觀題和一道解答題。選擇題、填空題不僅重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，而且具有一定的靈活性與綜合性，難度以中檔題居多，解答題注重考生對(duì)基本方法，數(shù)學(xué)思想的理解、把握和靈活運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度較大，常作為把關(guān)題或壓軸題，其重點(diǎn)是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線方程，關(guān)于圓錐曲線的最值題目?？疾閿?shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、邏輯推理諸方面的能力，對(duì)思維能力、思維方法的要求較高。
近幾年，解析幾何考查的熱門(mén)有以下幾個(gè)
――求曲線方程或點(diǎn)的軌跡
――求參數(shù)的取值范圍
――求值域或最值
――直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
以上幾個(gè)題目往往是相互交叉的，例如求軌跡方程時(shí)就要考慮參數(shù)的范圍，而參數(shù)范圍題目或者最值題目，又要結(jié)合直線與圓錐曲線關(guān)系進(jìn)行。
總結(jié)近幾年的高考試題，溫習(xí)時(shí)應(yīng)留意以下題目：
1、重點(diǎn)把握橢圓、雙曲線、拋物線的定義或性質(zhì)
這是由于橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)是本章的基石，高考所考的題目都要涉及到這些內(nèi)容，要善于多角度、多層次不斷鞏固強(qiáng)化三基，努力促進(jìn)知識(shí)的深化、升華。
2、重視求曲線的方程或曲線的軌跡
曲線的方程或軌跡題目往往是高考解答題的命題對(duì)象，而且難度較大，所以要把握求曲線的方程或曲線的軌跡的一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、代進(jìn)法(中間變量法)、相關(guān)點(diǎn)法等，還應(yīng)留意與向量、三角等知知趣結(jié)合。
3、加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目的溫習(xí)
由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱門(mén)，這類(lèi)題目常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直題目，因此分析題目時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系往解決題目，這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查，其中著力抓好“運(yùn)算關(guān)”，增強(qiáng)抽象運(yùn)算與變形能力。解析幾何的解題思路輕易分析出來(lái)，往往由于運(yùn)算不過(guò)關(guān)中途而廢，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)通過(guò)解題，尋求公道運(yùn)算方案，以及簡(jiǎn)化運(yùn)算的基本途徑和方法，親身經(jīng)歷運(yùn)算困難的發(fā)生與克服困難的完整過(guò)程，增強(qiáng)解決復(fù)雜題目的信心。
4、重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行回納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。
用好方程思想。解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)題目利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就可簡(jiǎn)化解題運(yùn)算量。
用好函數(shù)思想。
把握坐標(biāo)法。
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
三、知識(shí)梳理
●求曲線方程或點(diǎn)的軌跡
求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個(gè)熱門(mén)和重點(diǎn)，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當(dāng)今高考的改革以考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門(mén)，則能很好地反映學(xué)生在這些方面能力的把握程度。
下面先容幾種常用的方法
(1) 直接法：動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x、粉底液哪個(gè)牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。
(2) 定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
(3) 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)(如線段中垂線、角平分線性質(zhì)等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單。
(4) 相關(guān)點(diǎn)法(代進(jìn)法)：有些題目中，某動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)(稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)的，假如相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代進(jìn)其所滿足的方程，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
(5) 參數(shù)法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)經(jīng)常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x、y)中的x、y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱(chēng)這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法。消往參數(shù)，即可得到軌跡普通方程。選定參變量要特別留意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響。
(6) 交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡題目，這類(lèi)題目常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消往參數(shù)求出所求軌跡方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。
例1、(2000安徽春)已知A、B為拋物線y2 = 4px (p>0) 上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), OA⊥OB，OM⊥AB，M為垂足，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線。
例2、好用的粉底液(1997全國(guó))如圖，給出定點(diǎn)A(a ，0)( a>0 )和直線l ：x = -1 , B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類(lèi)型與a值的關(guān)系
●求參數(shù)范圍題目
在解析幾何題目中，常用到參數(shù)來(lái)刻劃點(diǎn)和曲線的運(yùn)動(dòng)和變化，對(duì)于參變量范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉(zhuǎn)化，需要用函數(shù)和變量往思考，因此要用函數(shù)和方程的思想作指導(dǎo)，利用已知變量的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數(shù)的取值范圍。
例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對(duì)于直線l: y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線 l 對(duì)稱(chēng)。
例2、(2004浙江)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A(1，0),點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上，點(diǎn)M (m , 0 ) 到直線AP的間隔為1，
(1)若直線AP的斜率為k ，且 ，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍
(2)當(dāng) 時(shí)，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線的方程
●值域和最值題目
與解析幾何有關(guān)的函數(shù)的值域或弦長(zhǎng)、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數(shù)的綜合題目，需要以函數(shù)為工具來(lái)處理。
解析幾何中的最值題目，一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)――函數(shù)的關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可借助圖形，利用數(shù)形結(jié)正當(dāng)求最值。
例1、如圖，已知拋物線 y2 = 4x 的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(5，0),傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交(不過(guò)O點(diǎn)或A點(diǎn))，且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線的方程，并求△AMN的最大面積。
●直線與圓錐曲線關(guān)系題目
1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系題目，從代數(shù)角度轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程組實(shí)解個(gè)數(shù)研究(如能數(shù)形結(jié)合，可借助圖形的幾何性質(zhì)則較為簡(jiǎn)便)。即判定直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線方程帶進(jìn)曲線C的方程，消往y(有時(shí)消往x更方便)，得到一個(gè)關(guān)于x的一元方程 ax2 + bx + c = 0
當(dāng)a=0時(shí)，這是一個(gè)一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)。若C為雙曲線，則 l 平行與雙曲線的漸進(jìn)線;若C為拋物線，則 l 平行與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸。所以當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線和雙曲線、拋物線可能相交，也可能相切。
當(dāng) a≠0 時(shí)，若Δ>0 l與C相交
Δ=0 l與C相切
Δ<0 l與C相離
2、涉及圓錐曲線的弦長(zhǎng)，一般用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理求解，若是過(guò)交點(diǎn)的弦利用圓錐曲線的定***題則較為方便
弦長(zhǎng)公式
解決弦中點(diǎn)有兩種常用辦法：一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式;二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系(點(diǎn)差法)
中點(diǎn)弦題目就是當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，得到一條顯冬進(jìn)一步研究弦的中點(diǎn)的題目. 中點(diǎn)弦題目是解析幾何中的重點(diǎn)和熱門(mén)題目，在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn). 解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦題目，“點(diǎn)差法”是一個(gè)行之有效的方法，“點(diǎn)差法”顧名思義是代點(diǎn)作差的辦法. 其步驟可扼要地?cái)⑹鰹椋孩僭O(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo);②將端點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)圓錐曲線方程相減;③得到弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與所在直線的斜率的關(guān)系，從而求出直線的方程;④ 作簡(jiǎn)
要的檢驗(yàn). 本文試圖通過(guò)對(duì)一道高考試題解法的探討，談點(diǎn)個(gè)人見(jiàn)解.
