向量是高考的一個(gè)亮點(diǎn),它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。下面學(xué)習(xí)啦小編給你分享高中數(shù)學(xué)向量復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，歡迎閱讀。

　　向量復(fù)習(xí)之概念

　　在數(shù)學(xué)中，幾何向量(也稱為歐幾里得向量，通常簡(jiǎn)稱向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。與之對(duì)應(yīng)的只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量(物理學(xué)中稱標(biāo)量)

　　向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向;線段長(zhǎng)度：代表向量的大小。

　　向量的記法：印刷體記作粗體的字母(如a、b、u、v)，書寫時(shí)在字母頂上加一小箭頭→。如果給定向量的起點(diǎn)(A)和終點(diǎn)(B)，可將向量記作AB(并于頂上加→)。給空間設(shè)一直角坐標(biāo)系，也能把向量以數(shù)對(duì)形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

　　而在物理學(xué)和工程學(xué)中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個(gè)物體的位移，球撞向墻而對(duì)其施加的力等等。與之相對(duì)的是標(biāo)量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關(guān)的定義亦與物理概念有密切的聯(lián)系，例如向量勢(shì)對(duì)應(yīng)于物理中的勢(shì)能。

　　幾何向量的概念在線性代數(shù)中經(jīng)由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數(shù)對(duì)表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時(shí)需按照語(yǔ)境來(lái)區(qū)分文中所說(shuō)的"向量"是哪一種概念。不過(guò)，依然可以找出一個(gè)向量空間的基來(lái)設(shè)置坐標(biāo)系，也可以透過(guò)選取恰當(dāng)?shù)亩x，在向量空間上介定范數(shù)和內(nèi)積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

　　向量復(fù)習(xí)之運(yùn)算

　　設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)。

　　加法

　　向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。OB+OA=OC。

　　a+b=( x+x1 ，y+y1 )。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的運(yùn)算律：

　　交換律：a+b=b+a;

　　結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　減法

　　如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0A-OB=BA.即“共同起點(diǎn)，指向被減”

　　a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，則a-b=(x1-x2,y1-y2).

　　如圖：c=a-b 以b的結(jié)束為起點(diǎn)，a的結(jié)束為終點(diǎn)。

　　加減變換律：a+(-b)=a-b

　　數(shù)乘

　　實(shí)數(shù)λ和向量a的叉乘乘積是一個(gè)向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。[1]

　　當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。[1]

　　注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮。

　　當(dāng)∣λ∣>1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(zhǎng)為原來(lái)的∣λ∣倍

　　當(dāng)∣λ∣<1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上縮短為原來(lái)的∣λ∣倍。

　　實(shí)數(shù)p和向量a的點(diǎn)乘乘積是一個(gè)數(shù)。

　　數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律

　　結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量對(duì)于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　數(shù)對(duì)于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　需要注意的是：向量的加減乘(向量沒有除法)運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)加減乘運(yùn)算法則。

　　數(shù)量積

　　定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作θ并規(guī)定0≤θ≤π

　　定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點(diǎn)積)是一個(gè)數(shù)量(沒有方向)，記作a·b。若a、b不共線，則 ;若a、b共線，則 。[1]

　　向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'。

　　向量的數(shù)量積的運(yùn)算律

　　a·b=b·a(交換律)

　　(λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

　　向量的數(shù)量積的性質(zhì)

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。(該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因?yàn)?≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)

　　向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)

　　1.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)²≠a²·b²。

　　2.向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

　　3.|a·b|與|a|·|b|不等價(jià)

　　4.由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反過(guò)來(lái)則成立.

　　向量積

　　定義：兩個(gè)向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個(gè)向量，記作a×b(這里“×”并不是乘號(hào)，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”)。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若a、b垂直，則∣a×b∣=|a|*|b|(此處與數(shù)量積不同，請(qǐng)注意)，若a×b=0，則a、b平行。向量積即兩個(gè)不共線非零向量所在平面的一組法向量

　　向量復(fù)習(xí)之定理

　　共線定理

　　若b≠0，則a//b的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

　　若設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則有x1y2=x2y1。即與平行概念相同x1y2 - x2y1=0

　　零向量0平行于任何向量。

　　垂直定理

　　a⊥b的充要條件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

　　分解定理

　　平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底。

　　定比分點(diǎn)公式

　　定比分點(diǎn)公式(向量P1P=λ·向量PP2)

　　設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是直線上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意實(shí)數(shù) λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。

　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

　　OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分點(diǎn)向量公式)

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式)

　　我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式

　　三點(diǎn)共線定理

　　已知0是AB所在直線外一點(diǎn),若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線

　　證明：∵OC=λOA+(1-λ)OB=λOA-λOB+OB=λBA+OB

　　∴BO+OC=λBA 即BC=λBA

　　∴A、B、C三點(diǎn)共線

　　重心判斷式

　　在△ABC中，若GA+GB+GC=O，則G為△ABC的重心。

　　垂心判斷式

　　在△ABC中，若HA·HB=HB·HC=HC·HA，則H為△ABC的垂心。

　　內(nèi)心判斷式

　　在△ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c)，則I為△ABC的內(nèi)心。

　　外心判斷式

　　在△ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，則O為△ABC的外心，

　　此時(shí)O滿足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0。