九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷
經(jīng)歷了九年級(jí)一學(xué)期的努力奮戰(zhàn),檢驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果的時(shí)刻就要到了,教師們要為同學(xué)們準(zhǔn)備哪些期末考試卷來(lái)練習(xí)呢?下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)?lái)的關(guān)于九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷,希望會(huì)給大家?guī)?lái)幫助。
九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試卷:
一、選擇題(共8小題,每小題3分,滿分24分,每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)
1.二次函數(shù)y=﹣x2+2x+2的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A.(0,2) B.(0,3) C.(2,0) D.(3,0)
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】令x=0,求出y的值,然后寫出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【解答】解:x=0時(shí),y=2,
所以.圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,2).
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法是解題的關(guān)鍵.
2.已知數(shù)據(jù):8,9,7,9,7,8,8.則這組數(shù)據(jù)中,下列說法正確的是( )
A.中位數(shù)是9 B.眾數(shù)是9 C.眾數(shù)是7 D.平均數(shù)是8
【考點(diǎn)】眾數(shù);加權(quán)平均數(shù);中位數(shù).
【分析】分別根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、極差、中位數(shù)的定義解答.
【解答】解:A、將改組數(shù)據(jù)從小到大排列:7,7,8,8,8,9,9,處于中間位置的數(shù)為8,中位數(shù)為8,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、8出現(xiàn)了3次,在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多,是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、8出現(xiàn)了3次,在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最多,是該組數(shù)據(jù)的眾數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 = (8+9+7+9+7+8+8)=8,故本選項(xiàng)正確.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),知道各統(tǒng)計(jì)量是解題的關(guān)鍵.
3.下列各組圖形不一定相似的是( )
A.兩個(gè)等邊三角形
B.各有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形
C.兩個(gè)正方形
D.各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形
【考點(diǎn)】相似圖形.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據(jù)相似圖形的定義,以及等邊三角形,等腰三角形,正方形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解:A、兩個(gè)等邊三角形,對(duì)應(yīng)邊的比相等,角都是60°,相等,所以一定相似;
B、各有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形,100°的角只能是頂角,夾頂角的兩邊成比例,所以一定相似;
C、兩個(gè)正方形,對(duì)應(yīng)邊的比相等,角都是90°,相等,所以一定相似;
D、各有一個(gè)角是45°的兩個(gè)等腰三角形,若一個(gè)等腰三角形的底角是45°,而另一個(gè)等腰三角形的頂角是45°,則兩個(gè)三角形一定不相似.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似圖形的判斷,嚴(yán)格按照定義,對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行判斷即可,另外,熟悉等腰三角形,等邊三角形,正方形的性質(zhì)對(duì)解題也很關(guān)鍵.
4.在△ABC中,DE∥BC,若AD:AB=1:3,則△ADE與△ABC的面積之比是( )
A.1:3 B.1:4 C.1:9 D.1:16
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】由DE與BC平行,利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等,利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形ADE與三角形ABC相似,利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得到結(jié)果.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∵AD:AB=1:3,
∴S△ADE:S△ABC=AD2:AB2=1:9.
故選C
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
5.正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在⊙O上,點(diǎn)P在 上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn),則∠BPC的度數(shù)是( )
A.45° B.60° C.75° D.90°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】首先連接OB,OC,由正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在⊙O上,可得∠BOC=90°,然后由圓周角定理,即可求得∠BPC的度數(shù).
【解答】解:連接OB,OC,
∵正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在⊙O上,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC= ∠BOC=45°.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
6.△ABC中,P為AB上的一點(diǎn),在下列四個(gè)條件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB,能滿足△APC和△ACB相似的條件是( )
A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)①②進(jìn)行判斷;根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)③④進(jìn)行判斷.
