高一數(shù)學(xué)線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)
高一數(shù)學(xué)線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)
數(shù)學(xué)線性回歸分析的知識(shí)點(diǎn)并不算難，只要學(xué)生熟記公式并加以運(yùn)用就可以了，下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的有關(guān)于高一關(guān)于線性回歸分析的知識(shí)點(diǎn)的介紹，希望能夠幫助到大家。
高一數(shù)學(xué)線性回歸分析知識(shí)點(diǎn)分析
重點(diǎn)難點(diǎn)講解：
1.回歸分析：
就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系形式進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。
2.線性回歸方程
設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)(xi, yi)(i=1,......,n)大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。
其中 。
3.線性相關(guān)性檢驗(yàn)
線性相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與x之間線性相關(guān)與否的辦法。
?、僭谡n本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測(cè)值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05。
②由公式，計(jì)算r的值。
③檢驗(yàn)所得結(jié)果
如果|r|≤r0.05，可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。
如果|r|>r0.05，可以認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，即y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。
典型例題講解：
例1.從某班50名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，測(cè)得其數(shù)學(xué)考試成績(jī)與物理考試成績(jī)資料如表：序號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)54666876788285879094，物理成績(jī)61806286847685828896試建立該10名學(xué)生的物理成績(jī)對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸模型。
解：設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閤，物理成績(jī)?yōu)?，則可設(shè)所求線性回歸模型為，
計(jì)算，代入公式得
∴ 所求線性回歸模型為=0.74x+22.28。
說(shuō)明：將自變量x的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應(yīng)的因變量的估計(jì)值，由回歸模型知：數(shù)學(xué)成績(jī)每增加1分，物理成績(jī)平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對(duì)自己班的數(shù)學(xué)、化學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析。
例2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)，有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0
若由資料可知y對(duì)x成線性相關(guān)關(guān)系。試求：
(1)線性回歸方程; (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少?
分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間成線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。
解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536 于是b=, 。 ∴線性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08。
(2)當(dāng)x=10時(shí)，=1.23×10+0.08=12.38(萬(wàn)元) 即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元。
說(shuō)明：本題若沒(méi)有告訴我們y與x間是線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒(méi)有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測(cè)也是不可信的。
例3.某省七年的國(guó)民生產(chǎn)總值及社會(huì)商品零售總額如下表所示：已知國(guó)民生產(chǎn)總值與社會(huì)商品的零售總額之間存在線性關(guān)系，請(qǐng)建立回歸模型。年份國(guó)民生產(chǎn)總值(億元)
社會(huì)商品零售總額(億元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計(jì)4333.012194.24
解：設(shè)國(guó)民生產(chǎn)總值為x，社會(huì)商品零售總額為y, 設(shè)線性回歸模型為。
依上表計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)后代入的表達(dá)式得： ∴ 所求線性回歸模型為y=0.445957x+37.4148, 表明國(guó)民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會(huì)商品零售總額將平均增加4459.57萬(wàn)元。
例4.已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0 (1)求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān);
(2)若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。
分析：(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成;(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05比較，若r>r0.05，則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。
解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885 ,. 故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關(guān)系數(shù)： r= 由于n=15，故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.514，則r>r0.05，從而說(shuō)明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。
(2)設(shè)所求的回歸直線方程為=bx+a，則 ∴ 回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。
當(dāng)x=150時(shí)，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。
說(shuō)明：求解兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)及它們的回歸直線方程的計(jì)算量較大，需要細(xì)心謹(jǐn)慎計(jì)算，如果會(huì)使用含統(tǒng)計(jì)的科學(xué)計(jì)算器，能簡(jiǎn)單得到，這些量，也就無(wú)需有制表這一步，直接算出結(jié)果就行了。另外，利用計(jì)算機(jī)中有關(guān)應(yīng)用程序也可以對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。
問(wèn)題提出
1.函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對(duì)于兩個(gè)變量,如果當(dāng)一個(gè)變量的取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值被惟一確定，則這兩個(gè)變量之間的關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系.
2.在中學(xué)校園里，有這樣一種說(shuō)法：“如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會(huì)有什么大問(wèn)題.”按照這種說(shuō)法,似乎學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)看成是兩個(gè)變量,那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?
