廣東茂名高考數(shù)學(xué)一模試卷(2)
廣東茂名高考數(shù)學(xué)一模試卷
廣東茂名高考數(shù)學(xué)一模試卷答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合M={x|x2﹣x﹣2≤0}，N={y|y=2x}，則M∩N=( )
A.(0，2] B.(0，2) C.[0，2] D.[2，+∞)
【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.
【分析】由一元二次不等式的解法、指數(shù)函數(shù)的值域求出集合M、N，由交集的運(yùn)算求出答案.
【解答】解：依題意得，M={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2]，
且N={y|y=2x}={y|y>0}=(0，+∞)，
∴M∩N=(0，2]，
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查交集及其運(yùn)算，一元二次不等式的解法，以及指數(shù)函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.
2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(2﹣i)z=1+i，則z的共軛復(fù)數(shù) 在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義即可得出.
【解答】解：復(fù)數(shù)(2﹣i)z=1+i，
∴(2+i)(2﹣i)z=(2+i)(1+i)，
∴z=
則z的共軛復(fù)數(shù) = ﹣ i在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn) 在第四象限.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
3.如圖，函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A>0，|φ|< )的圖象過點(diǎn)(0， )，則f(x)的圖象的一個對稱中心是( )
A.(﹣ ，0) B.(﹣ ，0) C.( ，0) D.( ，0)
【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象.
【分析】由函數(shù)圖象可知A=2，由圖象過點(diǎn)(0， )，可得sinφ= ，由|φ|< ，可解得φ，由2x+ =kπ，k∈Z可解得f(x)的圖象的對稱中心是：( ，0)，k∈Z，對比選項即可得解.
【解答】解：由函數(shù)圖象可知：A=2，由于圖象過點(diǎn)(0， )，
可得：2sinφ= ，即sinφ= ，由于|φ|< ，
解得：φ= ，
即有：f(x)=2sin(2x+ ).
由2x+ =kπ，k∈Z可解得：x= ，k∈Z，
故f(x)的圖象的對稱中心是：( ，0)，k∈Z
當(dāng)k=0時，f(x)的圖象的對稱中心是：( ，0)，
故選：B.
【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ωx+φ )的部分圖象求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.
4.設(shè)命題p：若定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則∀x∈R，f(﹣x)≠f(x).命題q：f(x)=x|x|在(﹣∞，0)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù).則下列判斷錯誤的是( )
A.p為假 B.￢q為真 C.p∨q為真 D.p∧q為假
【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假.
【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復(fù)合命題的真假即可.
【解答】解：函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，仍然可∃x，使f(﹣x)=f(x)，故p為假;
f(x)=x|x|= 在R上都是增函數(shù)，q為假;
故 p∨q為假，
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)合命題的真假，判斷函數(shù)的單調(diào)性.是一道基礎(chǔ)題.
5.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤;在細(xì)的一端截下1尺，重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為( )
A.6 斤 B.9 斤 C.9.5斤 D.12 斤
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項公式.
【分析】依題意，金箠由粗到細(xì)各尺構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項a1=4，則a5=2，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)能求出結(jié)果.
【解答】解：依題意，金箠由粗到細(xì)各尺構(gòu)成一個等差數(shù)列，
設(shè)首項a1=4，則a5=2，
由等差數(shù)列性質(zhì)得a2+a4=a1+a5=6，
所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤.
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
6.已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在(﹣∞，0]上是減函數(shù)，且f(1)=2，則不等式f(log2x)>2的解集為( )
A.(2，+∞) B. C. D.
【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性分析可得f(log2x)>2⇔|log2x|>1;化簡可得log2x>1或log2x<﹣1，解可得x的取值范圍，即可得答案.
【解答】解：f(x)是R的偶函數(shù)，在(﹣∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，
所以f(log2x)>2=f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1;
即log2x>1或log2x<﹣1;
解可得x>2或 .
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是通過對函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的分析，得到關(guān)于x的方程.
7.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果是 ，則輸入的a為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點(diǎn)】程序框圖.
【分析】算法的功能是求S= + +…+ 的值，根據(jù)輸出的S值，確定跳出循環(huán)的n值，從而得判斷框內(nèi)的條件.
