淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題

　　函數(shù)的零點(diǎn)是考綱上要求的基本內(nèi)容，也是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)新增內(nèi)容之一，是函數(shù)的重要性質(zhì)。接下來(lái)學(xué)習(xí)啦小編為你整理了淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題，一起來(lái)看看吧。

　　淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題篇一

　　一、求函數(shù)的零點(diǎn)

　　例1求函數(shù)y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零點(diǎn)。

　　解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1，

　　2x-1=0(x≥0)，解得x=。

　　所以原函數(shù)的零點(diǎn)為和-1和。

　　點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，通過(guò)因式分解把方程轉(zhuǎn)化為一(二)次方程求解。

　　二、判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　例2求f(x)=x-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

　　解：函數(shù)的定義域(-∞，0)∪(0，+∞)。

　　令f(x)=0即x-=0，

　　解得：x=2或x=-2。

　　所以原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)。

　　點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化為方程直接求出函數(shù)零點(diǎn)，注意函數(shù)的定義域。

　　三、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)反求參數(shù)

　　例3若方程ax-x-a=0有兩個(gè)解,求a的取值范圍。

　　析：方程ax-x-a=0轉(zhuǎn)化為ax=x+a。

　　由題知，方程ax-x-a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)y=ax與y=a+x 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示。

　　(1)0此種情況不符合題意。

　　(2)a>1。

　　直線y=x+a 在y軸上的截距大于1時(shí)，函數(shù)y=ax與函數(shù)y=a+x 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

　　所以a<0與0　　點(diǎn)評(píng)：采用分類(lèi)討論與用數(shù)形結(jié)合的思想。

　　四、用二分法近似求解零點(diǎn)

　　例4求函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)(精確到0.1)。

　　解：(1)第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間(a，b)，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，并盡量縮短區(qū)間長(zhǎng)度，通?？纱_定一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間。

　　(2)列表如下：

　　零點(diǎn)所在區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值 區(qū)間長(zhǎng)度

　　(1，2)f(1.5) >0 1

　　(1，1.5) f(1.25) <00.5

　　(1.25,1.5) f(1.375) <00.25

　　(1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125

　　(1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625

　　可知區(qū)間(1.375，1.438)長(zhǎng)度小于0.1，故可在(1.375，1.438)內(nèi)取1.4065作為函數(shù)f(x)正數(shù)的零點(diǎn)的近似值。

　　點(diǎn)評(píng)：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中，首先依據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)存在的一個(gè)區(qū)間，此區(qū)間選取應(yīng)盡量小，并且易于計(jì)算，再不斷取區(qū)間中點(diǎn)，把區(qū)間的范圍逐步縮小，使得在縮小的區(qū)間內(nèi)存在一零點(diǎn)。當(dāng)達(dá)到精確度時(shí)，這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值均可作為函數(shù)的零點(diǎn)。

　　淺談高中數(shù)學(xué)零點(diǎn)問(wèn)題篇二

　　函數(shù)的零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個(gè)重要媒介，滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好知識(shí)點(diǎn).近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)零點(diǎn)問(wèn)題，其形式逐漸多樣化，但都離不開(kāi)這幾種常用的等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?圳方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?圳函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn).也可拓展為：函數(shù)y=F(x)=f(x)-g(x)有零點(diǎn)?圳方程組y■=f(x)y■=g(x)有實(shí)數(shù)根?圳函數(shù)y1=f(x)與函數(shù)y2=g(x)的圖像有交點(diǎn).

　　圍繞它們之間的關(guān)系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

　　類(lèi)型一：函數(shù)零點(diǎn)的分布

　　解決零點(diǎn)的分布問(wèn)題，主要依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)・f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn).而零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性才能確定.

　　例1：(2013高考數(shù)學(xué)重慶卷)若a　　A.(a，b)和(b，c)內(nèi)

　　B.(-∞，a)和(a，b)內(nèi)

　　C.(b，c)和(c，+∞)內(nèi)

　　D.(-∞，a)和(c，+∞)內(nèi)

　　解析：由題意a0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.顯然f(a)・f(b)<0，f(b)・f(c)<0，所以該函數(shù)在(a，b)和(b，c)上均有零點(diǎn)，故選A.

　　變式：(高考廣東卷、高考山東卷)若函數(shù)為f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-lg(-x)+x+3，已知f(x)=0有一個(gè)根為x0，且x0∈(n，n+1)，n∈N*，則n的值為_(kāi)_______.

　　解析：由題意，設(shè)x>0，則-x<0，f(-x)=-lgx-x+3=-f(x)，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=lgx+x-3在(0，+∞)上是增函數(shù)，f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2，3)，則n=2.

　　類(lèi)型二：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

　　判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可利用定義法，即令f(x)=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決.

　　例2：(2012高考數(shù)學(xué)湖北卷)函數(shù)f(x)=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

　　A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

　　解析：定義法，令f(x)=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個(gè)解，因此函數(shù)f(x)=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個(gè)零點(diǎn)，故選C.

　　類(lèi)型三：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

　　在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再來(lái)解決其他問(wèn)題(如求參數(shù)).要解決此類(lèi)問(wèn)題常根據(jù)函數(shù)y=F(x)=f(x)-g(x)有零點(diǎn)?圳方程組y■=f(x)y■=g(x)有實(shí)數(shù)根?圳函數(shù)y1=f(x)與y2=g(x)函數(shù)的圖像有交點(diǎn).

　　例3：(2009高考數(shù)學(xué)山東卷)若函數(shù) f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

　　解析：我們可將上述函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)例3的幾何法：

　　1.構(gòu)造函數(shù).設(shè)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)， 就是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn).

　　2.通過(guò)圖像描繪題意――將數(shù)轉(zhuǎn)化成形.

　　3.由圖像得出結(jié)論――將形轉(zhuǎn)化成數(shù).

　　當(dāng)時(shí)0　　當(dāng)時(shí)a>1(如圖2)，因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>1)的圖像過(guò)點(diǎn)(0，1)，而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)(0，a)在點(diǎn)(0，1)的上方，此時(shí)兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

　　上述各例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類(lèi)型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)問(wèn)題看成方程根的個(gè)數(shù)或者函數(shù)圖像y=f(x)、y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，使得復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解的問(wèn)題，未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.