2017九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷(2)
2017九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷
2017九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷參考答案
一、選擇題(本大題有12小題,在下面的每小題的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一個(gè)符合題意,把符合題意的選項(xiàng)代號(hào)填在題后括號(hào)內(nèi),每小題3分,共36分.)
1.若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為﹣1,則另一個(gè)根為( )
A.﹣2 B.2 C.4 D.﹣3
【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,利用兩根和,兩根積,即可求出a的值和另一根.
【解答】解:設(shè)一元二次方程的另一根為x1,
則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,
得﹣1+x1=﹣3,
解得:x1=﹣2.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2,則x1+x2=﹣ ,x1•x2= .
2.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可變形為( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x﹣4)2=17 D.(x﹣4)2=15
【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法.
【專題】計(jì)算題.
【分析】方程利用配方法求出解即可.
【解答】解:方程變形得:x2﹣8x=1,
配方得:x2﹣8x+16=17,即(x﹣4)2=17,
故選C
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法,熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.
3.下列幾何圖形中,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是( )
A.等腰三角形 B.正三角形 C.平行四邊形 D.正方形
【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形;軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解.
【解答】解:A、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤;
C、不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形.故錯(cuò)誤;
D、既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.故正確.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念:軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.
4.已知⊙O的半徑為5,直線l是⊙O的切線,則點(diǎn)O到直線l的距離是( )
A.2.5 B.3 C.5 D.10
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可直接得到點(diǎn)O到直線l的距離是5.
【解答】解:∵直線l與半徑為r的⊙O相切,
∴點(diǎn)O到直線l的距離等于圓的半徑,
即點(diǎn)O到直線l的距離為5.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系:設(shè)⊙O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,直線l和⊙O相交⇔d
5.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠OBC=42°,則∠A的度數(shù)為( )
A.84° B.96° C.116° D.132°
【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);圓周角定理.
【分析】連接OC,在優(yōu)弧 上取點(diǎn)D,連接BD、CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC,根據(jù)圓周角定理求出∠BDC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.
【解答】解:連接OC,在優(yōu)弧 上取點(diǎn)D,連接BD、CD,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=42°,
∴∠BOC=96°,
∴∠BDC= ∠BOC=48°,
∴∠A=180°﹣∠BDC=132°,
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.
6.如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,則EC的長(zhǎng)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得 ,代入計(jì)算即可解答.
【解答】解:∵DE∥BC,
∴ ,
即 ,
解得:EC=2,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例,掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵.
7.如圖,點(diǎn)P在△ABC的邊AC上,要判斷△ABP∽△ACB,添加一個(gè)條件,不正確的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C. = D. =
【考點(diǎn)】相似三角形的判定.
【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.
【解答】解:A、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí),又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí),又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、當(dāng) = 時(shí),又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、無(wú)法得到△ABP∽△ACB,故此選項(xiàng)正確.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定,正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.
8.一只不透明的袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球,每個(gè)球除顏色外都相同,從中任意摸出3個(gè)球,下列事件為必然事件的是( )
A.至少有1個(gè)球是黑球 B.至少有1個(gè)球是白球
C.至少有2個(gè)球是黑球 D.至少有2個(gè)球是白球
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.
【分析】由于只有2個(gè)白球,則從中任意摸出3個(gè)球中至少有1個(gè)球是黑球,于是根據(jù)必然事件的定義可判斷A選項(xiàng)正確.
【解答】解:一只不透明的袋子中裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球,每個(gè)球除顏色外都相同,從中任意摸出3個(gè)球,至少有1個(gè)球是黑球是必然事件;至少有1個(gè)球是白球、至少有2個(gè)球是黑球和至少有2個(gè)球是白球都是隨機(jī)事件.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)事件:在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,稱為隨機(jī)事件.事件分為確定事件和不確定事件(隨機(jī)事件),確定事件又分為必然事件和不可能事件,
9.若點(diǎn)A(3,﹣4)、B(﹣2,m)在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上,則m的值為( )
A.6 B.﹣6 C.12 D.﹣12
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】反比例函數(shù)的解析式為y= ,把A(3,﹣4)代入求出k=﹣12,得出解析式,把B的坐標(biāo)代入解析式即可.
【解答】解:設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,
把A(3,﹣4)代入得:k=﹣12,
即y=﹣ ,
把B(﹣2,m)代入得:m=﹣ =6,
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)的解析式,難度適中.