【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S= + +…+ 的值，
∵S= =1﹣ = .∴n=5，
∴跳出循環(huán)的n值為5，
∴判斷框的條件為n<5.即a=5.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵.
8.一個幾何體的三視圖如圖所示，其表面積為6π+ π，則該幾何體的體積為( )
A.4π B.2π C. π D.3π
【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.
【分析】由三視圖可知：該幾何體從左到右由三部分組成，分別為三棱錐、圓柱、半球.表面積為6π+ π= +2πr×2r+2πr2，解得r.再利用體積計算公式即可得出.
【解答】解：由三視圖可知：該幾何體從左到右由三部分組成，分別為三棱錐、圓柱、半球.
表面積為6π+ π= +2πr×2r+2πr2，解得r=1.
∴該幾何體的體積V= r2×r+πr2×2r+ =3π.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查了圓柱、圓球、三棱錐的三視圖、體積與表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
9.學(xué)校計劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有( )
A.6種 B.24種 C.30種 D.36種
【考點(diǎn)】排列、組合的實際應(yīng)用.
【分析】先從4個中任選2個看作整體，然后做3個元素的全排列，從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，可得結(jié)論.
【解答】解：由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必有兩科在同一節(jié)，先從4科中任選2科看作一個整體，然后做3個元素的全排列，共 種方法，再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形，共 種方法，故總的方法種數(shù)為 ﹣ =36﹣6=30.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查排列組合及簡單的計數(shù)問題，采用間接法是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題.
10.過球O表面上一點(diǎn)A引三條長度相等的弦AB、AC、AD，且兩兩夾角都為60°，若球半徑為R，則弦AB的長度為( )
A. B. C.R D.
【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算.
【分析】由題意畫出圖形，可知A﹣BCD是正四面體，設(shè)AB=a，結(jié)合球心為正四面體的中心通過求解直角三角形得答案.
【解答】解：由條件可知A﹣BCD是正四面體，如圖：
A、B、C、D為球上四點(diǎn)，則球心O在正四面體中心，設(shè)AB=a，
則過點(diǎn)B、C、D的截面圓半徑 ，
正四面體A﹣BCD的高 ，則截面BCD與球心的距離 ，
∴ ，解得 .
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計算，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題.
11.過雙曲線 ﹣ =1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F2(c，0)作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為M，延長F2M交拋物線y2=﹣4cx于點(diǎn)P，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 ，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合;雙曲線的簡單性質(zhì).
【分析】說明M是F2P的中點(diǎn).設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1，則F1為(﹣c，0)，也是雙曲線的焦點(diǎn).畫出圖形，連接PF1，OM，說明OM為△PF2F1的中位線.通過PF2⊥PF1，可得|PF2|= ，設(shè)P(x，y)，推出 c﹣x=2a，利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理得 y2+4a2=4b2，然后求解離心率即可.
【解答】解：如圖9，∵ ，∴M是F2P的中點(diǎn).
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F1，則F1為(﹣c，0)，也是雙曲線的焦點(diǎn).
連接PF1，OM.∵O、M分別是F1F2和PF2的中點(diǎn)，∴OM為
△PF2F1的中位線.∵OM=a，∴|PF1|=2 a.∵OM⊥PF2，
∴PF2⊥PF1，于是可得|PF2|= ，設(shè)P(x，y)，則 c﹣x=2a，
于是有x=c﹣2a，y2=﹣4c(c﹣2 a)，過點(diǎn)F2作x軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為2a.
由勾股定理得 y2+4a2=4b2，即﹣4c(c﹣2a)+4 a2=4(c2﹣a2)，
變形可得c2﹣a2=ac，兩邊同除以a2
有 e2﹣e﹣1=0，所以e= ，負(fù)值已經(jīng)舍去.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，向量以及圓與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
12.已知f(x)=|xex|，又g(x)=f2(x)﹣tf(x)(t∈R)，若滿足g(x)=﹣1的x有四個，則t的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;根的存在性及根的個數(shù)判斷.
【分析】令y=xex，則y'=(1+x)ex，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，作出y=xex圖象，利用圖象變換得f(x)=|xex|圖象，令f(x)=m，則關(guān)于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0兩根分別在 ，滿足g(x)=﹣1的x有4個，列出不等式求解即可.
