初二上冊數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖
初二上冊數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖
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初二上冊數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖整式乘除與因式分解知識點
一.回顧知識點
1、主要知識回顧：
冪的運(yùn)算性質(zhì)：
am·an=am+n (m、n為正整數(shù))
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
= amn (m、n為正整數(shù))
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.
(n為正整數(shù))
積的乘方等于各因式乘方的積.
= am-n (a≠0，m、n都是正整數(shù)，且m>n)
同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
零指數(shù)冪的概念：
a0=1 (a≠0)
任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l.
負(fù)指數(shù)冪的概念：
a-p= (a≠0，p是正整數(shù))
任何一個不等于零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))指數(shù)冪，等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù).
也可表示為：(m≠0，n≠0，p為正整數(shù))
單項式的乘法法則：
單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.
單項式與多項式的乘法法則：
單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.
多項式與多項式的乘法法則：
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.
單項式的除法法則：
單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.
多項式除以單項式的法則：
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.
2、乘法公式：
?、倨椒讲罟剑?a+b)(a-b)=a2-b2
文字語言敘述：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.
②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
文字語言敘述：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍.
3、因式分解：
因式分解的定義.
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解.
掌握其定義應(yīng)注意以下幾點：
(1)分解對象是多項式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可;
(2)因式分解必須是恒等變形;
(3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.
因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式.
二、熟練掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式，公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù);②字母——各項含有的相同字母;③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù);
(3)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項.
(4)注意點：①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”;②如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.
2、公式法
運(yùn)用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用;
常用的公式：
①平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b)
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
初二上冊數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖分式知識點
知識點一：分式的定義
一般地，如果A，B表示兩個整數(shù)，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A為分子，B為分母。
知識點二：與分式有關(guān)的條件
?、俜质接幸饬x：分母不為0()
②分式無意義：分母為0()
?、鄯质街禐?：分子為0且分母不為0()
④分式值為正或大于0：分子分母同號(或)
?、莘质街禐樨?fù)或小于0：分子分母異號(或)
?、薹质街禐?：分子分母值相等(A=B)
⑦分式值為-1：分子分母值互為相反數(shù)(A+B=0)
知識點三：分式的基本性質(zhì)
分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變。
字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。
拓展：分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即
注意：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。
知識點四：分式的約分
定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。
步驟：把分式分子分母因式分解，然后約去分子與分母的公因。
注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，然后約去分子分母相同因式的最低次冪。
?、诜肿臃帜溉魹槎囗検剑s分時先對分子分母進(jìn)行因式分解，再約分。
知識點四：最簡分式的定義
一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。
知識點五：分式的通分
?、?分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。
最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。
確定最簡公分母的一般步驟：
?、?取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);
?、?單獨(dú)出現(xiàn)的字母(或含有字母的式子)的冪的因式連同它的指數(shù)作為一個因式;
?、?相同字母(或含有字母的式子)的冪的因式取指數(shù)最大的。
?、?保證凡出現(xiàn)的字母(或含有字母的式子)為底的冪的因式都要取。
注意：分式的分母為多項式時，一般應(yīng)先因式分解。
知識點六分式的四則運(yùn)算與分式的乘方
?、?分式的乘除法法則：
分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。式子表示為：
分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。式子表示為
② 分式的乘方：把分子、分母分別乘方。式子
?、?分式的加減法則：
同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為
異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然后再加減。式子表示為
整式與分式加減法：可以把整式當(dāng)作一個整數(shù)，整式前面是負(fù)號，要加括號，看作是分母為1的分式，再通分。
④ 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序
先乘方、再乘除、后加減，同級運(yùn)算中，誰在前先算誰，有括號的先算括號里面的，也要注意靈活，提高解題質(zhì)量。
注意：在運(yùn)算過程中，要明確每一步變形的目的和依據(jù)，注意解題的格式要規(guī)范，不要隨便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。
加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式(或整式)。
知識點六整數(shù)指數(shù)冪
?、?引入負(fù)整數(shù)、零指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實數(shù)，并且正正整數(shù)冪的法則對對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即
科學(xué)記數(shù)法
若一個數(shù)x是0的數(shù)，則可以表示為(，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù))的形式，n的確定n=從左邊第一個0起到第一個不為0的數(shù)為止所有的0的個數(shù)的相反數(shù)。如0.000000125=
若一個數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為(，即a的整數(shù)部分只有一位，n為整數(shù))的形式，n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個數(shù)少1。如120 000 000=
知識點七分式方程的解的步驟
?、湃シ帜福逊匠虄蛇呁艘愿鞣帜傅淖詈喒帜浮?產(chǎn)生增根的過程)
?、平庹椒匠蹋玫秸椒匠痰慕?。
⑶檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：
如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數(shù)的值是原方程的增根;如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。
產(chǎn)生增根的條件是：①是得到的整式方程的解;②代入最簡公分母后值為0。
知識點八列分式方程
基本步驟
?、?審—仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。
?、?設(shè)—合理設(shè)未知數(shù)。
?、?列—根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)。
?、?解—解出方程(組)。注意檢驗
?、?答—答題。
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