10.如圖,已知關(guān)于x的函數(shù)y=k(x﹣1)和y= (k≠0),它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限判斷出k的符號(hào);然后由k的符號(hào)判定一次函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限,圖象一致的選項(xiàng)即為正確選項(xiàng).
【解答】解:A、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,則k>0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,且與y軸交于負(fù)半軸.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,則k<0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,且與y軸交于正半軸.故本選項(xiàng)正確;
C、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,則k>0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,且與y軸交于負(fù)半軸.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,則k<0.所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,且與y軸交于正半軸.故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象特點(diǎn):
?、俜幢壤瘮?shù)y= 的圖象是雙曲線;
?、诋?dāng)k>0時(shí),它的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限;
?、郛?dāng)k<0時(shí),它的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限.
11.若拋物線y=(x﹣m)2+(m﹣1)的頂點(diǎn)在第四象限,則m的取值范圍( )
A.0
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式得出點(diǎn)的坐標(biāo),再由第四象限點(diǎn)的符號(hào)得出m的取值范圍.
【解答】解:∵拋物線y=(x﹣m)2+(m﹣1)的頂點(diǎn)(m,m﹣1)在第四象限,
∴ ,
解得0
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),以及求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法,掌握每個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.
12.對(duì)于二次函數(shù)y=﹣x2+4x,有下列四個(gè)結(jié)論:①它的對(duì)稱軸是直線x=2;②設(shè)y1=﹣x12+4x1,y2=﹣x22+4x2,則當(dāng)x2>x1時(shí),有y2>y1;③它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,0)和(4,0);④當(dāng)0
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】利用配方法求出二次函數(shù)對(duì)稱軸,再求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出答案.
【解答】解:y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故①它的對(duì)稱軸是直線x=2,正確;
?、凇咧本€x=2兩旁部分增減性不一樣,∴設(shè)y1=﹣x12+4x1,y2=﹣x22+4x2,則當(dāng)x2>x1時(shí),有y2>y1或y2
?、郛?dāng)y=0,則x(﹣x+4)=0,解得:x1=0,x2=4,
故它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,0)和(4,0),正確;
?、堋遖=﹣1<0,
∴拋物線開(kāi)口向下,
∵它的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,0)和(4,0),
∴當(dāng)0
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的解法,得出拋物線的對(duì)稱軸和其交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
二、填空題(本題有6個(gè)小題,每小題3分,計(jì)15)
13.方程x2=5的解是 x=± .
【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開(kāi)平方法.
【分析】利用直接開(kāi)平方法求解即可.
【解答】解:x2=5,
直接開(kāi)平方得,x=± ,
故答案為x=± .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用直接開(kāi)平方法解一元二次方程,解這類問(wèn)題要移項(xiàng),把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊,把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊,化成x2=a(a≥0)的形式,利用數(shù)的開(kāi)方直接求解.
(1)用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同號(hào)且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同號(hào)且a≠0).法則:要把方程化為“左平方,右常數(shù),先把系數(shù)化為1,再開(kāi)平方取正負(fù),分開(kāi)求得方程解”.
(2)用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解,要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn).
14.二次函數(shù)y=﹣x2+2x+7的最大值為 8 .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值.
【專題】計(jì)算題.
【分析】先利用配方法把一般式配成頂點(diǎn)式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【解答】解:原式=﹣x2+2x+7
=﹣(x﹣1)2+8,
因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下,
所以當(dāng)x=1時(shí),y有最大值8.
故答案為8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值:二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)a>0時(shí),拋物線在對(duì)稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對(duì)稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因?yàn)閳D象有最低點(diǎn),所以函數(shù)有最小值,當(dāng)x=﹣ 時(shí),y= ;(2)當(dāng)a<0時(shí),拋物線在對(duì)稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對(duì)稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因?yàn)閳D象有最高點(diǎn),所以函數(shù)有最大值,當(dāng)x=﹣ 時(shí),y= .
15.某十字路口的交通信號(hào)燈每分鐘紅燈亮30秒,綠燈亮25秒,黃燈亮5秒,當(dāng)你抬頭看信號(hào)燈時(shí),是綠燈的概率為 .
【考點(diǎn)】概率公式.
【分析】隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),據(jù)此用黃燈亮的時(shí)間除以三種燈亮的總時(shí)間,求出抬頭看信號(hào)燈時(shí),是綠燈的概率為多少即可.
