2017年高考全國Ⅰ卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅰ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國Ⅰ卷文數(shù)試題解析版
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合A=,B=,則
A.AB= B.AB
C.AB D.AB=R
【答案】A
2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是
A.x1,x2,…,xn的平均數(shù) B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差
C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)
【答案】B
【解析】
試題分析:刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差,故選B
【考點(diǎn)】樣本特征數(shù)
【名師點(diǎn)睛】眾數(shù):一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù),眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平; 中位數(shù):一組數(shù)據(jù)中間的數(shù),(起到分水嶺的作用)中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平; 平均數(shù):反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平;
方差:方差是和中心偏離的程度,用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小)并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差.在樣本容量相同的情況下,方差越大,說明數(shù)據(jù)的波動越大,越不穩(wěn)定.
標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根,意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度.
3.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
【答案】C
4.如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:不妨設(shè)正方形邊長為,由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得,所求概率為,選B.
【考點(diǎn)】幾何概型
【名師點(diǎn)睛】對于一個具體問題能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率,關(guān)鍵在于能否將問題幾何化,也可根據(jù)實(shí)際問題的具體情況,選取合適的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上,將實(shí)驗(yàn)的每一結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一點(diǎn),使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域;另外,從幾何概型的定義可知,在幾何概型中,“等可能”一詞理解為對應(yīng)于每個實(shí)驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小,僅與該區(qū)域的度量成正比,而與該區(qū)域的位置、形狀無關(guān).
5.已知F是雙曲線C:的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為
A. B. C. D.
【答案】D
6.如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個正方體中,直接AB與平面MNQ不平行的是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
試題分析:由B,AB∥MQ,則直線AB∥平面MNQ;由C,AB∥MQ,則直線AB∥平面MNQ;由D,AB∥NQ,則直線AB∥平面MNQ.故A不滿足,選A.
【考點(diǎn)】空間位置關(guān)系判斷
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力,屬容易題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.
7.設(shè)x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值為
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
8.函數(shù)的部分圖像大致為
A. B.
C. D.
【答案】C
9.已知函數(shù),則
A.在(0,2)單調(diào)遞增 B.在單調(diào)遞減
C.y=的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D.y=的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱
【答案】C
【解析】
試題分析:由題意知,,所以的圖象關(guān)于直線對稱,C正確,D錯誤;又(),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,A,B錯誤,故選C.
【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】如果函數(shù),,滿足,恒有,那么函數(shù)的圖象有對稱軸;如果函數(shù),,滿足,恒有,那么函數(shù)的圖象有對稱中心.
10.如圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)n,那么在和兩個空白框中,可以分別填入
A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2
【答案】D
11.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知,a=2,c=,則C=
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析:由題意得
,
即,所以.
由正弦定理得,即,得,故選B.
【考點(diǎn)】解三角形
【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更合適,或是兩個定理都要用,要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.
12.設(shè)A、B是橢圓C:長軸的兩個端點(diǎn),若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°,則m的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知向量a=(–1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=________.
【答案】7
【解析】
試題分析:由題得,因?yàn)?,所以,解?/p>
【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ,垂直向量
【名師點(diǎn)睛】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),則ab的充要條件是x1x2+y1y2=0.
14.曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為______________.
【答案】
15.已知,tan α=2,則=__________.
【答案】
【解析】
試題分析:由得
又
所以
因?yàn)?/p>
所以
因?yàn)?/p>
所以
【考點(diǎn)】三角函數(shù)求值
【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型
(1)給角求值:關(guān)鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值:關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外函數(shù)式的值,以備應(yīng)用;
?、谧儞Q待求式,便于將已知式求得的函數(shù)值代入,從而達(dá)到解題的目的.
(3)給值求角:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”,先求角的某一函數(shù)值,再求角的范圍,確定角.
16.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________.
【答案】
形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等,然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線(這兩個多邊形需有公共點(diǎn)),這樣兩條直線的交點(diǎn),就是其外接球的球心,再根據(jù)半徑,頂點(diǎn)到底面中心的距離,球心到底面中心的距離,構(gòu)成勾股定理求解,有時也可利用補(bǔ)體法得到半徑,例:三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,可以補(bǔ)成長方體,它們是同一個外接球.
三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:60分.
17.(12分)
記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.
【答案】(1);(2),證明見解析.
解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時,經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.
18.(12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
【答案】(1)證明見解析; (2).
19.(12分)
為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30 min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得,,,,其中為抽取的第個零件的尺寸,.
(1)求的相關(guān)系數(shù),并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
(ⅰ)從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?
(ⅱ)在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)
附:樣本的相關(guān)系數(shù),.
【答案】(1),可以;(2)(ⅰ)需要;(ⅱ)均值與標(biāo)準(zhǔn)差估計值分別為10.02,0.09.
(ii)剔除離群值,即第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.
,
剔除第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,
這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為.
【考點(diǎn)】相關(guān)系數(shù),方差均值計算
【名師點(diǎn)睛】解答新穎的數(shù)學(xué)題時,一是通過轉(zhuǎn)化,化“新”為“舊”;二是通過深入分析,多方聯(lián)想,以“舊”攻“新”;三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法,以“新”制“新”,應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長點(diǎn).
20.(12分)
設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程.
【答案】(1)1; (2).
【解析】
21.(12分)
已知函數(shù)=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,求a的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng),在單調(diào)遞增;當(dāng),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(2).
【解析】
試題分析:(1)分,,分別討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)分,,分別解,從而確定a的取值范圍.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?/p>
?、偃?,則,在單調(diào)遞增.
?、谌簦瑒t由得.
當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
?、廴?,則由得.
當(dāng)時,;當(dāng)時,,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.
22.[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
.
(1)若,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求.
【答案】(1),;(2)或.
(2)直線的普通方程為,故上的點(diǎn)到的距離為
.
當(dāng)時,的最大值為.由題設(shè)得,所以;
當(dāng)時,的最大值為.由題設(shè)得,所以.
綜上,或.
【考點(diǎn)】參數(shù)方程
【名師點(diǎn)睛】本題為選修內(nèi)容,先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立方程,可得交點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的參數(shù)方程,求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值,直接利用點(diǎn)到直線的距離公式,表達(dá)橢圓上的點(diǎn)到直線的距離,利用三角有界性確認(rèn)最值,進(jìn)而求得參數(shù)的值.
23.[選修4—5:不等式選講](10分)
已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
(2)圖像法:作出函數(shù)和的圖像,結(jié)合圖像求解.
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