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八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷

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八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷

  只有腳踏實(shí)地做八年級(jí)數(shù)學(xué)測(cè)試題的人,才能夠說(shuō):路,就在我的腳下。小編整理了關(guān)于八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷,希望對(duì)大家有幫助!

  八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試試題

  一、選擇題(共14小題)

  1.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若點(diǎn)P使得S△PAB=S△PCD,則滿足此條件的點(diǎn)P(  )

  A.有且只有1個(gè)

  B.有且只有2個(gè)

  C.組成∠E的角平分線

  D.組成∠E的角平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)

  2.如圖,已知在△ABC中,CD是AB邊上的高線,BE平分∠ABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,則△BCE的面積等于(  )

  A.10 B.7 C.5 D.4

  3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E,DE=1,則BC=(  )

  A. B.2 C.3 D. +2

  4.如圖,在邊長(zhǎng)為 的等邊三角形ABC中,過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為(  )

  A. B. C. D.1

  5.如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上一點(diǎn),PD⊥OA于點(diǎn)D,PD=6,則點(diǎn)P到邊OB的距離為(  )

  A.6 B.5 C.4 D.3

  6.如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),則DM的長(zhǎng)是(  )

  A.2 B. C. D.

  7.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,AC=3,BC=4,則CD的長(zhǎng)是(  )

  A.1 B. C. D.2

  8.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下列四個(gè)結(jié)論:

 ?、貽A=OD;

 ?、贏D⊥EF;

 ?、郛?dāng)∠A=90°時(shí),四邊形AEDF是正方形;

 ?、蹵E+DF=AF+DE.

  其中正確的是(  )

  A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④

  9.如圖,AD是△ABC的角平分線,則AB:AC等于(  )

  A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC

  10.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(  )

 ?、貯D是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC:S△ABC=1:3.

  A.1 B.2 C.3 D.4

  11.如圖,三角形ABC中,∠A的平分線交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F(xiàn),下面四個(gè)結(jié)論:

 ?、?ang;AFE=∠AEF;

  ②AD垂直平分EF;

 ?、?;

 ?、蹺F一定平行BC.

  其中正確的是(  )

  A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

  12.如圖,AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC長(zhǎng)是(  )

  A.3 B.4 C.6 D.5

  13.如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是(  )

  A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°

  14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,則BD的長(zhǎng)為(  )

  A. B. C. D.

  二、填空題(共13小題)

  15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分線.若AB=6,則點(diǎn)D到AB的距離是      .

  16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分線,則△ABD與△ACD的面積之比是      .

  17.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DC=3,則點(diǎn)D到AB的距離是      .

  18.如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),PE⊥AB于點(diǎn)E.若PE=3,則點(diǎn)P到AD的距離為      .

  19.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,AD=3,BC=10,則△BDC的面積是      .

  20.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,那么點(diǎn)D到BC的距離是      .

  21.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一條角平分線.若CD=3,則△ABD的面積為      .

  22.如圖,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,則∠AOQ=      °.

  23.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD=      .

  24.已知OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為點(diǎn)D、E,PD=10,則PE的長(zhǎng)度為      .

  25.如圖,BD是∠ABC的平分線,P為BD上的一點(diǎn),PE⊥BA于點(diǎn)E,PE=4cm,則點(diǎn)P到邊BC的距離為      cm.

  26.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,DE⊥AC交于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,且BC=4,DE=2,則△BCD的面積是      .

  27.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D,若AD=4,CD=2,則AB的長(zhǎng)是      .

  三、解答題(共3小題)

  28.如圖,四邊形ABCD中,AC為∠BAD的角平分線,AB=AD,E、F兩點(diǎn)分別在AB、AD上,且AE=DF.請(qǐng)完整說(shuō)明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半.

  29.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一條角平分線.點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上,且四邊形OECF是正方形.

  (1)求證:點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;

  (2)若AC=5,BC=12,求OE的長(zhǎng).

  30.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

  (1)求DE的長(zhǎng);

  (2)求△ADB的面積.

  八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段、角的軸對(duì)稱性試卷參考答案

  一、選擇題(共14小題)

  1.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若點(diǎn)P使得S△PAB=S△PCD,則滿足此條件的點(diǎn)P(  )

  A.有且只有1個(gè)

  B.有且只有2個(gè)

  C.組成∠E的角平分線

  D.組成∠E的角平分線所在的直線(E點(diǎn)除外)

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)分析,作∠E的平分線,點(diǎn)P到AB和CD的距離相等,即可得到S△PAB=S△PCD.

