以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為基礎(chǔ)系統(tǒng)學(xué)好數(shù)學(xué)方法
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高彩靜1由 分享
摘要:在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)特別注意把不同的概念聯(lián)系在一起,進(jìn)行比較,并從不同側(cè)面加深對(duì)概念的理解,使它系統(tǒng)化,就不會(huì)造成學(xué)生對(duì)概念理解的模糊,有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的貯藏,有利于產(chǎn)生“牽一發(fā)而動(dòng)全身”之功效。因此,研究概念教學(xué)意義重大。 關(guān)鍵詞:理解概念;探究性教學(xué);情境教學(xué);教學(xué)過程
事實(shí)證明:只要求學(xué)生解習(xí)題,而不給學(xué)生講透數(shù)學(xué)概念、實(shí)質(zhì)問題,等于只是給了學(xué)生一把對(duì)號(hào)開鎖的鑰匙,而不是教給學(xué)生解剖鎖的結(jié)構(gòu)原理。不交給學(xué)生一把萬能鑰匙,學(xué)生是很難找到竅門的。因此有必要進(jìn)行系統(tǒng)而又嚴(yán)肅的概念教學(xué),事實(shí)上數(shù)學(xué)知識(shí)都是以概念為基礎(chǔ)的。要使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí),首先必須獲得清晰明確的數(shù)學(xué)概念。
一、理解概念的邏輯性
數(shù)學(xué)概念可分為兩個(gè)重要方面:一是概念的“質(zhì)”,也就是概念的內(nèi)涵(概念的本質(zhì)屬性);二是概念的“量”,也就是概念的外延(概念的所有對(duì)象的和)。假如把一個(gè)概念當(dāng)作一個(gè)集合,那么概念的內(nèi)涵就是這個(gè)集合里的元素的所有的共同屬性的總和,而概念的外延則是這個(gè)集合中所有元素的全體。內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內(nèi)涵就不能不涉及到概念的外延的問題。同時(shí),概念的外延還有大小之分,外延大的叫做種概念,外延小的則叫做屬概念。當(dāng)然,種概念與屬概念也并不是絕對(duì)的,有理數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)來說是屬概念,但它對(duì)整數(shù)來說又是種概念。一個(gè)概念,可能有許多的屬概念。一個(gè)屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差。要想給某一概念下定義,首先應(yīng)先向?qū)W生指出與被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,即概念定義=種概念+屬差。如:為了定義菱形,我們教學(xué)時(shí)可以先利用“平行四邊形”這一學(xué)過的概念,其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念,它規(guī)定了菱形所屬的類別,但菱形不是一般的平行四邊形,它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開,這樣就可以得到:菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。 為了使學(xué)生能明確被定義的概念,教師就得先做到心中有數(shù),準(zhǔn)確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差,抓住概念的本質(zhì)特征,把握定義中的關(guān)鍵字句,弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系,把握概念的內(nèi)涵,加深對(duì)概念外延的理解。
二、數(shù)學(xué)概念的探究性教學(xué)
探究性學(xué)習(xí)是一種在教師引導(dǎo)下的體現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的一種學(xué)習(xí)方式,它往往模擬數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新的概念和命題的探究過程。簡(jiǎn)言之,探究學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)探究的模擬,有別于學(xué)生好奇心驅(qū)動(dòng)下所從事的那種自發(fā)、盲目、低效或無效的探究活動(dòng)。