【解答】解:當(dāng)∠ACP=∠B,
∠A公共,
所以△APC∽△ACB;
當(dāng)∠APC=∠ACB,
∠A公共,
所以△APC∽△ACB;
當(dāng)AC2=AP•AB,
即AC:AB=AP:AC,
∠A公共,
所以△APC∽△ACB;
當(dāng)AB•CP=AP•CB,即 = ,
而∠PAC=∠CAB,
所以不能判斷△APC和△ACB相似.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定:兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.
7.如果給定數(shù)組中每一個(gè)數(shù)都加上同一個(gè)非零常數(shù),則數(shù)據(jù)的( )
A.平均數(shù)不變,方差不變 B.平均數(shù)改變,方差改變
C.平均數(shù)改變,方差不變 D.平均數(shù)不變,方差改變
【考點(diǎn)】方差;算術(shù)平均數(shù).
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的特點(diǎn),一組數(shù)都加上或減去同一個(gè)非零的常數(shù)后,方差不變,平均數(shù)改變,即可得出答案.
【解答】解:一組數(shù)都加上同一個(gè)非零常數(shù)后,平均數(shù)變大,
一組數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)后,平均數(shù)變小,
則一組數(shù)都加上或減去同一個(gè)非零的常數(shù)后,平均數(shù)改變,但是方差不變;
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差和平均數(shù),一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為 ,則方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,方差越大,波動(dòng)性越大,反之也成立.掌握平均數(shù)和方差的特點(diǎn)是本題的關(guān)鍵.
8.二次函數(shù)y=﹣ x2+ x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在該拋物線上,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,連接BC、BD,設(shè)∠OCB=α,∠DBC=β,則cos(α﹣β)的值是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】延長(zhǎng)BD交y軸于P,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠OPB=α﹣β,解方程﹣ x2+ x+3=0,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)D的坐標(biāo),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,求出OP的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理求出PB的長(zhǎng),根據(jù)余弦的概念解答即可.
【解答】解:延長(zhǎng)BD交y軸于P,
∵∠OCB=α,∠DBC=β,
∴∠OPB=α﹣β,
﹣ x2+ x+3=0,
解得,x1=﹣1.2,x2=4,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1.2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),
x=0時(shí),y=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
∵點(diǎn)D在該拋物線上,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4),
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
則 ,
解得, ,
∴直線BD的解析式為:y=﹣2x+8,
∴OP=8,
PB= =4 ,
∴cos(α﹣β)=cos∠OPB= = ,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)的求法,正確運(yùn)用一元二次方程的解法求出拋物線與x軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,解答時(shí),注意三角形的外角的性質(zhì)的應(yīng)用.
二、填空題(共10小題,每小題3分,滿分30分)
9.若3a=4b,則a:b=4:3.
【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì),若3a=4b,則可直接得出a:b的值.
【解答】解:∵3a=4b,∴ = .∴a:b=4;3.
【點(diǎn)評(píng)】考查了比例的基本性質(zhì):比例式和等積式的互相轉(zhuǎn)換.
10.如果 ,那么銳角A的度數(shù)為30°.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)30°角的余弦值等于 解答.
【解答】解:∵cosA= ,
∴銳角A的度數(shù)為30°.
故答案為:30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,熟記30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
11.若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比是2:3,它們的周長(zhǎng)之和為15,則較小的三角形周長(zhǎng)為6.
【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).
【分析】利用相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比,根據(jù)它們的周長(zhǎng)之和為15,即可得到結(jié)論.
【解答】解:∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比為2:3,
∴它們的周長(zhǎng)比為2:3,
∵它們的周長(zhǎng)之和為15,
∴較小的三角形周長(zhǎng)為15× =6.
故答案為:6.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)(1)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;(2)相似三角形面積的比等于相似比的平方;(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
12.已知圓錐的母線長(zhǎng)是5cm,側(cè)面積是15πcm2,則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是3cm.
【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積和圓錐的母線長(zhǎng)求得圓錐的弧長(zhǎng),利用圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)求得圓錐的底面半徑即可.
