浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料
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浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料(一)
二次根式
1.二次根式的定義：表示算術(shù)平方根的代數(shù)式叫做二次根式，形如a(a≥0).
2.★★★(2013和2014)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)≥0;分式有意義的條件：分母≠0. 1 例：2-x有意義的條件是2-x≥0，即x≤2有意義的條件是1-x≠0，即x≠1; 1-x
2-x 2-x≥0且1-x≠0，即x≤2且x≠1. 1-x
3.★★(2013)求含字母的二次根式的值.例：當(dāng)x=-4時(shí)，求二次根式8-2x的值.
錯(cuò)誤解法：(1)1-2x8-2×4=0;(2)1-2x=8-2×(-4)=±4. 正確解法：1-2x=8-2×(-4)=4.
注意：代入負(fù)數(shù)時(shí)一定要注意符號(hào)!
4.★★★(2013和2014)二次根式的性質(zhì)：
a(a≥0)(1)(a)=a(a≥0);(2a=| a |=; -a(a≤0)2(3)ab=a×b(a≥0，b≥0);(4) a (a≥0，b>0). b b
注意：性質(zhì)(2)中，當(dāng)平方在根號(hào)里時(shí)，開方后要加上絕對(duì)值，再根據(jù)去絕對(duì)值法則去絕對(duì)值.若無(wú)法判定絕對(duì)值里的數(shù)的符號(hào)時(shí)，應(yīng)分類討論.
例：2-2)2=2-2|=22(因?yàn)?2是負(fù)數(shù)，所以去掉絕對(duì)值后等于它的相反數(shù).)
5.★★(2014)最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：
(1)根號(hào)內(nèi)不含分母;(2)根號(hào)內(nèi)不含開得盡方的因數(shù)或因式.
例：下列式子中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是( )
A7 B C20 D. 2 2 1×2 2=0.01= 2×2 21 100 10解析：B和D的根號(hào)內(nèi)是分?jǐn)?shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，
C的被開方數(shù)20含有開得盡方的因數(shù)4204×5=5.故選A.
6.★★★(2013和2014)二次根式的運(yùn)算(考試必考，解答題21題)
例：(128 (2)(3-1)2+23-1) (3)32-8 (4)(5+3)2-(5-3)2 注意：完全平方公式和平方差公式. (a±b)2=a2±2ab+b2;(a+b)(a-b)=a2-b2.
7.1×5+2)1=5+2. -2(5-2)×(+2)
技巧：利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，分子分母同乘以一個(gè)式子，使分母可以用平方差公式計(jì)算.
8.利用題目中的隱含條件——二次根式被開方數(shù)≥0解題.
例1：已知y=2x-1+1-2x+3，則x=_______. 1 1 1 分析：根據(jù)二次根式被開方數(shù)≥0得，2x-1≥0且1-2x≥0，即浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料≤，所以x= 2 2 2
例2：(3-2x)-(2x-5)2
原式=|3-2x|-(2x-5)，要去掉|3-2x|的絕對(duì)值，必須知道3-2x的符號(hào)，由于隱含條件2x-5≥0，
5 即x≥，所以3-2x≤0，所以原式=2x-3-2x+5=2. 2
9.若32的整數(shù)部分是_______，小數(shù)部分是_______.
分析：先把32的3從根號(hào)外移到根號(hào)內(nèi)，即32=9×2=，因?yàn)?6<1825，即4<18<5，所以18是一個(gè)4點(diǎn)多的數(shù)，故2的整數(shù)部分是4;小數(shù)部分=2-整數(shù)部分=32-4.
浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料(二)
數(shù)據(jù)分析初步
1. (2014)平均數(shù)：表示平均水平，但易受極端值影響.
2. (2014)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù).表示大多數(shù)水平，但如果一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)多個(gè)眾數(shù)時(shí)，就沒(méi)有多大意義，也不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息.
3. (2014)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí),為最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).表示中等水平，但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息.