事實(shí)上,學(xué)生探究活動(dòng)過程所涉及的觀察、思考、推理等活動(dòng)不全是他們能獨(dú)自完成的,需要教師在關(guān)鍵時(shí)候給予必要的啟發(fā)、引導(dǎo)?! ?br/> 例如在《相反意義的量》的教學(xué)上先用多媒體演示:“一個(gè)人向東走3步,向西走4步;一小蟲在樹干上先向上爬20cm,再向下爬回到出發(fā)點(diǎn),再向下爬10cm;在一個(gè)裝有蘋果的盤子里增加4個(gè)蘋果,再取走5個(gè)蘋果等。”然后引導(dǎo)學(xué)生觀察每一事例在數(shù)量上的變化情況,并要學(xué)生用語言描述以上3個(gè)事例,引導(dǎo)學(xué)生概括出其中數(shù)量上的變化情況,并板書,再請(qǐng)同學(xué)思考:(1)事例中什么在發(fā)生變化?(2)怎樣變化?(3)變化的意義是否相同?(4)三個(gè)不同事例變化的共同之處是什么?經(jīng)過討論、交流,學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們的共同之處在于數(shù)量的變化都是相反的。在明確考察的對(duì)象是事物數(shù)量對(duì)應(yīng)性變化這個(gè)問題后,請(qǐng)同學(xué)們列舉類似的事例以進(jìn)一步理解概念。然后再任選學(xué)生的舉例提問:“向南走3步,向北走4步;贏利200元,再贏利300元;向上8cm,向東10cm。三句話中兩個(gè)量變化有何區(qū)別。
引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注量所反映的方向,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在比較中關(guān)注量的相對(duì)性質(zhì),最后由學(xué)生來思考概括所有相關(guān)例子中共同的東西,即他們都是相反意義的量,而非“相同意義的量”或“不同意義的量”?! ?br/> 在堂課里,通過學(xué)生對(duì)相對(duì)具體事物的直接觀察、感知、分析、比較,進(jìn)而抽象概括出概念,整個(gè)過程引導(dǎo)學(xué)生成為“相反意義的量”概念本質(zhì)的“發(fā)現(xiàn)者”,親自參與了由表及里的不斷深入的理解過程,從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來的快樂,實(shí)踐了抽取實(shí)際事物量的關(guān)系而舍棄其他一切表面現(xiàn)象的一種思維活動(dòng)。這樣的探究教學(xué)活躍了學(xué)生的思維,數(shù)學(xué)變得親近,學(xué)生樂于接受?! ?br/> 三、數(shù)學(xué)概念的情境性教學(xué)
數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)好的問題情境能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究的欲望。如在《平面直角坐標(biāo)系》概念的教學(xué)中,情境引入:“如今索馬里海盜對(duì)國(guó)際航運(yùn)和海上安全構(gòu)成嚴(yán)重威脅。一艘途經(jīng)索馬里海域的輪船怎樣來確定自己的位置?”學(xué)生一般都能回答是用經(jīng)度和緯度來確定它們的位置。再問:“那么單獨(dú)用經(jīng)度或緯度一個(gè)量來確定它們的位置行嗎?”“不行。”“為什么?”學(xué)生通過思考交流相互補(bǔ)充舉反例的方法體驗(yàn)用一對(duì)數(shù)確定一個(gè)物體位置的合理性。然后問:“同學(xué)們那么你們現(xiàn)在的位置怎么確定下來?”學(xué)生:“我在第3小組第4排。”“很好,那么單獨(dú)用小組數(shù)或排數(shù)能否確定你的位置?”“不能。”然后讓第3小組的學(xué)生站起來,第4排的學(xué)生也站一下,通過實(shí)際情境進(jìn)一步體驗(yàn)用一對(duì)數(shù)來確定平面上一點(diǎn)位置的正確性。然后再問:“把教室的右墻角的兩條墻角線分別看作是0排0組,請(qǐng)同學(xué)們分別說出自己的位置。”用(x,y)表示,x表示組數(shù),y表示排數(shù),在這過程中學(xué)生鞏固了用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點(diǎn)的方法。然后要同學(xué)們考慮這時(shí)隔壁班的同學(xué)的位置該怎樣確定,通過學(xué)生自己的交流、討論得到了“平面直角坐標(biāo)系”的基本框架?! ≌谜n的教學(xué)基本上在具體的情境中進(jìn)行。學(xué)生情緒高漲、思維活躍,積極參與。在不知不覺中掌握了“平面直角坐標(biāo)系”的概念。可見好的情境對(duì)概念教學(xué)有著不可忽視的作用。