【解答】解:∵圓錐的母線長(zhǎng)是5cm,側(cè)面積是15πcm2,
∴圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為:l= = =6π,
∵錐的側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng),
∴r= = =3cm,
故答案為:3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是正確地進(jìn)行圓錐與扇形的轉(zhuǎn)化.
13.在同一時(shí)刻木桿AB、建筑物PQ在太陽(yáng)光下的影子分別為BC、PM,如圖所示.已知AB=2m,BC=1.2m,PM=4.8m,則建筑物PQ的高度為8m.
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用;平行投影.
【分析】利用相同時(shí)刻物體在太陽(yáng)光下的影子與物體高度成正比,進(jìn)而求出答案.
【解答】解:∵在同一時(shí)刻木桿AB、建筑物PQ在太陽(yáng)光下的影子分別為BC、PM,
如圖所示.AB=2m,BC=1.2m,PM=4.8m,
∴ = ,
則 = ,
解得:PQ=8,
故答案為:8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用;在運(yùn)用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí),要能夠從實(shí)際問題中抽象出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型是解決問題的關(guān)鍵.
14.某山坡的坡度為1:0.75,則沿著這條山坡每前進(jìn)l00m所上升的高度為80m.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【分析】設(shè)出垂直高度,表示出水平寬度,利用勾股定理求解即可.
【解答】解:如圖所示:
AB=100m,tanB=1:0.75.
則AC:BC=4:3,
設(shè)AC=4x,BC=3x,
由勾股定理得:AB= =5x,
即5x=100,
解得:x=20,
則AC=80m.
故答案為:80.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查坡度坡角的定義、勾股定理的運(yùn)用;理解坡度坡角的定義,由勾股定理得出AB是解決問題的關(guān)鍵.
15.矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形,P是位似中心,點(diǎn)B(4,2),E(﹣2,1),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,0).
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)得出 = ,進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo).
【解答】解:∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形,P是位似中心,點(diǎn)B(4,2),E(﹣2,1),
∴D(0,1),B(4,2),
∴ = ,
則 = ,
解得:OP=4,
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣4,0).
故答案為:(﹣4,0).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對(duì)應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,注意:兩個(gè)圖形必須是相似形;對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn);對(duì)應(yīng)邊平行.
16.一個(gè)橫斷面為拋物線形的拱橋,當(dāng)水面寬4m時(shí),拱頂離水面2m.以橋孔的最高點(diǎn)為原點(diǎn),過原點(diǎn)的水平線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.當(dāng)水面下降1m時(shí),此時(shí)水面的寬度增加了2 ﹣4m(結(jié)果保留根號(hào)).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)已知給出的直角坐標(biāo)系,進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式,再通過把y=﹣3代入拋物線解析式得出水面寬度,即可得出答案.
【解答】解:設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2,
∵水面寬4m時(shí),拱頂離水面2m,
∴點(diǎn)(2,﹣2)在此拋物線上,
∴﹣2=a•22,
∴a=﹣ ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣ x2,
當(dāng)水面下降1m時(shí),
即y=﹣3時(shí),﹣3=﹣ x2,
∴x= ,
∴此時(shí)水面的寬度為:2 ,
即此時(shí)水面的寬度增加了(2 ﹣4)m.
故答案為:2 ﹣4.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)已知給出的直角坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵.
17.某同學(xué)用描點(diǎn)法y=ax2+bx+c的圖象時(shí),列出了表:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心,他算錯(cuò)了其中一個(gè)y值,則這個(gè)錯(cuò)誤的y值是﹣5.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,可得答案.
【解答】解:由函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,得(﹣1,﹣2),(0,1),(1,﹣2)在函數(shù)圖象上,
把(﹣1,﹣2),(0,1),(1,﹣2)代入函數(shù)解析式,得
,
解得 .
故函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1.
x=2時(shí)y=﹣11.
故答案為﹣5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象,利用函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱是解題關(guān)鍵.