【解答】解：令y=xex，則y'=(1+x)ex，由y'=0，得x=﹣1，
當(dāng)x∈(﹣∞，﹣1)時，y'<0，函數(shù)y單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(﹣1，+∞)時，y'>0，函
數(shù)y單調(diào)遞增.作出y=xex圖象，
利用圖象變換得f(x)=|xex|圖象(如圖10)，
令f(x)=m，則關(guān)于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0
兩根分別在 時(如圖11)，
滿足g(x)=﹣1的x有4個，由 ，
解得 .
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，函數(shù)的圖象的變換，函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題紙上.
13.如圖為某工廠工人生產(chǎn)能力頻率分布直方圖，則估計此工廠工人生產(chǎn)能力的平均值為 133.8
【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.
【分析】由頻率分布直方圖求出x=0.024，由此能估計工人生產(chǎn)能力的平均數(shù).
【解答】解：由頻率分布直方圖得 (0.008+0.02+0.048+x)×10=1，
解得x=0.024.
估計工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)為：
=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8.
故答案為：133.8.
【點(diǎn)評】本題考查平均數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用.
14.已知 ，則二項式 展開式中的常數(shù)項是 240 .
【考點(diǎn)】二項式定理的應(yīng)用;定積分.
【分析】利用定積分求出a，寫出展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0，即可得出結(jié)論.
【解答】解： =sinx =2，則二項式 = 展開式的通項公式為 ，
令 ，求得r=4，所以二項式 展開式中的常數(shù)項是 ×24=240.
故答案為：240.
【點(diǎn)評】本題考查定積分知識的運(yùn)用，考查二項式定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.
15.若圓x2+y2﹣x+my﹣4=0關(guān)于直線x﹣y=0對稱，動點(diǎn)P(a，b)在不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動，則 的取值范圍是 (﹣∞，﹣2]∪[2，+∞) .
【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.
【分析】由已知列式求得m值，代入約束條件，作出可行域，結(jié)合 的幾何意義，即區(qū)域OAB內(nèi)點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)Q(1，2)連線的斜率求解.
【解答】解：∵圓x2+y2﹣x+my﹣4=0關(guān)于直線x﹣y=0對稱，
∴圓心 在直在線x﹣y=0上，則 ，
約束條件 表示的平面區(qū)域如圖：
表示區(qū)域OAB內(nèi)點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)Q(1，2)連線的斜率.
∵ ， ，
∴ 的取值范圍是(﹣∞，﹣2]∪[2，+∞).
故答案為：(﹣∞，﹣2]∪[2，+∞).
【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.
16.已知數(shù)列{an}是各項均不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且 (n∈N*).若不等式 對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是 [﹣3，0] .
【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合.
【分析】利用已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)， ，得到an=2n﹣1，n∈N*，然后①當(dāng)n為奇數(shù)時，利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解λ≥﹣3，②當(dāng)n為偶數(shù)時，分離變量，通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解 λ≤0，然后推出實數(shù)λ的取值范圍.
【解答】解： ，
⇒an=2n﹣1，n∈N*⇒
?、佼?dāng)n為奇數(shù)時， ，
是關(guān)于n(n∈N*)的增函數(shù).
所以n=1時f(n)最小值為f(1)=2﹣2+3=3，這時﹣λ≤3，λ≥﹣3，
?、诋?dāng)n為偶數(shù)時， 恒成立，
n為偶數(shù)時， 是增函數(shù)，當(dāng)n=2時，g(n)最小值為g(2)=4+1﹣5=0，
這時 λ≤0綜上①、②實數(shù)λ的取值范圍是[﹣3，0].
故答案為：[﹣3，0].
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列的函數(shù)的特征，考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分析問題解決問題的能力.
三、解答題：本大題共5小題，共70分.其中17至21題為必做題，22、23題為選做題.解答過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(12分)(2017•茂名一模)已知函f(x)=sin(2x﹣ )﹣cos2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期、最大值及取得最大值時x的集合;
(Ⅱ)設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若 ，b=1， ，且a>b，求角B和角C.