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,用得比較多的還有正例和反例教學(xué),特別是在數(shù)學(xué)概念理解的深化階段,反例發(fā)揮著重要作用。因此,既可以利用概念之間的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行概念教學(xué),也可以利用數(shù)學(xué)概念之間的邏輯聯(lián)系,多方面聯(lián)系實(shí)際,靈活運(yùn)用概念進(jìn)行概念教學(xué)。
四、注重概念的形成過程
許多數(shù)學(xué)概念都是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的。講清它們的來源,既會(huì)讓學(xué)生感到不抽象,而且有利于形成生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍。一般說來,概念的形成過程包括:引入概念的必要性,對(duì)一些感性材料的認(rèn)識(shí)、分析、抽象和概括,注重概念形成過程,符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。在教學(xué)過程中,如果忽視概念的形成過程,把形成概念的生動(dòng)過程變?yōu)楹?jiǎn)單的“條文加例題”,就不利于學(xué)生對(duì)概念的理解。因此,注重概念的形成過程,可以完整地、本質(zhì)地、內(nèi)在地揭示概念的本質(zhì)屬性,使學(xué)生對(duì)理解概念具備思想基礎(chǔ),同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法。例如,負(fù)數(shù)概念的建立,展現(xiàn)知識(shí)的形成過程如下:①讓學(xué)生總結(jié)小學(xué)學(xué)過的數(shù),表示物體的個(gè)數(shù)用自然數(shù)1,2,3…表示;一個(gè)物體也沒有,就用自然數(shù)0表示:測(cè)量和計(jì)算有時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果,這就用分?jǐn)?shù)。②觀察兩個(gè)溫度計(jì),零上3度。記作+3°,零下3度,記作-3°,這里出現(xiàn)了一種新的數(shù)——負(fù)數(shù)。③讓學(xué)生說出所給問題的意義,讓學(xué)生觀察所給問題有何特征。④引導(dǎo)學(xué)生抽象概括正、負(fù)數(shù)的概念。
針對(duì)概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性,我們教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意:在學(xué)生對(duì)某些預(yù)備概念模糊不清的情況下,千萬不要急于引入新概念,最好先復(fù)習(xí)涉及新概念的相關(guān)預(yù)備概念,尤其是對(duì)特別重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念,教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào),以求得學(xué)生較為徹底的理解,方可為新概念的導(dǎo)入作出良好的鋪墊。
事實(shí)證明:只要求學(xué)生解習(xí)題,而不給學(xué)生講透數(shù)學(xué)概念、實(shí)質(zhì)問題,等于只是給了學(xué)生一把對(duì)號(hào)開鎖的鑰匙,而不是教給學(xué)生解剖鎖的結(jié)構(gòu)原理。不交給學(xué)生一把萬能鑰匙,學(xué)生是很難找到竅門的。因此有必要進(jìn)行系統(tǒng)而又嚴(yán)肅的概念教學(xué),事實(shí)上數(shù)學(xué)知識(shí)都是以概念為基礎(chǔ)的。要使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí),首先必須獲得清晰明確的數(shù)學(xué)概念。
一、理解概念的邏輯性
數(shù)學(xué)概念可分為兩個(gè)重要方面:一是概念的“質(zhì)”,也就是概念的內(nèi)涵(概念的本質(zhì)屬性);二是概念的“量”,也就是概念的外延(概念的所有對(duì)象的和)。假如把一個(gè)概念當(dāng)作一個(gè)集合,那么概念的內(nèi)涵就是這個(gè)集合里的元素的所有的共同屬性的總和,而概念的外延則是這個(gè)集合中所有元素的全體。內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內(nèi)涵就不能不涉及到概念的外延的問題。同時(shí),概念的外延還有大小之分,外延大的叫做種概念,外延小的則叫做屬概念。當(dāng)然,種概念與屬概念也并不是絕對(duì)的,有理數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)來說是屬概念,但它對(duì)整數(shù)來說又是種概念。一個(gè)概念,可能有許多的屬概念。一個(gè)屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差。