1 4. (2014)方差的計(jì)算公式：S2= x1--x)2+(x2--x)2+(x3--x)2+„+(xn--x)2] n
其中n表示數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本容量;-x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).
★★★方差表示一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小(離散程度)，方差越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定;方差越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，越穩(wěn)定.
5.標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，即S.
6.5個(gè)連續(xù)整數(shù)的方差是2.例如：-2，0，1，-1，2這5個(gè)連續(xù)整數(shù)的方差等于2;標(biāo)準(zhǔn)差2.
7.若一組數(shù)據(jù)x1， x2，„，xn的平均數(shù)為-x，方差為S2，則數(shù)據(jù)ax1+b， ax2+b，„，axn+b的平均數(shù)為a-x+b，方差為a2S2.當(dāng)一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都加上或減去同一個(gè)數(shù)時(shí)，平均數(shù)變成原平均數(shù)加上或減去這個(gè)數(shù)，方差不變;當(dāng)一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都變成原數(shù)的a倍時(shí)，平均數(shù)變成原平均數(shù)a倍，方差變成原方差的a2倍.
浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)資料(三)
一元二次方程
1.★★★(2013)一元二次方程滿足的三個(gè)條件：(1)方程兩邊都是整式(即字母不在根號(hào)里，字母不在分母上);(2)含有一個(gè)未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2次.
注意：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，要先對(duì)方程進(jìn)行整理(去括號(hào)、合并同類項(xiàng))，然后再看是否滿足上面這三個(gè)條件.
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0). ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).
3.★★★(2013和2014)解一元二次方程(考試必考，解答題22題)
(1)因式分解法;最好能掌握用十字相乘法因式分解，以提高解題速度.
(2)直接開平方法;
(3)★★★(2013和2014)配方法;當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)才可以進(jìn)行配方，配上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一
半的平方.例：用配方法解方程x2-6x+1=0，則方程可配方為_________________.
-b±b-4ac(4)公式法: x. 2a
例：(1)2(x-7)2=14 (2)x(x-2)+x-2=0 (3)x2=4x (4)x2-2x-2=0
適合用配方法和公適合用直接開適合用因式分適合用因式分 式法 平方法 解法 解法
4.★★根的判別式：△=b2-4ac
當(dāng)b2-4ac>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)b2-4ac=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)b2-4ac<0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
例：若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是___________. 分析：因?yàn)閮蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△=b2-4ac>0，即(-2)2-4(k-1)×1>0，解得k<2;又因?yàn)橐?/p>
元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)≠0，即k≠1;所以k<2且k≠1.
注意：一元二次方程求字母范圍時(shí)，不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)條件!
例：證明：不論a取何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2+mx+m-2=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
分析：要證明一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即證明b2-4ac>0.
解：b2-4ac=m2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4
因?yàn)?m-2)2≥0，所以(m-2)2+4>0，即b2-4ac>0.
注意：證明一個(gè)代數(shù)式大于0，要利用配方，根據(jù)平方的非負(fù)性證明.同時(shí)注意書寫格式!>0只能在最后出現(xiàn)，證明過(guò)程中千萬(wàn)不要出現(xiàn).
5.★一個(gè)二次三項(xiàng)式ax2+bx+c是完全平方式的條件：b2-4ac=0.特別的，若二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，滿足一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于常數(shù)項(xiàng)時(shí)，也是完全平方式;
例：若4x2+8(n+1)x+16n是關(guān)于x的完全平方式，則滿足b2-4ac=0，即[8(n+1)]2-4×4×16n=0.
b c 6.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)：x1+x2=-x1·x2 a a
例：若x=-2為一元二次方程x2-2x-m=0的一個(gè)根，則m=________，另一個(gè)根為________.