  【解答】解:作∠E的平分線,

  可得點(diǎn)P到AB和CD的距離相等,

  因?yàn)锳B=CD,

  所以此時(shí)點(diǎn)P滿足S△PAB=S△PCD.

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查角平分線的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)AB=CD和三角形等底作出等高即可.

  2.如圖,已知在△ABC中,CD是AB邊上的高線,BE平分∠ABC,交CD于點(diǎn)E,BC=5,DE=2,則△BCE的面積等于(  )

  A.10 B.7 C.5 D.4

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】作EF⊥BC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2,然后根據(jù)三角形面積公式求得即可.

  【解答】解:作EF⊥BC于F,

  ∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,

  ∴EF=DE=2,

  ∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5,

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及三角形的面積,作出輔助線求得三角形的高是解題的關(guān)鍵.

  3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E,DE=1,則BC=(  )

  A. B.2 C.3 D. +2

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形.

  【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得CD的長(zhǎng),然后在直角△BDE中,根據(jù)30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,即可求得BD長(zhǎng),則BC即可求得.

  【解答】解:∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,∠C=90°,

  ∴CD=DE=1,

  又∵直角△BDE中,∠B=30°,

  ∴BD=2DE=2,

  ∴BC=CD+BD=1+2=3.

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì),30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,理解性質(zhì)定理是關(guān)鍵.

  4.如圖,在邊長(zhǎng)為 的等邊三角形ABC中,過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為(  )

  A. B. C. D.1

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形,BP平分∠ABC,得到∠PBC=30°,利用PC⊥BC,所以∠PCB=90°,在Rt△PCB中, =1,即可解答.

  【解答】解:∵△ABC為等邊三角形,BP平分∠ABC,

  ∴∠PBC= =30°,

  ∵PC⊥BC,

  ∴∠PCB=90°,

  在Rt△PCB中, =1,

  ∴點(diǎn)P到邊AB所在直線的距離為1,

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用三角函數(shù)求值,解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì).

  5.如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上一點(diǎn),PD⊥OA于點(diǎn)D,PD=6,則點(diǎn)P到邊OB的距離為(  )

  A.6 B.5 C.4 D.3

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE=PD,從而得解.

  【解答】解:如圖,

  過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E,

  ∵OC是∠AOB的平分線,PD⊥OA于D,

  ∴PE=PD,

  ∵PD=6,

  ∴PE=6,

  即點(diǎn)P到OB的距離是6.

  故選:A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)單,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  6.如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),則DM的長(zhǎng)是(  )

  A.2 B. C. D.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.

  【分析】由OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,易得△OCP是等腰三角形,∠COP=30°,又由含30°角的直角三角形的性質(zhì),即可求得PE的值,繼而求得OP的長(zhǎng),然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,即可求得DM的長(zhǎng).

  【解答】解:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,

  ∴∠AOP=∠COP=30°,

  ∵CP∥OA,

  ∴∠AOP=∠CPO,

  ∴∠COP=∠CPO,

  ∴OC=CP=2,

  ∵∠PCE=∠AOB=60°,PE⊥OB,

  ∴∠CPE=30°,

  ∴CE= CP=1,

  ∴PE= = ,

  ∴OP=2PE=2 ,

  ∵PD⊥OA,點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),

  ∴DM= OP= .

  故選:C.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、含30°直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊的中線的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

  7.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,AC=3,BC=4,則CD的長(zhǎng)是(  )

  A.1 B. C. D.2

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形的面積;勾股定理.

  【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD,利用勾股定理列式求出AB,再根據(jù)△ABC的面積公式列出方程求解即可.

  【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,

  ∵∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,

  ∴DE=CD,

  由勾股定理得,AB= = =5,

  S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC,

  即 ×5•CD+ ×3•CD= ×3×4,

  解得CD= .

  故選C.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),三角形的面積,勾股定理,熟記性質(zhì)并根據(jù)三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵.

  8.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下列四個(gè)結(jié)論:

 ?、貽A=OD;

 ?、贏D⊥EF;

 ?、郛?dāng)∠A=90°時(shí),四邊形AEDF是正方形;

  ④AE+DF=AF+DE.

  其中正確的是(  )

  A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的判定.

  【專題】壓軸題.

  【分析】①如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合題意,所以①不正確.

 ?、谑紫雀鶕?jù)全等三角形的判定方法,判斷出△AED≌△AFD,AE=AF,DE=DF;然后根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出△AE0≌△AFO,即可判斷出AD⊥EF.

  ③首先判斷出當(dāng)∠A=90°時(shí),四邊形AEDF的四個(gè)角都是直角,四邊形AEDF是矩形,然后根據(jù)DE=DF,判斷出四邊形AEDF是正方形即可.