要想給某一概念下定義,首先應(yīng)先向?qū)W生指出與被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,即概念定義=種概念+屬差。如:為了定義菱形,我們教學(xué)時(shí)可以先利用“平行四邊形”這一學(xué)過的概念,其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念,它規(guī)定了菱形所屬的類別,但菱形不是一般的平行四邊形,它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開,這樣就可以得到:菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。 為了使學(xué)生能明確被定義的概念,教師就得先做到心中有數(shù),準(zhǔn)確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差,抓住概念的本質(zhì)特征,把握定義中的關(guān)鍵字句,弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系,把握概念的內(nèi)涵,加深對(duì)概念外延的理解。
二、數(shù)學(xué)概念的探究性教學(xué)
探究性學(xué)習(xí)是一種在教師引導(dǎo)下的體現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的一種學(xué)習(xí)方式,它往往模擬數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新的概念和命題的探究過程。簡(jiǎn)言之,探究學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)探究的模擬,有別于學(xué)生好奇心驅(qū)動(dòng)下所從事的那種自發(fā)、盲目、低效或無效的探究活動(dòng)。事實(shí)上,學(xué)生探究活動(dòng)過程所涉及的觀察、思考、推理等活動(dòng)不全是他們能獨(dú)自完成的,需要教師在關(guān)鍵時(shí)候給予必要的啟發(fā)、引導(dǎo)?! ?br/> 例如在《相反意義的量》的教學(xué)上先用多媒體演示:“一個(gè)人向東走3步,向西走4步;一小蟲在樹干上先向上爬20cm,再向下爬回到出發(fā)點(diǎn),再向下爬10cm;在一個(gè)裝有蘋果的盤子里增加4個(gè)蘋果,再取走5個(gè)蘋果等。”然后引導(dǎo)學(xué)生觀察每一事例在數(shù)量上的變化情況,并要學(xué)生用語言描述以上3個(gè)事例,引導(dǎo)學(xué)生概括出其中數(shù)量上的變化情況,并板書,再請(qǐng)同學(xué)思考:(1)事例中什么在發(fā)生變化?(2)怎樣變化?(3)變化的意義是否相同?(4)三個(gè)不同事例變化的共同之處是什么?經(jīng)過討論、交流,學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們的共同之處在于數(shù)量的變化都是相反的。在明確考察的對(duì)象是事物數(shù)量對(duì)應(yīng)性變化這個(gè)問題后,請(qǐng)同學(xué)們列舉類似的事例以進(jìn)一步理解概念。然后再任選學(xué)生的舉例提問:“向南走3步,向北走4步;贏利200元,再贏利300元;向上8cm,向東10cm。三句話中兩個(gè)量變化有何區(qū)別。
引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注量所反映的方向,進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在比較中關(guān)注量的相對(duì)性質(zhì),最后由學(xué)生來思考概括所有相關(guān)例子中共同的東西,即他們都是相反意義的量,而非“相同意義的量”或“不同意義的量”?! ?br/> 在堂課里,通過學(xué)生對(duì)相對(duì)具體事物的直接觀察、感知、分析、比較,進(jìn)而抽象概括出概念,整個(gè)過程引導(dǎo)學(xué)生成為“相反意義的量”概念本質(zhì)的“發(fā)現(xiàn)者”,親自參與了由表及里的不斷深入的理解過程,從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來的快樂,實(shí)踐了抽取實(shí)際事物量的關(guān)系而舍棄其他一切表面現(xiàn)象的一種思維活動(dòng)。這樣的探究教學(xué)活躍了學(xué)生的思維,數(shù)學(xué)變得親近,學(xué)生樂于接受?! ?br/> 三、數(shù)學(xué)概念的情境性教學(xué)