分析：把x=-2代入方程即可解得m的值.在求另一個(gè)根時(shí)，有兩種方法，一種方法是把m的值代入方程，
b 解方程即可;另一種方法是利用韋達(dá)定理x1+x2=-可知兩根之和等于2，所以另一個(gè)根為4. a
7.利用韋達(dá)定理求值時(shí)，幾種常見(jiàn)的變形(把代數(shù)式變形成由x1+x2和x1·x2組成)：
(1)x12+x22=x12+2x1x2+x22-2x1•x2=(x1+x2)2-2x1·x2(利用完全平方公式變形)
(2)x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)(利用提公因式法因式分解)
(3)(x1-x2)2=x12+x22-2x1•x2=(x1+x2)2-4x1·x2(利用完全平方公式變形)
222 x x x1+x2 (x1+x2)-2x1x2 (4)== x2 x1 x1x2 x1x2
注意：一定要理解記憶，不能死記!
8.★★若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為x1、x2，則該一元二次方程可以寫成(x-x1)(x-x2)=0，若再規(guī)定二次項(xiàng)系數(shù)為a，則該一元二次方程可以寫成a(x-x1)(x-x2)=0.
9.若2b(b≠0)是關(guān)于x的方程x2-2ax+3b=0的根，則a-b 的值為________.
分析：把2b代入方程得(2b)2-2a ·2b+3b=0，即4b2-4ab+3b=0，提取公因式b得，b(4b-4a+3)=0，
3 因?yàn)閎≠0，所以4b-4a+3=0，解得a-b 4
10. ★★★一元二次方程的應(yīng)用，掌握三類問(wèn)題.
(1)(2013和2014)變化率問(wèn)題.一般方程的形式為a(1+x)2=b，a為起始時(shí)間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時(shí)間的有關(guān)數(shù)量.解這類方程使用直接開平方法：先兩邊同除以a，再兩邊開平方即可求解.
例：學(xué)校去年年底的綠化面積為5000平方米，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7200平方米，求這兩年的年平均增長(zhǎng)率.解：設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：5000(1+x)2=7200，即(1+x)2=1.44，
開方得：1+x=1.2或1+x=-1.2，解得：x=0.2=20%，或x=-2.2(舍去).
(2)市場(chǎng)營(yíng)銷中單價(jià)、銷量、銷售額以及利潤(rùn)之間的相互關(guān)系問(wèn)題.一般設(shè)增加或降價(jià)x，然后用x表示變化后每件商品的利潤(rùn)，用x表示變化后的銷量，最后根據(jù)“變化后每件商品的利潤(rùn)×變化后的銷量=總利潤(rùn)”列出方程.
例：某商場(chǎng)以每件280元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為360元時(shí)，每月可售出60件，為了擴(kuò)大銷售，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場(chǎng)每月就可以多售出5件，要使商場(chǎng)每月銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到7200元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，則降價(jià)后每件商品的利潤(rùn)為(360-x-280)元，降價(jià)后每月的銷量為(5x+60)件;
由題意，得(360-x-280)(5x+60)=7200，解得：x1=8，x2=60∵更有利于減少庫(kù)存，∴x=60.
注意：要仔細(xì)審題，檢驗(yàn)方程的兩個(gè)根是否都符合題意，有時(shí)題目中會(huì)出現(xiàn)“要使顧客獲得最大利益”或“更有利于減少庫(kù)存”，再或者對(duì)商品的價(jià)格有具體的要求，這時(shí)應(yīng)判斷該舍去哪一個(gè)根.
(3)(2014)根據(jù)圖形中的線段長(zhǎng)度、面積之間的相互關(guān)系建立方程的問(wèn)題.
例：如圖，要利用一面墻(墻長(zhǎng)為25米)建羊圈，用100米的圍欄
圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)
AB，BC各為多少米?
解析：解：設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，則BC的長(zhǎng)度為(100-4x)米.
根據(jù)題意得 (100-4x)x=400，解得 x1=20，x2=5.
則100-4x=20或100-4x=80.∵80>25，∴x2=5舍去.即AB=20，BC=20.
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