3.我們不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄆ湮锢沓煽?jī)能達(dá)到多少,學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時(shí)間、教學(xué)水平等,也是影響物理成績(jī)的一些因素,但這兩個(gè)變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類(lèi)似于這樣的兩個(gè)變量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討,如果能通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì),將有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.
知識(shí)探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系
思考1:考察下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系:
(1)商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi);
(2)糧食產(chǎn)量與施肥量;
(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.
這些問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?
思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出類(lèi)似的描述生活中兩個(gè)變量之間的這種關(guān)系的成語(yǔ)嗎?
思考3:上述兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱之為相關(guān)關(guān)系,那么相關(guān)關(guān)系的含義如何?
自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.
高一數(shù)學(xué)上冊(cè)期中試卷分析
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.)
1.設(shè)全集 ，集合 ，則右圖中的陰影部分表示的集合為 ( )
A. B. C. D.
2.下列函數(shù)中與 具有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是( )
A. B. C. D.
3.已 知函數(shù) 是函數(shù) 的反函數(shù)，則 ( )
A. B. C. D.
4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在 上單調(diào)遞增的是( )
A. B. C. D.
5.下列式子中成立的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù) ，則 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 為奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上是( )
A.增函數(shù)，最小值為 B.增函數(shù)，最大值為
C.減函數(shù)，最小值為 D.減函數(shù)，最大值為
8. 在 ， ， 這三 個(gè)函數(shù)中，當(dāng) 時(shí)，都有
成立的函數(shù)個(gè)數(shù)是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
9. 已知映射 ,其中 ，對(duì)應(yīng)法則 .若對(duì)實(shí)數(shù) ,
在集合 中存在元素與之對(duì)應(yīng)，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
10. 函數(shù) 的圖象大致是( )
A. B. C. D.
11. 函數(shù) 在 上為減函數(shù)，則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12. 設(shè)函數(shù) ， ，若實(shí)數(shù) 滿足 ， ，
則( )
A. B. C. D.
第Ⅱ 卷
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)位置.)
13. 已知全集 ， ，則集合 的子集的個(gè)數(shù)是 .
14. 已知函數(shù) 且 恒過(guò)定點(diǎn) ，若點(diǎn) 也在冪 函數(shù) 的圖象上，則 .
15. 若函數(shù) ( 且 )的值域是 ，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
16.定義實(shí)數(shù)集 的子集 的特征函數(shù)為 .若 ，對(duì)任意 ，有如下判斷：
?、偃?，則 ;② ;?、?;④ .
其中正確的是 .(填上所有滿足條件的序號(hào))
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、推證過(guò)程或演算步驟.)
17.(本小題滿分10分)計(jì)算下列各式：
(1) ;
(2) .
18.(本小題滿分12分)已知全集為 ，集合 ，
(1)當(dāng) 時(shí)，求 ;
(2)若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
19.(本小題滿分12分)已知 是定義在
上的偶函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， .
(1)求 的解析式;
(2)在所給的坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的草圖，并求方程，恰有兩個(gè)不同實(shí)根時(shí)的實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)某濱海高檔住宅小區(qū)給每一戶業(yè)主均提供兩套供水方案.方案一是供應(yīng)市政自來(lái)水，每噸自來(lái)水的水費(fèi)是2元;方案二是限量供應(yīng)10噸海底巖層中的溫泉水，若溫泉水用水量不超過(guò)5噸，則按基本價(jià)每噸8元收取，超過(guò)5噸不超過(guò)8噸的部分按基本價(jià)的1.5倍收取，超過(guò)8噸不超過(guò)10噸的部分按基本價(jià)的2倍收取.
(1)試寫(xiě)出溫泉水用水費(fèi) (元)與其用水量 (噸)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若業(yè)主小王繳納10月份的物業(yè)費(fèi)時(shí)發(fā)現(xiàn)一共用水16噸，被收取的費(fèi)用為72元，那么他當(dāng)月的自來(lái)水與溫泉水用水量各為多少噸?
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù) .
(1)判斷 的奇偶性并說(shuō)明理由;
(2)判斷 在 上的單調(diào)性，并用定義證明;
(3)求滿足 的 的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)已知二次函數(shù) 滿足 ，且 .
(1) 求 的解析式;
(2)若函數(shù) 的最小值為 ，求實(shí)數(shù) 的值;
(3)若對(duì)任意互不相同的 ，都有 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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