18.若關(guān)于x的二次函數(shù)=ax2+2x﹣5的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且其中有且僅有一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和A(1,0)之間(不含原點(diǎn)和A點(diǎn)),則a的取值范圍是a>3.
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】由已知條件關(guān)于x的二次函數(shù)y=a2+2x﹣5的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)可得到△>0,然后根據(jù)有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間(不含0和1)列出關(guān)于a的不等式并解答即可.
【解答】解:∵關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2x﹣5的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),
∴△=4+20a>0,
解得a>﹣ .①
又∵有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間(不含0和1),
∴當(dāng)x=0時(shí),y<0.
當(dāng)x=1時(shí),y>0,
即a﹣3>0,
解得a>3.②
結(jié)合①②得到:a>3.
故答案為:a>3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn).解答該題的關(guān)鍵是需要熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì).
三、解答題(共10小題,滿分96分)
19.計(jì)算:2sin30°+4cos245°﹣3tan45°.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值,可得實(shí)數(shù)的運(yùn)算,根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算,可得答案.
【解答】解:原式=2× +4×( )2﹣3×1
=1+4× ﹣3
=1+2﹣3
=0.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值,熟記特殊角三角函數(shù)知識(shí)解題關(guān)鍵,又利用了實(shí)數(shù)的運(yùn)算.
20.在△ABC中,AD是BC上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求證:AC=BD;
(2)若sin∠C= ,BC=12,求AD的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【專題】幾何綜合題.
【分析】(1)由于tanB=cos∠DAC,所以根據(jù)正切和余弦的概念證明AC=BD;
(2)設(shè)AD=12k,AC=13k,然后利用題目已知條件即可解直角三角形.
【解答】(1)證明:∵AD是BC上的高,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tanB= ,cos∠DAC= ,
又∵tanB=cos∠DAC,
∴ = ,
∴AC=BD.
(2)解:在Rt△ADC中, ,
故可設(shè)AD=12k,AC=13k,
∴CD= =5k,
∵BC=BD+CD,又AC=BD,
∴BC=13k+5k=18k
由已知BC=12,
∴18k=12,
∴k= ,
∴AD=12k=12× =8.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查解直角三角形、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),也考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力.
21.一只不透明的袋子中裝有4個(gè)大小、質(zhì)地都相同的乒乓球,球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、﹣2、3、﹣4,攪勻后先從中摸出一個(gè)球(不放回),再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中摸出1個(gè)球.
(1)用樹狀圖列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求2次摸出的乒乓球球面上數(shù)字的積為偶數(shù)的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)依據(jù)題意用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能結(jié)果即可;
(2)由(1)的樹形圖,根據(jù)概率公式求出該事件的概率即可.
【解答】解:(1)根據(jù)題意畫樹形圖:
由圖可知共有12種可能結(jié)果,分別為:(1,﹣2),(1,3),(1,﹣4),(﹣2,1),(﹣2,3),
(﹣2,﹣4),(3,1),(3,﹣2),(3,﹣4),(﹣4,1),(﹣4,﹣2),(﹣4,3);
(2)在(1)中的12種可能結(jié)果中,兩個(gè)數(shù)字之積為偶數(shù)的只有10種,P(積為偶數(shù))= .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
22.路邊一顆樹AB,身高1.8m的小明站在水平地面BD的D處,從點(diǎn)C測(cè)得樹的頂端A的仰角為60°.測(cè)得樹的底部B的俯角為30°,求樹高AB.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半,進(jìn)而得出BC以及AB的長(zhǎng)即可.
【解答】解:在Rt△CDB中,
∵CD=1.8m,∠CBD=30°,
∴CB=3.6m,
在Rt△ACB中,∵∠CAB=30°,∴AB=7.2m,
答:樹的高度AB為7.2m.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,根據(jù)已知得出BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.
23.正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC和△EDF的點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上.
(1)求證:△ABC∽△EDF;
(2)求∠BAC的度數(shù).
