初三期中考試數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理
初三期中考試數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理
初三期中考試即將到來，同學(xué)們要如何準(zhǔn)備呢?接下來是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼某跞谥锌荚嚁?shù)學(xué)知識點(diǎn)整理，供大家參考。
初三期中考試數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理(一)
相似三角形的判定定理：
(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;
(2)如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似
(簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.);
(3)如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似
(簡敘為:三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.);
(4)如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對應(yīng)相等(或三個(gè)角分別對應(yīng)相等)，則有兩個(gè)三角形相似
(簡敘為兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.).
直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似;(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.
2性質(zhì)定理編輯
(1)相似三角形的對應(yīng)角相等;
(2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例;
(3)相似三角形的對應(yīng)高線的比,對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比;
(4)相似三角形的周長比等于相似比;
(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.
3判定方法編輯
預(yù)備定理
平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。(這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明)
定義
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。
判定定理
常用的判定定理有以下6條：
判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。(簡敘為：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。)(AA)
判定定理2：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。(簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似。)(SAS)
判定定理3：如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。(簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。)(SSS)
判定定理4：兩三角形三邊對應(yīng)平行，則兩三角形相似。(簡敘為：三邊對應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似。)
判定定理5：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。(簡敘為：斜邊與直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。)(HL)
判定定理6：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形相似(相似比為1：1)(簡敘為：全等三角形相似)。
相似的判定定理與全等三角形基本相等，因?yàn)槿热切问翘厥獾南嗨迫切?。[1]
4一定相似編輯
符合下面的情況中的任何一種的兩個(gè)(或多個(gè))三角形一定相似：
1.兩個(gè)全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。
2.任意一個(gè)頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形
兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。
3.兩個(gè)等邊三角形
兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。
4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形
由于斜邊的高形成兩個(gè)直角，再加上一個(gè)公共的角，所以相似。[1]
5定理推論編輯
推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。
性質(zhì)
1.相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成正比例。
2.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比。
3.相似三角形周長的比等于相似比。
4.相似三角形面積的比等于相似比的平方。
5.相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中項(xiàng)
7.a/b=c/d等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面內(nèi)的三角形里。
6相似三角形的傳遞性
如果△ABC∽△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，那么△ABC∽△A₂B₂C₂.
初三期中考試數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理(二)
1.銳角三角比
三角比(trigonometric ratio)是三角學(xué)的基本概念之一，指三角函數(shù)定義中的兩線段的數(shù)量比。 定義銳角三角函數(shù)時(shí)，是指含此銳角的直角三角形中任意兩邊的比。定義任意角三角函數(shù)時(shí)，是指角的終邊上任意一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)和原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離三個(gè)數(shù)量中任意兩個(gè)的比。
三角比的出現(xiàn)，帶來了角與邊的關(guān)系。
銳角三角比又名直角三角比。定義中，都帶有一個(gè)“直角三角形”的前提，這是為了方便理解和有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。
一個(gè)銳角的正切tan(gent)、余切cot(angent)、正弦sin(e)、余弦cos(ine)，這些三角比的數(shù)值，是這個(gè)銳角本身自己的“屬性”，和這個(gè)角是否在直角三角形中無關(guān)。
2.概念
正切：我們把直角三角形中一個(gè)銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個(gè)銳角的正切(tangent)。
余切：我們把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個(gè)銳角的余切(cotangent)。
正弦：直角三角形中一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的正弦(sine)。
余弦：直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個(gè)銳角的余弦(cosine)。
正切與余切的關(guān)系：
公式tanA=角A的對邊/鄰邊
cotA=角A的鄰邊/對邊
sinA=角A的對邊/斜邊
cosA=角A的鄰邊/斜邊
3.注意
對于銳角三角函數(shù)要注意以下幾點(diǎn)
要分清一個(gè)直角三角形中的對邊和鄰邊。
三角函數(shù)的值是一個(gè)比值，這些比值只與銳角的大小有關(guān)。當(dāng)一個(gè)銳角的值確定時(shí)，它的四個(gè)三角函數(shù)的值也就確定了。
任何一個(gè)銳角都有四個(gè)相應(yīng)的函數(shù)值，不因這個(gè)角不在某個(gè)直角三角形內(nèi)而不存在。
由三角函數(shù)的定義可知0<sinA<1;0<cosA<1
銳角三角函數(shù)揭示了三角形中邊與角之間的關(guān)系。
初三期中考試數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理(三)
二次函數(shù)
I.定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x?的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號時(shí)(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c，
當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，
即ax^2;+bx+c=0
此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
答案補(bǔ)充
畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。
二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).
(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.
說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)
答案補(bǔ)充
如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k
定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
?、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
?、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
?、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：
①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系
對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
?、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
初三期中考試數(shù)學(xué)知識點(diǎn)整理(四)
正3邊形：
內(nèi)角 = 180度/3=60度
中心角 = 360度/3=120度
半徑 = R
邊長 = (3的平方根)*R
邊心距 = R/2
周長 = 3*(3的平方根)*R
面積 = (3的平方根)*R * (3R/2) /2 =3*(3的平方根)/4 *(R的平方)
正4邊形：
內(nèi)角 = 180度/3=60度
中心角 = 360度/3=120度
半徑 = R
邊長 = (2的平方根)*R
邊心距 = R/(2的平方根)
周長 = 4*(2的平方根)*R
面積 = 2*(R的平方)
正6邊形：
內(nèi)角 = (6-2)*180度/6=120度
中心角 = 360度/6=60度
半徑 = R
邊長 = R
邊心距 = (3的平方根)/2*R
周長 = 6*R
面積 = 邊心距*R*3 = 3*(3的平方根)/2*(R的平方)
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