 ?、芨鶕?jù)△AED≌△AFD,判斷出AE=AF,DE=DF,即可判斷出AE+DF=AF+DE成立,據(jù)此解答即可.

  【解答】解:如果OA=OD,則四邊形AEDF是矩形,∠A=90°,不符合題意,

  ∴①不正確;

  ∵AD是△ABC的角平分線,

  ∴∠EAD∠FAD,

  在△AED和△AFD中,

  ∴△AED≌△AFD(AAS),

  ∴AE=AF,DE=DF,

  ∴AE+DF=AF+DE,

  ∴④正確;

  在△AEO和△AFO中,

  ,

  ∴△AE0≌△AF0(SAS),

  ∴EO=FO,

  又∵AE=AF,

  ∴AO是EF的中垂線,

  ∴AD⊥EF,

  ∴②正確;

  ∵當(dāng)∠A=90°時(shí),四邊形AEDF的四個(gè)角都是直角,

  ∴四邊形AEDF是矩形,

  又∵DE=DF,

  ∴四邊形AEDF是正方形,

  ∴③正確.

  綜上,可得

  正確的是:②③④.

  故選:D.

  【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用,以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用,要熟練掌握.

  (2)此題還考查了全等三角形的判定和應(yīng)用,要熟練掌握.

  (3)此題還考查了矩形、正方形的性質(zhì)和應(yīng)用,要熟練掌握.

  9.如圖,AD是△ABC的角平分線,則AB:AC等于(  )

  A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】先過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,由于BE∥AC,利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì),可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性質(zhì)可有 = ,而利用AD時(shí)角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代換即可證.

  【解答】解:如圖

  過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

  ∵BE∥AC,

  ∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,

  ∴△BDE∽△CDA,

  ∴ = ,

  又∵AD是角平分線,

  ∴∠E=∠DAC=∠BAD,

  ∴BE=AB,

  ∴ = ,

  ∴AB:AC=BD:CD.

  故選:A.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論.關(guān)鍵是作平行線.

  10.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N,再分別以M、N為圓心,大于 MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(  )

 ?、貯D是∠BAC的平分線;②∠ADC=60°;③點(diǎn)D在AB的中垂線上;④S△DAC:S△ABC=1:3.

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);作圖—基本作圖.

  【分析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的角平分線;

 ?、诶媒瞧椒志€的定義可以推知∠CAD=30°,則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求∠ADC的度數(shù);

 ?、劾玫冉菍?duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上;

 ?、芾?0度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比.

  【解答】解:①根據(jù)作圖的過(guò)程可知,AD是∠BAC的平分線.

  故①正確;

  ②如圖,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,

  ∴∠CAB=60°.

  又∵AD是∠BAC的平分線,

  ∴∠1=∠2= ∠CAB=30°,

  ∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.

  故②正確;

  ③∵∠1=∠B=30°,

  ∴AD=BD,

  ∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.

  故③正確;

  ④∵如圖,在直角△ACD中,∠2=30°,

  ∴CD= AD,

  ∴BC=CD+BD= AD+AD= AD,S△DAC= AC•CD= AC•AD.

  ∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD,

  ∴S△DAC:S△ABC= AC•AD: AC•AD=1:3.

  故④正確.

  綜上所述,正確的結(jié)論是:①②③④,共有4個(gè).

  故選D.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖﹣基本作圖.解題時(shí),需要熟悉等腰三角形的判定與性質(zhì).

  11.如圖,三角形ABC中,∠A的平分線交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F(xiàn),下面四個(gè)結(jié)論:

  ①∠AFE=∠AEF;

 ?、贏D垂直平分EF;

 ?、?;

 ?、蹺F一定平行BC.

  其中正確的是(  )

  A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).

  【分析】由三角形ABC中,∠A的平分線交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,DF⊥AB,根據(jù)角平分線的性質(zhì),可得DE=DF,∠ADE=∠ADF,又由角平分線的性質(zhì),可得AF=AE,繼而證得①∠AFE=∠AEF;又由線段垂直平分線的判定,可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面積公式求解即可得③ .

  【解答】解:①∵三角形ABC中,∠A的平分線交BC于點(diǎn)D,DE⊥AC,DF⊥AB,

  ∴∠ADE=∠ADF,DF=DE,

  ∴AF=AE,

  ∴∠AFE=∠AEF,故正確;

 ?、凇逥F=DE,AF=AE,

  ∴點(diǎn)D在EF的垂直平分線上,點(diǎn)A在EF的垂直平分線上,

  ∴AD垂直平分EF,故正確;

 ?、邸逽△BFD= BF•DF,S△CDE= CE•DE,DF=DE,

  ∴ ;故正確;

  ④∵∠EFD不一定等于∠BDF,

  ∴EF不一定平行BC.故錯(cuò)誤.