【解答】解:抬頭看信號(hào)燈時(shí),是綠燈的概率為 .
故答案為: .
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:(1)隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).(2)P(必然事件)=1.(3)P(不可能事件)=0.
16.如圖,已知C,D是以AB為直徑的半圓周上的兩點(diǎn),O是圓心,半徑OA=2,∠COD=120°,則圖中陰影部分的面積等于 π .
【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算.
【分析】圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120°的扇形的面積,根據(jù)扇形面積的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.
【解答】解:圖中陰影部分的面積= π×22﹣
=2π﹣ π
= π.
答:圖中陰影部分的面積等于 π.
故答案為: π.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算,求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.
17.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(1,t)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,過(guò)點(diǎn)P作直線l與x軸平行,點(diǎn)Q在直線l上,滿足QP=OP.若反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,則k= 2+2 或2﹣2 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;勾股定理.
【專題】分類討論.
【分析】把P點(diǎn)代入y= 求得P的坐標(biāo),進(jìn)而求得OP的長(zhǎng),即可求得Q的坐標(biāo),從而求得k的值.
【解答】解:∵點(diǎn)P(1,t)在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴t= =2,
∴P(1.2),
∴OP= = ,
∵過(guò)點(diǎn)P作直線l與x軸平行,點(diǎn)Q在直線l上,滿足QP=OP.
∴Q(1+ ,2)或(1﹣ ,2)
∵反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,
∴2= 或2= ,解得k=2+2 或2﹣2
故答案為2+2 或2﹣2 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,勾股定理的應(yīng)用,求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題:共69分.
18.已知:關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0.
(1)不解方程:判斷方程根的情況;
(2)若方程有一個(gè)根為﹣3,求m的值.
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的解.
【分析】(1)首先找出方程中a=1,b=﹣2m,c=m2﹣1,然后求△=b2﹣4ac的值即可;
(2)把x=﹣3代入方程中列出m的一元二次方程并求出m的值即可.
【解答】解:(1)∵關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0,
∴a=1,b=﹣2m,c=m2﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4>0,
∴方程x2﹣2mx+m2﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)∵方程x2﹣2mx+m2﹣1=0的一根為﹣3,
∴9+6m+m2﹣1=0,即m2+6m+8=0,
∴m=﹣4或﹣2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根的判別式以及一元二次方程解的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式的意義以及因式分解法解方程的知識(shí).
19.某種植物的主干長(zhǎng)出若干個(gè)數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是111,每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支是多少?
【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】由題意設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支的數(shù)目是x個(gè),每個(gè)小分支又長(zhǎng)出x個(gè)分支,則又長(zhǎng)出x2個(gè)分支,則共有x2+x+1個(gè)分支,即可列方程求得x的值.
【解答】解:設(shè)主干長(zhǎng)出x個(gè)支干,由題意得
1+x+x•x=111,
即x2+x﹣110=0,
解得:x1=10,x2=﹣11(舍去)
答:每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支是10.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題時(shí),要根據(jù)題意分別表示主干、支干、小分支的數(shù)目,列方程求解,注意能夠熟練運(yùn)用因式分解法解方程.
20.如圖,A,P,B,C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn),∠APC=∠CPB=60°.
(1)判斷△ABC的形狀: △ABC是等邊三角形 ;
(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【考點(diǎn)】圓周角定理;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,而∠APC=∠CPB=60°,所以∠BAC=∠ABC=60°,從而可判斷△ABC的形狀;
(2)在PC上截取PD=AP,則△APD是等邊三角形,然后證明△APB≌△ADC,證明BP=CD,即可證得.
【解答】證明:(1)△ABC是等邊三角形.
證明如下:在⊙O中,
∵∠BAC與∠CPB是 對(duì)的圓周角,∠ABC與∠APC是 所對(duì)的圓周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC為等邊三角形;
故答案為:△ABC是等邊三角形;
(2)在PC上截取PD=AP,如圖1,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等邊三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB,
在△APB和△ADC中,
,
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD,
又∵PD=AP,
∴CP=BP+AP.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的全等的判定與性質(zhì),正確作出輔助線,證明△APB≌△ADC是關(guān)鍵.
21.一個(gè)不透明的布袋里裝有2個(gè)白球,1個(gè)黑球和若干個(gè)紅球,它們除顏色外其余都相同,從中任意摸出1個(gè)球,是白球的概率為 .
(1)布袋里紅球有多少個(gè)?
