高一必修三數(shù)學概率與統(tǒng)計專題訓練試題及答案

　　考試是檢測學習成效的重要手段，孰能生巧，考前一定要多做多練。以下是學習啦小編為大家收集整理的高一必修三數(shù)學概率與統(tǒng)計專題訓練試題，請考生認真學習。

　　高一必修三數(shù)學概率與統(tǒng)計專題訓練試題

　　1.(2014·保定調(diào)研)近年來，我國的高鐵技術(shù)發(fā)展迅速，鐵道部門計劃在A、B兩城之間開通高速列車，假設在試運行期間，每天8：00-9：00,9：00-10：00兩個時段內(nèi)各發(fā)一趟列車由A城到B城(兩車發(fā)生情況互不影響)，A城發(fā)車時間及其概率如下表所示：

發(fā)生時間	8：10	8：30	8：50	9：10	9：30	9：50
概率	6(1)	2(1)	3(1)	6(1)	2(1)	3(1)

　　若甲、乙兩位旅客打算從A城到B城，假設他們到達A城火車站侯車的時間分別是周六8：00和周日8：20.(只考慮候車時間，不考慮其他因素)
　　(1)設乙侯車所需時間為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望;
　　(2)求甲、乙二人候車時間相等的概率.
　　解　(1)X的所有可能取值為10、30、50、70、90(分鐘)，其概率分布列如下

X	10	30	50	70	90
P	2(1)	3(1)	36(1)	12(1)	18(1)

　　X的數(shù)學期望E(X)=10×2(1)+30×3(1)+50×36(1)+70×12(1)+90×18(1)=9(245)(分鐘).
　　(2)甲、乙二人候車時間分別為10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為
　　P甲10=6(1)，P甲30=2(1)，P甲50=3(1);
　　P乙10=2(1)，P乙30=3(1)，P乙50=6(1)×6(1)=36(1).
　　所以所求概率P=6(1)×2(1)+2(1)×3(1)+3(1)×36(1)=108(28)=27(7)，
　　即甲、乙二人候車時間相等的概率為27(7).
　　2.(2014·皖南八校聯(lián)考)從正方體的各個表面上的12條面對角線中任取2條，設ξ為2條面對角線所成的角(用弧度制表示)，如當2條面對角線垂直時，ξ=2(π).
　　(1)求概率P(ξ=0);
　　(2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學期望E(ξ).
　　解　(1)當ξ=0時，即所選的2條面對角線平行，則P(ξ=0)=12(2)=11(1).
　　(2)ξ的可能取值為0，3(π)，2(π).
　　則P(ξ=0)=12(2)=11(1)，P3(π)=12(2)=11(8)，P2(π)=12(2)=11(2).
　　ξ的分布列如下：

ξ	0	3(π)	2(π)
P	11(1)	11(8)	11(2)

　　E(ξ)=0×11(1)+3(π)×11(8)+2(π)×11(2)=3(π).
　　3.(2014·廣州調(diào)研)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位：μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重.PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示：

PM2.5日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	>250
空氣質(zhì)量類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

　　從甲城市2014年9月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示.

　　(1)試估計甲城市在2014年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù);
　　(2)在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.
　　解　(1)由莖葉圖可知，甲城市在2014年9月份隨機抽取的15天中的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為5.
　　所以可估計甲城市在2014年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為10.
　　(2)X的所有可能取值為0,1,2，
　　因為P(X=0)=15(2)=7(3)，P(X=1)=15(2)=21(10)，P(X=2)=15(2)=21(2)，
　　所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	7(3)	21(10)	21(2)

　　數(shù)學期望E(X)=0×7(3)+1×21(10)+2×21(2)=3(2).
　　4.(2014·浙江名校聯(lián)考)甲、乙兩支球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽結(jié)束.因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為2(1).據(jù)以往資料統(tǒng)計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元.
　　(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率;
　　(2)設總決賽中獲得門票總收入為X，求X的均值E(X).
　　解　(1)依題意，每場比賽獲得的門票收入組成首項為40，公差為10的等差數(shù)列.
　　設此數(shù)列為{an}，則易知a1=40，an=10n+30，
　　所以Sn=2(n(10n+70))=300.
　　解得n=-12(舍去)或n=5，
　　所以總決賽共比賽了5場.
　　則前4場比賽中，一支球隊共贏了3場，且第5場比賽中，領(lǐng)先的球隊獲勝，其概率為C4(1)2(1)4=4(1).
　　(2)隨機變量X可取的值為S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.
　　又P(X=220)=2×2(1)4=8(1)，
　　P(X=300)=C4(1)2(1)4=4(1)，
　　P(X=390)=C5(2)2(1)5=16(5)，
　　P(X=490)=C6(3)2(1)6=16(5)，
　　所以X的分布列為

X	220	300	390	490
P	8(1)	4(1)	16(5)	16(5)

　　所以X的均值E(X)=377.5(萬元).
　　5.自駕游從A地到B地有甲、乙兩條線路，甲線路是A-C-D-B，乙線路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段.假設這三條路段堵車與否相互獨立.這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，堵車概率x在，1(2)上變化，y在2(1)上變化.在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元.而每堵車1小時，需多花汽油費20元.路政局為了估計CD段平均堵車時間，調(diào)查了100名走甲路線的司機，得到表2數(shù)據(jù).

	CD段	EF段	GH段
堵車概率	x	y	4(1)
平均堵車時間(單位：小時)	a	2	1

堵車時間(單位：小時)	頻數(shù)
[0,1]	8
(1,2]	6
(2,3]	38
(3,4]	24
(4,5]	24

　　(1)求CD段平均堵車時間a的值;
　　(2)若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節(jié)約，求選擇走甲線路的概率.
　　解　(1)a=2(1)×100(8)+2(3)×100(6)+2(5)×100(38)+2(7)×100(24)+2(9)×100(24)=3.
　　(2)設走甲線路所花汽油費為ξ元，則E(ξ)=500(1-x)+(500+60)x=500+60x.
　　設走乙線路多花的汽油費為η元，
　　∵EF段與GH段堵車與否相互獨立，
　　∴P(η=0)=(1-y)×4(1)，
　　P(η=20)=(1-y)×4(1)，
　　P(η=40)=y×4(1)，
　　P(η=60)=4(1)y，
　　∴E(η)=0×(1-y)×4(1)+20×(1-y)×4(1)+40×y×4(1)+60×4(1)y=40y+5.
　　∴走乙線路所花的汽油費的數(shù)學期望為E(545+η)=545+E(η)=550+40y.
　　依題意，選擇走甲線路應滿足(550+40y)-(500+60x)≥0，
　　即6x-4y-5≤0，又3(2)<x<1,0<y<2(1)，
　　∴P(選擇走甲線路)=2(1)=8(7).

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