數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)好的問題情境能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究的欲望。如在《平面直角坐標(biāo)系》概念的教學(xué)中,情境引入:“如今索馬里海盜對(duì)國(guó)際航運(yùn)和海上安全構(gòu)成嚴(yán)重威脅。一艘途經(jīng)索馬里海域的輪船怎樣來確定自己的位置?”學(xué)生一般都能回答是用經(jīng)度和緯度來確定它們的位置。再問:“那么單獨(dú)用經(jīng)度或緯度一個(gè)量來確定它們的位置行嗎?”“不行。”“為什么?”學(xué)生通過思考交流相互補(bǔ)充舉反例的方法體驗(yàn)用一對(duì)數(shù)確定一個(gè)物體位置的合理性。然后問:“同學(xué)們那么你們現(xiàn)在的位置怎么確定下來?”學(xué)生:“我在第3小組第4排。”“很好,那么單獨(dú)用小組數(shù)或排數(shù)能否確定你的位置?”“不能。”然后讓第3小組的學(xué)生站起來,第4排的學(xué)生也站一下,通過實(shí)際情境進(jìn)一步體驗(yàn)用一對(duì)數(shù)來確定平面上一點(diǎn)位置的正確性。然后再問:“把教室的右墻角的兩條墻角線分別看作是0排0組,請(qǐng)同學(xué)們分別說出自己的位置。”用(x,y)表示,x表示組數(shù),y表示排數(shù),在這過程中學(xué)生鞏固了用一對(duì)有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點(diǎn)的方法。然后要同學(xué)們考慮這時(shí)隔壁班的同學(xué)的位置該怎樣確定,通過學(xué)生自己的交流、討論得到了“平面直角坐標(biāo)系”的基本框架?! ≌谜n的教學(xué)基本上在具體的情境中進(jìn)行。學(xué)生情緒高漲、思維活躍,積極參與。在不知不覺中掌握了“平面直角坐標(biāo)系”的概念。可見好的情境對(duì)概念教學(xué)有著不可忽視的作用。
在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,用得比較多的還有正例和反例教學(xué),特別是在數(shù)學(xué)概念理解的深化階段,反例發(fā)揮著重要作用。因此,既可以利用概念之間的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行概念教學(xué),也可以利用數(shù)學(xué)概念之間的邏輯聯(lián)系,多方面聯(lián)系實(shí)際,靈活運(yùn)用概念進(jìn)行概念教學(xué)。
四、注重概念的形成過程
許多數(shù)學(xué)概念都是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的。講清它們的來源,既會(huì)讓學(xué)生感到不抽象,而且有利于形成生動(dòng)活潑的學(xué)習(xí)氛圍。一般說來,概念的形成過程包括:引入概念的必要性,對(duì)一些感性材料的認(rèn)識(shí)、分析、抽象和概括,注重概念形成過程,符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律。在教學(xué)過程中,如果忽視概念的形成過程,把形成概念的生動(dòng)過程變?yōu)楹?jiǎn)單的“條文加例題”,就不利于學(xué)生對(duì)概念的理解。因此,注重概念的形成過程,可以完整地、本質(zhì)地、內(nèi)在地揭示概念的本質(zhì)屬性,使學(xué)生對(duì)理解概念具備思想基礎(chǔ),同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維方法。例如,負(fù)數(shù)概念的建立,展現(xiàn)知識(shí)的形成過程如下:①讓學(xué)生總結(jié)小學(xué)學(xué)過的數(shù),表示物體的個(gè)數(shù)用自然數(shù)1,2,3…表示;一個(gè)物體也沒有,就用自然數(shù)0表示:測(cè)量和計(jì)算有時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果,這就用分?jǐn)?shù)。②觀察兩個(gè)溫度計(jì),零上3度。記作+3°,零下3度,記作-3°,這里出現(xiàn)了一種新的數(shù)——負(fù)數(shù)。③讓學(xué)生說出所給問題的意義,讓學(xué)生觀察所給問題有何特征。④引導(dǎo)學(xué)生抽象概括正、負(fù)數(shù)的概念。
針對(duì)概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性,我們教師教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意:在學(xué)生對(duì)某些預(yù)備概念模糊不清的情況下,千萬不要急于引入新概念,最好先復(fù)習(xí)涉及新概念的相關(guān)預(yù)備概念,尤其是對(duì)特別重要的、關(guān)鍵性的預(yù)備概念,教師要反復(fù)強(qiáng)調(diào),以求得學(xué)生較為徹底的理解,方可為新概念的導(dǎo)入作出良好的鋪墊。