(2)先從布袋中摸出1個(gè)球后不放回,再摸出1個(gè)球,請(qǐng)用列表或樹(shù)狀圖燈方法求出兩次摸到的球是1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率.
【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法.
【專題】計(jì)算題.
【分析】(1)設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè),根據(jù)概率公式得到 = ,然后解方程即可;
(2)先畫樹(shù)狀圖展示所有12種等可能結(jié)果,再找出兩次摸到的球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的結(jié)果數(shù),然后根據(jù)概率公式計(jì)算.
【解答】解:(1)設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為x個(gè),
根據(jù)題意得 = ,
解得x=1(檢驗(yàn)合適),
所以布袋里紅球有1個(gè);
(2)畫樹(shù)狀圖如下:
共有12種等可能結(jié)果,其中兩次摸到的球是1個(gè)紅球1個(gè)白球的結(jié)果數(shù)為4種,
所以兩次摸到的球都是白球的概率= = .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法:通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.
22.已知反比例函數(shù)y= 的圖象的一支位于第一象限.
(1)判斷該函數(shù)圖象的另一支所在的象限,并求m的取值范圍;
(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在該反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,若△OAB的面積為10,求m的值.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì);反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.當(dāng)k>0時(shí),則圖象在一、三象限,且雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的;
(2)由對(duì)稱性得到△OAC的面積為5.設(shè)A(x、 ),則利用三角形的面積公式得到關(guān)于m的方程,借助于方程來(lái)求m的值.
【解答】解:(1)根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知,該函數(shù)圖象的另一支在第三象限,且m﹣3>0,則m>3;
(2)∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱,若△OAB的面積為10,
∴△OAC的面積為5.
設(shè)A(x, ),
則 x• =5,
解得:m=13.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、圖象,反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn).根據(jù)題意得到△OAC的面積是解題的關(guān)鍵.
23.四邊形ABCD是正方形,E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且DE=BF,連接AE、AF、EF.
(1)求證:△ADE≌△ABF;
(2)填空:△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A 點(diǎn),按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90 度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面積.
【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB,∠D=∠ABC=90°,然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF;
(2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE,則∠BAF+∠BAE=90°,即∠FAE=90°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn),按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到;
(3)先利用勾股定理可計(jì)算出AE=10,再根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn),按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到AE=AF,∠EAF=90°,然后根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°,
而F是CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),
∴∠ABF=90°,
在△ADE和△ABF中
,
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)解:∵△ADE≌△ABF,
∴∠BAF=∠DAE,
而∠DAE+∠EAB=90°,
∴∠BAF+∠EAB=90°,即∠FAE=90°,
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn),按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到;
故答案為A、90;
(3)解:∵BC=8,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
∴AE= =10,
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn),按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到,
∴AE=AF,∠EAF=90°,
∴△AEF的面積= AE2= ×100=50(平方單位).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.
24.某服裝店銷售一種內(nèi)衣,每件進(jìn)價(jià)為40元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,一周的銷售量y件與銷售單價(jià)x元/件的關(guān)系如表:
銷售單價(jià)x(元/件) … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y(件) … 450 400 300 250 …
(1)試求出y與x的之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)一周的銷售利潤(rùn)為S元,請(qǐng)求出S與x的函數(shù)關(guān)系式,并確定當(dāng)銷售單價(jià)的什么范圍內(nèi)變化時(shí),一周的銷售利潤(rùn)隨著銷售單價(jià)的增大而增大?
(3)服裝店決定將一周的銷售內(nèi)衣的利潤(rùn)全部捐給福利院,在服裝店購(gòu)進(jìn)該內(nèi)衣的貸款不超過(guò)8000元情況下,請(qǐng)求出該服裝店最大捐款數(shù)額是多少元?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)y=kx+b,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式,求出k、b的值,即可得出函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)利潤(rùn)=(售價(jià)﹣進(jìn)價(jià))×銷售量,列出函數(shù)關(guān)系式,繼而確定銷售利潤(rùn)隨著銷售單價(jià)的增大而增大的銷售單價(jià)的范圍;
(3)根據(jù)購(gòu)進(jìn)該商品的貸款不超過(guò)8000元,求出進(jìn)貨量,然后求最大銷售額即可.
