有關(guān)抽象函數(shù)的全面探析
摘要:抽象函數(shù)是函數(shù)中的一類綜合性較強的問題。這類問題不僅能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,更能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。
關(guān)鍵詞:抽象函數(shù);定義域;值域;對稱性
抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)概念。我們把沒有給出具體解析式,其一般形式為y=f(x),且無法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。由于抽象函數(shù)的問題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身。這類問題考查學(xué)生對數(shù)學(xué)符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關(guān)系的認識以及數(shù)學(xué)的綜合能力。
解決抽象函數(shù)的問題要求學(xué)生基礎(chǔ)知識扎實、抽象思維能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高。所以近幾年來高考題中不斷出現(xiàn),在2009年的全國各地高考試題中,抽象函數(shù)遍地開花。但學(xué)生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心。下面通過例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法。
一、抽象函數(shù)的定義域
例1已知函數(shù)f(x)的定義域為[1,3],求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定義域。
解析:由由a>0
知只有當0<a<1時,不等式組才有解,具體為{x|1+a<x≤3-a;否則不等式組的解集為空集,這說明當且僅當0<a<1時,g(x)才能是x的函數(shù),且其定義域為(1+a,3-a]。
點評:1.已知f(x)的定義域為[a,b],則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b,解出x即可得解;2.已知f[g(x)]的定義域為[a,b],則f(x)的定義域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
二、抽象函數(shù)的值域
解決抽象函數(shù)的值域問題——由定義域與對應(yīng)法則決定。
例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域為[-1,1]求y=(3x+2)的值域。
解析:因為函數(shù)y=f(3x+2)中的定義域與對應(yīng)法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對應(yīng)法則完全相同,故函數(shù)y=f(3x+2)的值域也為[-1,1]。
三、抽象函數(shù)的奇偶性
四、抽象函數(shù)的對稱性
例3已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù),函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱,則g(x)+g(-x)的值為()
A、2B、0C、1D、不能確定
解析:由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=,∵y=f(2x+1)是奇函數(shù),∴y=也是奇函數(shù),∴。∴,,而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對稱,∴g(x)+g(-x)=故選A。
五、抽象函數(shù)的周期性
例4、(2009全國卷Ⅰ理)函數(shù)的定義域為R,若與都是奇函數(shù),則()
(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)
(C)(D)是奇函數(shù)
解:∵與都是奇函數(shù),,
函數(shù)關(guān)于點,及點對稱,函數(shù)是周期的周期函數(shù).,,即是奇函數(shù)。故選D
定理1.若函數(shù)y=f(x)定義域為R,且滿足條件f(x+a)=f(x-b),則y=f(x)是以T=a+b為周期的周期函數(shù)。
定理2.若函數(shù)y=f(x)定義域為R,且滿足條件f(x+a)=-f(x-b),則y=f(x)是以T=2(a+b)為周期的周期函數(shù)。
定理3.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b(a≠b)對稱,則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù)。
定理4.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)與點(b,0),(a≠b)對稱,則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù)。
定理5.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與點(b,0),(a≠b)對稱,則y=f(x)是以T=4(b-a)為周期的周期函數(shù)。
性質(zhì)1:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x)(a≠b,ab≠0),則函數(shù)f(x)有周期2(a-b);
性質(zhì)2:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=-f(a+x)及f(b-x)=-f(b+x),(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(a-b).
特別:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)(a≠0)且f(x)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)有周期2a.
性質(zhì)3:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=-f(b+x)(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期4(a-b).
特別:若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)(a≠0)且f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)有周期4a。
從以上例題可以發(fā)現(xiàn),抽象函數(shù)的考查范圍很廣,能力要求較高。但只要對函數(shù)的基本性質(zhì)熟,掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類型題相應(yīng)的解法,則會得心應(yīng)手。
參考文獻:
[1]陳誠.抽象函數(shù)問題分類解析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)·,2008(8).