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】網(wǎng)格型.
【分析】(1)利用勾股定理可分別求出兩個(gè)三角形的各個(gè)邊長(zhǎng),再驗(yàn)證對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可證明△ABC∽△EDF;
(2)由相似三角形的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)角相等,所以∠BAC=∠FED,由給出的圖形易求∠FED的度數(shù),進(jìn)而可求出∠BAC的度數(shù).
【解答】(1)證明:∵DE= ,DF= = ,EF=2,AB= = ,AC= = ,BC=5,
∴ ,
∴△ABC∽△EDF;
(2)∵△ABC∽△EDF,
∴∠BAC=∠FED,
∵∠FED=90°+45°=135°,
∴∠BAC=135°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用,求∠BAC的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求∠FED的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.
24.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù).
(1)求k的值;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí),將二次函數(shù)=2x2+4x+k﹣1的圖象向下平移4個(gè)單位.
?、偾笃揭坪蟮膱D象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在給定的網(wǎng)格中,畫出平移后的大致圖象.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換;根的判別式.
【分析】(1)直接利用根的判別式得出k的取值范圍進(jìn)而得出答案;
(2)①根據(jù)題意得出k的值,進(jìn)而利用平移的性質(zhì)得出答案;
?、诶盟蠼馕鍪竭M(jìn)而畫出平移后圖象.
【解答】解:(1)∵關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有實(shí)數(shù)根,k為正整數(shù),
∴△=b2﹣4ac=16﹣4×2(k﹣1)≥0,
解得:k≤3,
∴k=1或2或3;
(2)①∵方程2x2+4x+k﹣1=0有兩個(gè)非零的整數(shù)根,k=1或2或3,
∴k=3,
則二次函數(shù)y=2x2+4x+2=2(x+1)2,
故二次函數(shù)y═2x2+4x+k﹣1的圖象向下平移4個(gè)單位得到:y=2(x+1)2﹣4,
則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為:y=2(x+1)2﹣4;
?、谌鐖D所示:
.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的平移和二次函數(shù)圖象畫法,正確得出k的值是解題關(guān)鍵.
25.AC是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E是 的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,∠ABC=2∠EAC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若tanB= ,BD=6,求CF的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的判定.
【分析】(1)連結(jié)AD,根據(jù)圓周角定理,由E是 的中點(diǎn),得到∠EAC=∠EAD,由于∠ABC=2∠EAC,則∠ABC=∠DAC,再利用圓周角定理得到∠ADB=90°,則∠DAC+∠ACB=90°,所以∠ABC+∠ACB=90°,于是根據(jù)切線的判定定理得到AB是⊙O的切線;
(2)作FH⊥AC于H,利用余弦定義,在Rt△ABD中可計(jì)算出AD=8,利用勾股定理求得AB=10,在Rt△ACB中可計(jì)算出AC= ,根據(jù)勾股定理求得BC= ,則,CD=BC﹣BD= ,接著根據(jù)角平分線性質(zhì)得FD=FH,于是設(shè)CF=x,則DF=FH= ﹣x,然后利用平行線得性質(zhì)由FH∥AC得到∠HFB=∠C,所以cos∠BFH=cosB= = ,再利用比例性質(zhì)可求出CF.
【解答】(1)證明:連接AD,∵AC是⊙O的直徑,
∴AD⊥BC,
∴∠DAC+∠C=90°,
∵E是 的中點(diǎn),
∴∠EAC=∠EAD,
∴∠DAC=2∠EAC,
∵∠ABC=2∠EAC,
∴∠ABC=∠DAC,
∴∠ABC+∠C=90°,
∴∠BAC=90°,
∴CA⊥AB,
∴AB是⊙O的切線;
(2)解:作FH⊥AC于H,
在Rt△ABD中,∵tanB= = ,BD=6,
∴AD=8,
∴AB= =10,
在Rt△ACB中,∵tanB= = ,
∴AC= ×10= ,
∴BC= = ,
∴CD=BC﹣BD= ﹣6= ,
∵∠EAC=∠EAD,即AF平分∠CAD,
而FD⊥AD,F(xiàn)H⊥AB,
∴FD=FH,
設(shè)CF=x,則DF=FH= ﹣x,
∵FH∥AC,
∴∠HFC=∠B,
在Rt△CFH中,∵tan∠CFH=tanB= = ,
∴ = = ,解得x= ,
即CF的長(zhǎng)為 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.也考查了解直角三角形.