【解答】解:(1)設(shè)y=kx+b,
由題意得, ,
解得: ,
則函數(shù)關(guān)系式為:y=﹣10x+1000,(x≥50)
(2)由題意得,S=(x﹣40)y=(x﹣40)(﹣10x+1000)
=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10(x﹣70)2+9000,
∵﹣10<0,
∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=70,
∴當(dāng)40
(3)∵購(gòu)進(jìn)該商品的貨款不超過(guò)8000元,
∴y的最大值為 =200(件).
由(1)知y隨x的增大而減小,
∴x的最小值為:x=80,
由(2)知 當(dāng)x≥70時(shí),S隨x的增大而減小,
∴當(dāng)x=80時(shí),銷售利潤(rùn)最大,
此時(shí)S=8000,即該商家最大捐款數(shù)額是8000元.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,難度一般,解答本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題,從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.
25.如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分線,∠ABC的平分線 BM交AE于點(diǎn)M,點(diǎn)O在AB上,以點(diǎn)O為圓心,OB的長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交 AB于點(diǎn)F.
(1)求證:AE為⊙O的切線.
(2)當(dāng)BC=8,AC=12時(shí),求⊙O的半徑.
(3)在(2)的條件下,求線段BG的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】圓的綜合題.
【專題】證明題.
【分析】(1)連接OM.利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為R,根據(jù)OM∥BE,得到△OMA∽△BEA,利用平行線的性質(zhì)得到 = ,即可解得R=3,從而求得⊙O的半徑為3;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H,則BG=2BH,根據(jù)∠OME=∠MEH=∠EHO=90°,得到四邊形OMEH是矩形,從而得到HE=OM=3和BH=1,證得結(jié)論BG=2BH=2.
【解答】(1)證明:連接OM.
∵AC=AB,AE平分∠BAC,
∴AE⊥BC,CE=BE= BC=4,
∵OB=OM,
∴∠OBM=∠OMB,
∵BM平分∠ABC,
∴∠OBM=∠CBM,
∴∠OMB=∠CBM,
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC,
∴AE⊥OM,
∴AE是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為R,
∵OM∥BE,
∴△OMA∽△BEA,
∴ = 即 = ,
解得R=3,
∴⊙O的半徑為3;
(3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BG于點(diǎn)H,則BG=2BH,
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°,
∴四邊形OMEH是矩形,
∴HE=OM=3,
∴BH=1,
∴BG=2BH=2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合知識(shí),題目中還運(yùn)用到了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強(qiáng),難度較大.
26.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,直線y=x+4經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P.
①如圖1,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí),以AP,AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
?、谌鐖D2,過(guò)點(diǎn)O,P的直線y=kx交AC于點(diǎn)E,若PE:OE=3:8,求k的值.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo),把A和C的坐標(biāo)分別代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式;
(2)①若以AP,AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上,則PQ∥AO,再根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),由(1)中的拋物線解析式,進(jìn)而可求出其縱坐標(biāo),問(wèn)題得解;
?、谶^(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F,因?yàn)镻F∥OC,所以△PEF∽△OEC,由相似三角形的性質(zhì):對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長(zhǎng),進(jìn)而可設(shè)點(diǎn)點(diǎn)F(x,x+4),利用 ,可求出x的值,解方程求出x的值可得點(diǎn)P的坐標(biāo),代入直線y=kx即可求出k的值.
【解答】解:(1)∵直線y=x+4經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),
∴A點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣4,0),點(diǎn)C坐標(biāo)是(0,4),
又∵拋物線過(guò)A,C兩點(diǎn),
∴ ,解得: ,
∴拋物線的解析式為 .
(2)①如圖1
∵ ,
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣1.
∵以AP,AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)Q恰好也在拋物線上,
∴PQ∥AO,PQ=AO=4.
∵P,Q都在拋物線上,
∴P,Q關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱,
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是﹣3,
∴當(dāng)x=﹣3時(shí), ,
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;
②過(guò)P點(diǎn)作PF∥OC交AC于點(diǎn)F,
∵PF∥OC,
∴△PEF∽△OEC,
∴ .
又∵ ,
∴ ,
設(shè)點(diǎn)F(x,x+4),
∴ ,
化簡(jiǎn)得:x2+4x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=﹣3.
當(dāng)x=﹣1時(shí), ;當(dāng)x=﹣3時(shí), ,
即P點(diǎn)坐標(biāo)是 或 .
又∵點(diǎn)P在直線y=kx上,
∴ .
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,平行四邊形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解一元二次方程,題目綜合性較強(qiáng),難度不大,是一道很好的中考題.
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