2017年高考數(shù)學(xué)方差必考知識(shí)點(diǎn)
方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù),在許多實(shí)際問題中,研究隨機(jī)變量和均值之間的偏離程度有著很重要的意義。以下是學(xué)習(xí)啦小編為您整理的關(guān)于2017年高考數(shù)學(xué)方差必考知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)資料,希望對(duì)您有所幫助。
高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之方差定義
方差用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望(即均值)之間的偏離程度。統(tǒng)計(jì)中的方差(樣本方差)是各個(gè)數(shù)據(jù)分別與其平均數(shù)之差的平方的和的平均數(shù)。
高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之方差性質(zhì)
1.設(shè)C為常數(shù),則D(C)=0(常數(shù)無波動(dòng));
2.D(CX)=C2D(X)(常數(shù)平方提取);
3.若X、Y相互獨(dú)立,則前面兩項(xiàng)恰為D(X)和D(Y),第三項(xiàng)展開后為
當(dāng)X、Y相互獨(dú)立時(shí),,故第三項(xiàng)為零。
獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和,可推廣到有限項(xiàng)。
方差公式:
平均數(shù):M=(x1+x2+x3+…+xn)/n
(n表示這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)
高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之方差的應(yīng)用
計(jì)算下列一組數(shù)據(jù)的極差、方差及標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01).
50,55,96,98,65,100,70,90,85,100.
答:極差為
100-50=50.
平均數(shù)為
2017年高考數(shù)學(xué)方差必考知識(shí)點(diǎn)
一.方差的概念與計(jì)算公式
例1 兩人的5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>
X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;
Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72.
平均成績(jī)相同,但X 不穩(wěn)定,對(duì)平均值的偏離大。
方差描述隨機(jī)變量對(duì)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。
單個(gè)偏離是
消除符號(hào)影響
方差即偏離平方的均值,記為D(X ):
直接計(jì)算公式分離散型和連續(xù)型,具體為:
這里 是一個(gè)數(shù)。推導(dǎo)另一種計(jì)算公式
得到:“方差等于平方的均值減去均值的平方”。
其中,分別為離散型和連續(xù)型計(jì)算公式。 稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,方差描述波動(dòng)
二.方差的性質(zhì)
1.設(shè)C為常數(shù),則D(C) = 0(常數(shù)無波動(dòng));
2. D(CX )=C2 D(X ) (常數(shù)平方提取);
證:
特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負(fù)值)
3.若X 、Y 相互獨(dú)立,則
證:
記則前面兩項(xiàng)恰為 D(X )和D(Y ),第三項(xiàng)展開后為
當(dāng)X、Y 相互獨(dú)立時(shí),故第三項(xiàng)為零。
特別地獨(dú)立前提的逐項(xiàng)求和,可推廣到有限項(xiàng)。
方差公式:
平均數(shù):M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)
三.常用分布的方差
1.兩點(diǎn)分布
2.二項(xiàng)分布
X ~ B ( n, p )
引入隨機(jī)變量 Xi (第i次試驗(yàn)中A 出現(xiàn)的次數(shù),服從兩點(diǎn)分布)
3.泊松分布(推導(dǎo)略)
4.均勻分布
另一計(jì)算過程為
5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)
6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)
7.t分布 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分布:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度,即波動(dòng)程度(隨機(jī)波動(dòng)),這與圖形的特征是相符的。
例2 求上節(jié)例2的方差。
解 根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律,計(jì)算得到
工人乙廢品數(shù)少,波動(dòng)也小,穩(wěn)定性好。
方差的定義:
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