【考點(diǎn)】余弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù).
【分析】(I)根據(jù)兩角差的正弦公式、特殊角的三角函數(shù)值化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式函數(shù)f(x)的最小正周期，由正弦函數(shù)的最值求出最大值及取得最大值時x的集合;
(II)由(Ⅰ)化簡 ，由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由條件和正弦定理列出方程求出sinC，由C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C，并結(jié)合條件驗證邊角關(guān)系.
【解答】解：(Ⅰ)由題意得，f(x)=sin2xcos ﹣cos2xsin ﹣cos2x…(1分)
= …(2分)
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為 …(3分)
當(dāng) ，即 時，
f(x)取最大值為 ，…(4分)
這時x的集合為 …
(Ⅱ)由(I)知， ，
∴ ，…(6分)
∵0
∴ ，…(8分)
，
∴由正弦定理得 ，則 ，…(9分)
∵C為三角形的內(nèi)角，∴ …(10分)
;…(11分)
，
由a>b得A>B，則 舍去，
∴ …(12分)
【點(diǎn)評】此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦定理，正弦函數(shù)的最值，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，注意內(nèi)角的范圍和邊角關(guān)系.
18.(12分)(2017•茂名一模)調(diào)查表明：甲種農(nóng)作物的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性，現(xiàn)將這三項的指標(biāo)分別記為x，y，z，并對它們進(jìn)行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評定這種農(nóng)作物的長勢等級，若ω≥4，則長勢為一級;若2≤ω≤3，則長勢為二級;若0≤ω≤1，則長勢為三級，為了了解目前這種農(nóng)作物長勢情況，研究人員隨機(jī)抽取10塊種植地，得到如表中結(jié)果：
種植地編號 A1 A2 A3 A4 A5
(x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (0，0，1) (1，2，1)
種植地編號 A6 A7 A8 A9 A10
(x，y，z) (1，1，2) (1，1，1) (1，2，2) (1，2，1) (1，1，1)
(Ⅰ)在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地，求這兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率;
(Ⅱ)從長勢等級是一級的種植地中任取一塊地，其綜合指標(biāo)為A，從長勢等級不是一級的種植地中任取一塊地，其綜合指標(biāo)為B，記隨機(jī)變量X=A﹣B，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差;離散型隨機(jī)變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)由表可知：空氣濕度指標(biāo)為1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10，空氣濕度指標(biāo)為2的有A1，A3，A6，A8，求出這10塊種植地中任取兩塊地，基本事件總數(shù)n，這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個數(shù)，然后求解概率.
(Ⅱ)隨機(jī)變量X=A﹣B的所有可能取值為1，2，3，4，5，求出概率得到分布列，然后求解期望即可.
【解答】解：(Ⅰ)由表可知：空氣濕度指標(biāo)為1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10…(1分)
空氣濕度指標(biāo)為2的有A1，A3，A6，A8，…(2分)
在這10塊種植地中任取兩塊地，基本事件總數(shù)n= …(3分)
這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個數(shù) …
∴這兩地的空氣溫度的指標(biāo)z相同的概率 …(6分)
(Ⅱ)由題意得10塊種植地的綜合指標(biāo)如下表：
編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
綜合指標(biāo) 4 4 6 1 4 4 3 5 4 3
其中長勢等級是一級(ω≥4)有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7個，
長勢等級不是一級(ω<4)的有A4，A7，A10，共3個，…(7分)
隨機(jī)變量X=A﹣B的所有可能取值為1，2，3，4，5，…(8分)
w=4的有A1，A2，A5，A6，A9共5塊地，w=3的有A7，A10共2塊地，這時有X=4﹣3=1
所以 ，…(9分)
同理 ， ， …(10分)
∴X的分布列為：
X 1 2 3 4 5
P
…(11分)
…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查離散性隨機(jī)變量的分布列的求法，概率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
19.(12分)(2017•茂名一模)如圖1，在邊長為 的正方形ABCD中，E、O分別為 AD、BC的中點(diǎn)，沿 EO將矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如圖2所示，點(diǎn)G 在BC上，BG=2GC，M、N分別為AB、EG中點(diǎn).
