高中數(shù)學(xué)積化和差公式
積化和差,指初等數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分的一組恒等式。可以通過展開角的和差恒等式的手段來證明。 無論乘積項(xiàng)中的三角函數(shù)是否同名,化為和差形式時(shí),都應(yīng)是同名三角函數(shù)的和差。這一點(diǎn)主要是根據(jù)證明記憶,因?yàn)槿绻皇峭呛瘮?shù),兩角和差公式展開后乘積項(xiàng)的形式都不同,就不會(huì)出現(xiàn)相抵消和相同的項(xiàng),也就無法化簡(jiǎn)下去了。
公式
sinαsinβ=-[1][cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意等式右邊前端的負(fù)號(hào)】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
這里用到了sin(-α)=-sinα 即sin(α-β)= - sin(β-α)
證明
法1
積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。
即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明:
sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。
(該證明法逆向推導(dǎo)可用于和差化積的計(jì)算,參見和差化積)
法2
根據(jù)歐拉公式,e^ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
記憶方法
積化和差公式的形式比較復(fù)雜,記憶中以下幾個(gè)方面是難點(diǎn),下面指出了特點(diǎn)各自的簡(jiǎn)單記憶方法。
這一點(diǎn)最簡(jiǎn)單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域應(yīng)該 是
[-2,2],而積的值域卻是[-1,1],因此除以2是必須的。
也可以通過其證明來記憶,因?yàn)檎归_兩角和差公式后,未抵消的兩項(xiàng)相同而造成有系數(shù)2,如:
cos(α-β)-cos(α+β)
=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。