高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題時(shí)，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過程中，沒有注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文通過幾個(gè)例子，剖析致錯(cuò)原因，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練?？旌托【幰黄饋砜纯锤呖紨?shù)學(xué)易錯(cuò)題的最新解讀吧!

　　要點(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線

　　1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：曲線在點(diǎn)處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù))。

　　2.求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率;(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：①當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義可知，切線方程為;②當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解。

　　要點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。

　　(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式>0或<0。②若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式≥0或≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。

　　要點(diǎn)3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

　　1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：(以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點(diǎn)處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點(diǎn)不是的駐點(diǎn).

　　(1)可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處有，即點(diǎn)是的駐點(diǎn)，但從在上為增函數(shù)可知，點(diǎn)不是的極值點(diǎn).

　　(2) 求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.

　　(3) 在求實(shí)際問題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個(gè)開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)(其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo))，并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大(小)值(如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大(小).記住這個(gè)定理很有好處)，然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值。知道這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)樗趹?yīng)用一般情況下選那個(gè)不帶常數(shù)的。

　　3.利用定積分來求面積時(shí)，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計(jì)算，分兩部分進(jìn)行計(jì)算，然后求兩部分的代數(shù)和.

　　命題角度 1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

　　1.設(shè)，,…, ,n∈N,則 ( )

　　A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

　　[考場錯(cuò)解] 選C

　　[專家把脈] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期為4。

　　[對癥下藥] 選A

　　2.已知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，的解析式可能為 ( )

　　A.=(x-1)3+32(x-1) B.=2x+1 C.=2(x-1)2 D.=-x+3

　　[考場錯(cuò)解] 選B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.

　　[專家把脈] 上面解答錯(cuò)誤原因是導(dǎo)數(shù)公式不熟悉，認(rèn)為(2x+1)’=2x+1.正確的是(2x+1)’=2,所以x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)是2，不是3。

　　=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+(n=1，2，3，…)從而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n·=-e.

　　∴數(shù)列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數(shù)列。

　　[專家把脈] 上面解答求導(dǎo)過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即(e-x)’=e-x是錯(cuò)誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知(e-x)’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。

　　[對診下藥](1)證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)

　　=-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數(shù)，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)，

　　f(xn)=(-1)ne-nπ,所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比數(shù)列，且首項(xiàng)f(x1)=-e-π

　　(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)

　　aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(-nqn)從而Sn=(-nqn)

　　∵|q|=e-π<1 ∴qn=0,∴

　　專家會(huì)診1.理解導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則的運(yùn)用。2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進(jìn)行，注意不要遺漏3.求導(dǎo)數(shù)時(shí)，先化簡再求導(dǎo)是運(yùn)算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù);對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式;多項(xiàng)式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等。

　　命題角度 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用

　　1.曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_________.

　　[考場錯(cuò)解] 填2 由曲線y=x3在點(diǎn)(1，1)的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。

　　[專家把脈] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點(diǎn)處的切線斜率等于函數(shù)在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點(diǎn)，無故得出切線的斜率為1顯然是錯(cuò)誤的。

　　[對癥下藥] 填?！?3x2 當(dāng)x=1時(shí)f’(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)(1，1)處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點(diǎn)(2，4)。又y=3x-2與x軸交于(，0)。∴三條直線所圍成的面積為S=×4×(2-)=。

　　2.設(shè)t≠0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖像在P點(diǎn)處有相同的切線。(1)用t表示a、b、c;(2)若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。

　　[考場錯(cuò)解] (1)∵函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又兩函數(shù)的圖像在點(diǎn)P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.

　　[專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實(shí)上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實(shí)錯(cuò)解在使用兩函數(shù)有公共點(diǎn)P，只是利用f(t)=g(t)是不準(zhǔn)確的，準(zhǔn)確的結(jié)論應(yīng)是f(t)=0，即t3+at=0，因?yàn)閠≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因?yàn)閒(x)、g(x)在(t,0)處有相同的切線，

　　所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3

　　(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).

　　當(dāng)y’=(3x+t)(x-t)<0時(shí),函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y’<0,若t<0,則t

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