(Ⅰ)求證：MN∥平面OBC;
(Ⅱ)求二面角 G﹣ME﹣B的余弦值.
【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)法一：取OG中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FN，證明MN∥BF，然后證明MN∥平面OBC.法二：延長EM、OB交于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，證明M為EQ中點(diǎn)，推出MN∥QG，然后證明MN∥平面OBC.
(Ⅱ)法一：證明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，證明OE⊥OG，然后推出OG⊥QE，說明∠OMG為二面角G﹣ME﹣B的平面角，Rt△MOG中，求解即可.
法二：建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出面BOE的一個法向量，平面MGE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【解答】(Ⅰ)證明：法一如圖13取OG中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FN，
則中位線FN∥ OE且FN= OE，
又BM∥ OE且BM= OE …(1分)
所以FN∥BM且FN=BM，所以四邊形BFNM是平行四邊形，所以MN∥BF，…(2分)
又MN⊄平面OBC，BF⊂平面OBC，所以MN∥平面OBC.…(4分)
法二：如圖14，延長EM、OB交于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，
因為BM∥OE且BM=OE，所以 ，
M為EQ中點(diǎn)，…(1分)
所以中位線MN∥QG …(2分)
又MN⊄平面OBC，QG⊂面OBC，所以MN∥平面OBC.…(4分)
(Ⅱ)解：法一如圖14，因為OB=OC= ，∠BOC=120°，
所以 ，…
又BG=2GC.所以 ， ，
∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…(6分)
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，
∴OE⊥OG…(7分)
又OB∩OE=O，所以O(shè)G⊥平面OBE，QE⊂面OBE OG⊥QE，…(8分)
又M為EQ中點(diǎn)，所以O(shè)Q=OE= ，所以O(shè)M⊥QE，OM∩OG=O，
所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG為二面角G﹣ME﹣B的平面角.…(9分)
所以Rt△MOG中， ， ，…(11分) ，∴二面角 G﹣ME﹣B的余弦值為 …(12分)
法二：如圖15，∵OB=OC= ，∠BOC=120°，
∴ ，…
又BG=2GC，∴ ， ，
∴OB2+OG2=BG2，
∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…(6分)
又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，
∴OE⊥平面OBC，OG⊂面OBC，
∴OE⊥OG…(7分)
又OB∩OE=O，所以O(shè)G⊥平面OBE，OE⊂面OBE，∴OG⊥OE…(8分)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則M( ，G(0，1，0)，E( ， ，…(9分)
而 是平面BOE的一個法向量，…(11分)
設(shè)平面MGE的法向量為 ，
則 ，
令 z=1，則 ，
面MGE的一個法向量為 ，…(10分)
所以
所以，二面角 G﹣ME﹣B的余弦值為 …(12分)
【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行于垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力.
20.(12分)(2017•茂名一模)設(shè)x，y∈R，向量 分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量 ， ，且 .
(Ⅰ)求點(diǎn)M(x，y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓 ，P為曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，試證：△OAB的面積為定值.
【考點(diǎn)】圓錐曲線的定值問題;圓錐曲線的軌跡問題;直線與橢圓的位置關(guān)系.
【分析】(Ⅰ)通過 ，得到 ，說明點(diǎn)M(x，y)到兩個定點(diǎn)F1( ，0)，F(xiàn)2( ，0)的距離之和為4，推出點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，然后求解即可.
(Ⅱ)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，利用判別式以及韋達(dá)定理求解三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可.
【解答】(Ⅰ)解：∵ ， ，且 ，
∴
∴點(diǎn)M(x，y)到兩個定點(diǎn)F1( ，0)，F(xiàn)2( ，0)的距離之和為4…(2分)
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
a=2∴b2=a2﹣c2=1…(3分)
其方程為 …(4分)
(Ⅱ)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，
∴△>0，由韋達(dá)定理可得： ， .…
所以 …(6分)
因為直線y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)，
所以△OAB的面積 …(7分)
= …(8分)
設(shè)
將y=kx+m代入橢圓C的方程，可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0…(10分)
由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，…(11分)
又因為 ，
故 為定值.…(12分)
【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值問題的處理方法，設(shè)而不求的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力.