26.為了給草坪噴水,安裝了自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴水器,如圖所示.設(shè)直線AD所在位置為地平面,噴水管AB高出地平面1.5m,在B處有一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭,一瞬間噴出的水流呈拋物線狀.噴頭B與水流最高點(diǎn)C的連線與地平面成45°的角,水流的最高點(diǎn)C離地平面3.5m,水流的落地點(diǎn)為D.在建立如圖所示的直角坐標(biāo)系中:
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)把拋物線的問題放到直角坐標(biāo)系中解決,是探究實(shí)際問題常用的方法,本題關(guān)鍵是解等腰直角三角形,求出拋物線頂點(diǎn)C(2,3.5)及B(0,1.5),設(shè)頂點(diǎn)式求解析式;
(2)求AD,實(shí)際上是求當(dāng)y=0時(shí)點(diǎn)D橫坐標(biāo).
【解答】解:在如圖所建立的直角坐標(biāo)系中,
由題意知,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1.5),∠CBE=45°,
∴△BEC為等腰直角三角形,
∴BE=2,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3.5),
(1)設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
y=ax2+bx+c(a≠0),
則拋物線過點(diǎn)(0,1.5)頂點(diǎn)為(2,3.5),
∴當(dāng)x=0時(shí),y=c=1.5
由﹣ ,得b=﹣4a,
由 ,得 ,
解之,得a=0(舍去),a=﹣ ,
∴b=﹣4a=2.
所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+2x+ ;
(2)∵D點(diǎn)為拋物線y=﹣ x2+2x+ 的圖象與x軸的交點(diǎn),
∴當(dāng)y=0時(shí),即:﹣ x2+2x+ =0,
解得x=2± ,
x=2﹣ 不合題意,舍去,取x=2+ .
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2+ ,0),
∴AD=(2+ )(m).
答:水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離是(2+ )m.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用,掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
27.已知拋物線y=﹣(x﹣m)2+1與x軸的交點(diǎn)為A、B(B在A的右邊),與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)寫出m=1時(shí)與拋物線有關(guān)的三個(gè)正確結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊,點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí),是否存在△BOC為等腰三角形的情形?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)請(qǐng)你提出一個(gè)對(duì)任意的m值都能成立的正確命題(說明:根據(jù)提出問題的水平層次,得分略有差異).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題;開放型;分類討論.
【分析】(1)將m=1代入y=﹣(x﹣m)2+1化簡(jiǎn)可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x;
(2)存在.令y=0時(shí)得出(x﹣m)2=1得出A,B的坐標(biāo).令x=0時(shí)得出點(diǎn)C在原點(diǎn)下方得出OC=m2﹣1,求出m的實(shí)際值;
(3)已知拋物線y=﹣(x﹣m)2+1,根據(jù)m值的不同分情況解答.
【解答】解:(1)當(dāng)m=1時(shí),拋物線的解析式為y=﹣x2+2x.
正確的結(jié)論有:
①拋物線的解析式為y=﹣x2+2x;
?、陂_口向下;
③頂點(diǎn)為(1,1);④拋物線經(jīng)過原點(diǎn);
?、菖cx軸另一個(gè)交點(diǎn)是(2,0);
⑥對(duì)稱軸為x=1;等
說明:每正確寫出一個(gè)得一分,最多不超過.
(2)存在.
