人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點
人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點
函數(shù)是高一數(shù)學(xué)科目中非常重要的內(nèi)容,需要重點掌握相關(guān)知識點,下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼母咭粩?shù)學(xué)函數(shù)知識點,希望對你有幫助。
人教版高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識點
一、一次函數(shù)定義與定義式:
自變量x和因變量y有如下關(guān)系:
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函數(shù)。
特別地,當(dāng)b=0時,y是x的正比例函數(shù)。
即:y=kx(k為常數(shù),k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì):
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例,比值為k
即:y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))
2.當(dāng)x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì):
1.作法與圖形:通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線,可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此,作一次函數(shù)的圖像只需知道2點,并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)
2.性質(zhì):(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k,b與函數(shù)圖像所在象限:
當(dāng)k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;
當(dāng)k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。
當(dāng)b>0時,直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時,直線通過原點
當(dāng)b<0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當(dāng)b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時,當(dāng)k>0時,直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時,直線只通過二、四象限。
四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式:
已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用:
1.當(dāng)時間t一定,距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式:
1.求函數(shù)圖像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2
4.求任意線段的長:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
二次函數(shù)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax’2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[僅限于與x軸有交點A(x₁,0)和B(x₂,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax₁,x₂=(-b±√b’2-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為
P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時,P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ=b’2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b’2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b’2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax’2+bx+c,
當(dāng)y=0時,二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax’2+bx+c=0
此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。
1.二次函數(shù)y=ax’2,y=a(x-h)’2,y=a(x-h)’2+k,y=ax’2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標(biāo)及對稱軸如下表:
解析式 | 頂點坐標(biāo) | 對稱軸 |
y=ax’2 | (0,0) | x=0 |
y=a(x-h)’2 | (h,0) | x=h |
y=a(x-h)’2+k | (h,k) | x=h |
y=ax’2+bx+c | (-b/2a,[4ac-b’2]/4a) | x=-b/2a |
當(dāng)h>0時,y=a(x-h)’2的圖象可由拋物線y=ax’2向右平行移動h個單位得到,
當(dāng)h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
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