21.(12分)(2017•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=x3﹣x+2 .
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)令g(x)= +lnx，若函數(shù)y=g(x)在(e，+∞)內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，對任意t∈(1，+∞)，s∈(0，1)，求證： .
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.
【分析】(Ⅰ)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后求解函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程.
(Ⅱ)化簡g(x)的表達(dá)式，求出定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h(x)=x2﹣(a+2)x+1，要使y=g(x)在(e，+∞)上有極值，轉(zhuǎn)化為 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有兩個不同的實根x1，x2，利用判別式推出a的范圍，判斷兩個根的范圍，然后求解a 的范圍.
(Ⅲ)轉(zhuǎn)化已知條件為∀t∈(1，+∞)，都有g(shù)(t)≥g(x2)，通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值，推出 = ，構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)以及單調(diào)性求解即可.
【解答】(Ⅰ)解：∵f(1)=13﹣1+2×1=2.…(1分)
…(2分)
∴函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為：
y﹣2=3(x﹣1)，即3x﹣y﹣1=0. …(3分)
(Ⅱ)解：
定義域為(0，1)∪(1，+∞)∴ …(4分)
設(shè)h(x)=x2﹣(a+2)x+1，要使y=g(x)在(e，+∞)上有極值，
則 h(x)=x2﹣(a+2)x+1=0有兩個不同的實根x1，x2，
∴△=(a+2)2﹣4>0∴a>0或a<﹣4①…
而且一根在區(qū)間(e，+∞)上，不妨設(shè)x2>e，又因為x1•x2=1，∴ ，
又h(0)=1，
∴
聯(lián)立①②可得： …(6分)
(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)知，當(dāng)x∈(1，x2)，g'(x)<0，∴g(x)單調(diào)遞減，
x∈(x2+∞)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增
∴g(x)在(1，+∞)上有最小值g(x2)即∀t∈(1，+∞)，都有g(shù)(t)≥g(x2)…(7分)
又當(dāng)x∈(0，x1)，g'(x)>0∴g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x1，1)，g'(x)<0，∴g(x)單調(diào)遞減，
∴g(x)在(0，1)上有最大值g(x1)即對∀s∈(0，1)，都有g(shù)(s)≤g(x1)…(8分)
又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈(0， )，x2∈(e，+∞)，
∴ =
= …(10分)
，
∴ ，
∴k(x)在(e，+∞)上單調(diào)遞增，∴ …(11分)
∴ …(12分)
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查函數(shù)的最值以及單調(diào)性的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](共1小題，滿分10分)
22.(10分)(2017•茂名一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線 .
(Ⅰ)寫出曲線C1，C2的普通方程;
(Ⅱ)過曲線C1的左焦點(diǎn)且傾斜角為 的直線l交曲線C2于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.
【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)消去參數(shù)及利亞極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化方法，寫出曲線C1，C2的普通方程;
(Ⅱ)直線l的參數(shù)方程為： (t為參數(shù))，將其代入曲線C2整理可得： ，利用參數(shù)的幾何運(yùn)用求|AB|.
【解答】解：(Ⅰ) …(1分)
即C1的普通方程為 .…(3分)
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，C2可化為 x2+y2+4x﹣2y+4=0，…(3分)
即(x+2)2+(y﹣1)2=1.…(4分)
(Ⅱ)曲線C1左焦點(diǎn)為(﹣4，0)，…
直線l的傾斜角為 ， .…(6分)
所以直線l的參數(shù)方程為： (t為參數(shù))，…(7分)
將其代入曲線C2整理可得： ，…(8分)
所以△= .
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則 .…(9分)
所以 .…(10分)
【點(diǎn)評】本題考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.
[選修4-5：不等式選講](共1小題，滿分0分)
23.(2017•茂名一模)已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|，g(x)=|x﹣1|+2.
(Ⅰ)若a=1，解不等式f(x)<6;
(Ⅱ)若對任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，分別求出f(x)，g(x)的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可.
【解答】解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時，f(x)<6，即|2x﹣1|+|2x+3|<6，
即 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴﹣2
所以不等式f(x)<6的解集為{x|﹣2
(Ⅱ)對任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，
則有{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}，
又f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|
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