當(dāng)y=0時(shí),﹣(x﹣m)2+1=0,即有(x﹣m)2=1.
∴x1=m﹣1,x2=m+1.
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊,
∴A(m﹣1,0),B(m+1,0)
∵點(diǎn)B在原點(diǎn)右邊
∴OB=m+1
∵當(dāng)x=0時(shí),y=1﹣m2,點(diǎn)C在原點(diǎn)下方
∴OC=m2﹣1.
當(dāng)m2﹣1=m+1時(shí),m2﹣m﹣2=0
∴m=2或m=﹣1(因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸的右側(cè),m>0,所以不合要求,舍去),
∴存在△BOC為等腰三角形的情形,此時(shí)m=2.
(3)如①對(duì)任意的m,拋物線y=﹣(x﹣m)2+1的頂點(diǎn)都在直線y=1上;
②對(duì)任意的m,拋物線y=﹣(x﹣m)2+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離是一個(gè)定值;
?、蹖?duì)任意的m,拋物線y=﹣(x﹣m)2+1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,考生要注意的是要分情況解答未知數(shù),難度中上.
28.在△ABC中,∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cm,點(diǎn)D在BC上,并且CD=3cm,現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)P以1cm/s的速度,沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng);點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng).過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E,連接EQ,設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
(1)用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)點(diǎn)Q在BD(不包括點(diǎn)B、D)上移動(dòng)時(shí),設(shè)△EDQ的面積為y(cm2),求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)x為何值時(shí),△EDQ為直角三角形?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題;全等三角形的判定與性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】(1)可根據(jù)PE∥DC,來(lái)得出關(guān)于AE,AD,AP,AC的比例關(guān)系,AD可根據(jù)勾股定理求出,那么就能用x表示出AE的長(zhǎng),進(jìn)而可表示出DE的長(zhǎng);
(2)求三角形EDQ的面積可以QD為底邊,以PC為高來(lái)求,QD=BD﹣BQ,而BQ可根據(jù)Q的速度用時(shí)間表示出來(lái),那么也就能用x表示出QD,而PC就是AC﹣AP,有了底和高,就可以根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式;
(3)因?yàn)?ang;ADB是鈍角,因此要想使三角形EDQ是直角三角形,那么Q就必須在CD上,可分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠EQD=90°時(shí),四邊形EPCQ是個(gè)矩形,那么EQ=PC,DQ=BQ﹣BD,根據(jù)EQ∥AC可得出關(guān)于EQ,AC,DQ,DC的比例關(guān)系從而求出x的值.
?、诋?dāng)∠DEQ=90°時(shí),可用PC和∠DAC的正弦值來(lái)表示出EQ,然后用相似三角形EQD和ABC,得出關(guān)于EQ,AC,DQ,AD的比例關(guān)系,從而求出x的值.
【解答】解:(1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,
∴AD=5,
∵EP∥DC,
∴△AEP∽△ADC
即 = ,
∴EA= x,
DE=5﹣ x;
(2)∵BC=5,CD=3,
∴BD=2,
當(dāng)點(diǎn)Q在BD上運(yùn)動(dòng)x秒后,DQ=2﹣1.25x,
則y= ×DQ×CP= (4﹣x)(2﹣1.25x)= x2﹣ x+4,
即y與x的函數(shù)解析式為:y= x2﹣ x+4,
其中自變量的取值范圍是:0
(3)分兩種情況討論:
?、佼?dāng)∠EQD=90°時(shí),顯然有EQ=PC=4﹣x,
又∵EQ∥AC,
∴△EDQ∽△ADC
∴ = ,
即 = ,
解得x=2.5
?、诋?dāng)∠QED=90°時(shí),
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°,
∴△EDQ∽△CDA,
∴ = ,即 = ,
解得x=3.1.
綜上所述,當(dāng)x為2.5秒或3.1秒時(shí),△EDQ為直角三角形.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用,弄清相關(guān)線段的大小和比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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