  故選A.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

  12.如圖,AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC長(zhǎng)是(  )

  A.3 B.4 C.6 D.5

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【專題】幾何圖形問(wèn)題.

  【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF,再根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.

  【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F,

  ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線,DE⊥AB,

  ∴DE=DF,

  由圖可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,

  ∴ ×4×2+ ×AC×2=7,

  解得AC=3.

  故選:A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  13.如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是(  )

  A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠BAC=70°,再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DOC=∠AOB,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出∠DCO,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可∠BDC,判斷出AD為三角形的外角平分線,然后列式計(jì)算即可求出∠DAC.

  【解答】解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,

  ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,

  故A選項(xiàng)正確,

  ∵BD平分∠ABC,

  ∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°,

  在△ABO中,

  ∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°,

  ∴∠DOC=∠AOB=85°,

  故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

  ∵CD平分∠ACE,

  ∴∠ACD= (180°﹣60°)=60°,

  ∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°,

  故C選項(xiàng)正確;

  ∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線,

  ∴AD是△ABC的外角平分線,

  ∴∠DAC= (180°﹣70°)=55°,

  故D選項(xiàng)正確.

  故選:B.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵.

  14.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,則BD的長(zhǎng)為(  )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形的面積;勾股定理.

  【專題】壓軸題.

  【分析】根據(jù)勾股定理列式求出BC,再利用三角形的面積求出點(diǎn)A到BC上的高,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等,然后利用三角形的面積求出點(diǎn)D到AB的長(zhǎng),再利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解.

  【解答】解:∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,

  ∴BC= = =5,

  ∴BC邊上的高=3×4÷5= ,

  ∵AD平分∠BAC,

  ∴點(diǎn)D到AB、AC上的距離相等,設(shè)為h,

  則S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ,

  解得h= ,

  S△ABD= ×3× = BD• ,

  解得BD= .

  故選A.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì),三角形的面積,勾股定理,利用三角形的面積分別求出相應(yīng)的高是解題的關(guān)鍵.

  二、填空題(共13小題)

  15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分線.若AB=6,則點(diǎn)D到AB的距離是   .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】求出∠ABC,求出∠DBC,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC,CD,問(wèn)題即可求出.

  【解答】解:∵∠C=90°,∠A=30°,

  ∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°,

  ∵BD是∠ABC的平分線,

  ∴∠DBC= ∠ABC=30°,

  ∴BC= AB=3,

  ∴CD=BC•tan30°=3× = ,

  ∵BD是∠ABC的平分線,

  又∵角平線上點(diǎn)到角兩邊距離相等,

  ∴點(diǎn)D到AB的距離=CD= ,

  故答案為: .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  16.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分線,則△ABD與△ACD的面積之比是 4:3 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】估計(jì)角平分線的性質(zhì),可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高相等,估計(jì)三角形的面積公式,即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比.

  【解答】解:∵AD是△ABC的角平分線,

  ∴設(shè)△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高分別為h1,h2,

  ∴h1=h2,

  ∴△ABD與△ACD的面積之比=AB:AC=4:3,

  故答案為4:3.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì),以及三角形的面積公式,熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  17.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分線,DC=3,則點(diǎn)D到AB的距離是 3 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DC即可得解.

  【解答】解:作DE⊥AB于E,

  ∵AD是∠CAB的角平分線,∠C=90°,

  ∴DE=DC,

  ∵DC=3,

  ∴DE=3,

  即點(diǎn)D到AB的距離DE=3.

  故答案為:3.

  【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

  18.如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),PE⊥AB于點(diǎn)E.若PE=3,則點(diǎn)P到AD的距離為 3 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);菱形的性質(zhì).

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】作PF⊥AD于D,如圖,根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC平分∠BAD,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PF=PE=3.

  【解答】解:作PF⊥AD于D,如圖,

  ∵四邊形ABCD為菱形,

  ∴AC平分∠BAD,

  ∵PE⊥AB,PF⊥AD,

  ∴PF=PE=3,

  即點(diǎn)P到AD的距離為3.

  故答案為:3.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了菱形的性質(zhì).

  19.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,AD=3,BC=10,則△BDC的面積是 15 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】過(guò)D作DE⊥BC于E,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE=3,根據(jù)三角形的面積求出即可.

  【解答】解:過(guò)D作DE⊥BC于E,

  ∵∠A=90°,

  ∴DA⊥AB,

  ∵BD平分∠ABC,

  ∴AD=DE=3,

  ∴△BDC的面積是 ×DE×BC= ×10×3=15,

  故答案為:15.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積的應(yīng)用,注意:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

  20.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,那么點(diǎn)D到BC的距離是 3 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);勾股定理.