一、高考試題
(2006年北京市高考卷第19題)橢圓C： + = 1(a> b > 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=， |PF2| = .
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線l過(guò)圓x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圓心M，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，竊讀，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，求直線l的方程.
二、解題思路
第(1)題的解法不再贅述，答案是：+ = 1，在此基礎(chǔ)上研究第(2)題的解法.
1. 運(yùn)用方程組的思路
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，已知圓的方程為(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5，所以圓心M的坐標(biāo)為(-2，1)，從而可設(shè)直線l的方程為：y= k(x+ 2)+1.
∴y= k(x+ 2)+ 1，+=1.消y得
(4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0.
∵ A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，
∴ = - = -2，解得 k =.
∴ 直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0.
2. 運(yùn)用“點(diǎn)差法”的思路
已知圓的方程為(x+ 2)2+ (y- 1)2= 5，所以圓心M的坐標(biāo)為(-2，1).
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意x1≠x2且
+ = 1(1)+= 1(2)
由(1)- (2)得
+ = 0(3)
由于A，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)，所以x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 2，代進(jìn)(3)得 k1 = =，所以，直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0. 經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.
三、對(duì)兩種思路的熟悉
思路1運(yùn)算較復(fù)雜，尤其是消元得到方程這一步，很多學(xué)生是不能順利過(guò)關(guān)的;思路2運(yùn)算較簡(jiǎn)潔，學(xué)生易把握. 對(duì)于兩種思路都必須分析到：直線l經(jīng)過(guò)圓心，而且圓心是弦的中點(diǎn). 這些方法在考題中經(jīng)常有所涉及.
四、對(duì)“點(diǎn)差法”的思考
1. “點(diǎn)差法”使用條件的反思
“點(diǎn)差法”使用起來(lái)較為簡(jiǎn)潔，那么使用“點(diǎn)差法”的條件是什么?
假設(shè)一條直線與曲線mx2 + ny2 = 1(n，m是不為零的常數(shù)，且不同時(shí)為負(fù)數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，x2)，B(x2，y2)，則mx12 + ny12= 1，mx22 + ny22 = 1， 兩式相減有：m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2). 其中x1+x2與y1 + y2和線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān); 為AB的斜率. 由此可見(jiàn)，知道其中一個(gè)可以求出另外一個(gè)，意思是說(shuō)：要用“點(diǎn)差法”，需知道AB的中點(diǎn)和AB的斜率之一才可求另一個(gè). 然后進(jìn)行扼要的檢驗(yàn).
2. 先容一種處理中點(diǎn)弦題目時(shí)的巧妙的獨(dú)到的解法
例題 已知雙曲線x2 - = 1，問(wèn)是否存在直線l，使得M(1，1)為直線l被雙曲線所截弦AB的中點(diǎn).若存在，求出直線l的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
由題意得M(1，1)為顯讀B的中點(diǎn)，可設(shè)A(1+ s，1+ t)，B(1- s，1- t)，(s，t∈T訂，由于A，B，M不重合可知， s，t不全為零. 又點(diǎn)A，B在雙曲線x2-= 1上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)方程得
(1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)
(1)+ (2) 可得s2= t2 (3)
(1)- (2) 可得t = 2s (4)
將(4)代進(jìn)(3)可得s= 0，t= 0，不可能，故不存在這樣的直線.
這里我們回納一下解題思路：
已知直線l與圓錐曲線：ax2 + by2 = 1(a，b使得方程為圓錐曲線)相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為M(m，n)，求直線l方程.
解題思路 設(shè)A(m+ s，n+ t)，B(m - s，n - t)， (s，t∈T訂，由于A，B，M不重合可知，s，t不全為零. 又點(diǎn)A，B在雙曲線ax2 + by2 = 1上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代進(jìn)方程得a(m + s)2- b(n+ t)2= 1， a(m-s)2 - b(n- t)2= 1.解得：ams = bnt，am2 +s2 = bn2 + t2. (由于這里全是字母運(yùn)算，表達(dá)式復(fù)雜，不再求出所有的表達(dá)式的具體形式，只是談一下思路)進(jìn)一步解出s，t的值，從而知道A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)式求出直線l的方程.
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