  【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E,由在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,根據(jù)角平分線的性質(zhì),即可得DE=AD,又由勾股定理求得AD的長(zhǎng),繼而求得答案.

  【解答】解:過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E,

  ∵在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,

  即AD⊥BA,

  ∴DE=AD,

  ∵在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,BD=5,

  ∴AD= =3,

  ∴DE=AD=3,

  ∴點(diǎn)D到BC的距離是3.

  故答案為:3.

  【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用.此題難度不大,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意掌握輔助線的作法.

  21.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一條角平分線.若CD=3,則△ABD的面積為 15 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【專題】幾何圖形問(wèn)題.

  【分析】要求△ABD的面積,現(xiàn)有AB=10可作為三角形的底,只需求出該底上的高即可,需作DE⊥AB于E.根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE的長(zhǎng),即可求解.

  【解答】解:作DE⊥AB于E.

  ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,

  ∴DE=CD=3.

  ∴△ABD的面積為 ×3×10=15.

  故答案是:15.

  【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查角平分線的性質(zhì);熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理,是很重要的,作出并求出三角形AB邊上的高時(shí)解答本題的關(guān)鍵.

  22.如圖,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,則∠AOQ= 35 °.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷OQ是∠AOB的平分線,然后根據(jù)角平分線的定義解答即可.

  【解答】解:∵QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,QC=QD,

  ∴OQ是∠AOB的平分線,

  ∵∠AOB=70°,

  ∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°.

  故答案為:35.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的判定以及角平分線的定義,根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷OQ是∠AOB的平分線是解題的關(guān)鍵.

  23.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,CD= 3 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);勾股定理.

  【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,利用勾股定理列式求出AB,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=DE,然后根據(jù)△ABC的面積列式計(jì)算即可得解.

  【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E,

  ∵∠C=90°,AC=6,BC=8,

  ∴AB= = =10,

  ∵AD平分∠CAB,

  ∴CD=DE,

  ∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC,

  即 ×6•CD+ ×10•CD= ×6×8,

  解得CD=3.

  故答案為:3.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵.

  24.已知OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為點(diǎn)D、E,PD=10,則PE的長(zhǎng)度為 10 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PE=PD.

  【解答】解:∵OC是∠AOB的平分線,PD⊥OA,PE⊥OB,

  ∴PE=PD=10.

  故答案為:10.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,作出圖形更形象直觀.

  25.如圖,BD是∠ABC的平分線,P為BD上的一點(diǎn),PE⊥BA于點(diǎn)E,PE=4cm,則點(diǎn)P到邊BC的距離為 4 cm.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【分析】BD是∠ABC的平分線,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到點(diǎn)P到BC的距離.

  【解答】解:∵BD是∠ABC的平分線,PE⊥AB于點(diǎn)E,PE=4cm,

  ∴點(diǎn)P到BC的距離=PE=4cm.

  故答案為4.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì).由已知能夠注意到P到BC的距離即為PE長(zhǎng)是解決的關(guān)鍵.

  26.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,DE⊥AC交于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,且BC=4,DE=2,則△BCD的面積是 4 .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

  【專題】壓軸題.

  【分析】首先根據(jù)CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,可得∠DCE=∠DCF;再根據(jù)DE⊥AC,DF⊥BC,可得∠DEC=∠DFC=90°,然后根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出△CED≌△CFD,即可判斷出DF=DE;最后根據(jù)三角形的面積=底×高÷2,求出△BCD的面積是多少即可.

  【解答】解:∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D,

  ∴∠DCE=∠DCF,

  ∵DE⊥AC,DF⊥BC,

  ∴∠DEC=∠DFC=90°,

  在△DEC和△DFC中,

  (AAS)

  ∴△DEC≌△DFC,

  ∴DF=DE=2,

  ∴S△BCD=BC×DF÷2

  =4×2÷2

  =4

  答:△BCD的面積是4.

  故答案為:4.

  【點(diǎn)評(píng)】(1)此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

  (2)此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,以及三角形的面積的求法,要熟練掌握.

  27.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D,若AD=4,CD=2,則AB的長(zhǎng)是 4  .

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【專題】計(jì)算題.

  【分析】先求出∠CAD=30°,求出∠BAC=60°,∠B=30°,根據(jù)勾股定理求出AC,再求出AB=2AC,代入求出即可.

  【解答】解:∵在Rt△ACD中,∠C=90°,CD=2,AD=4,

  ∴∠CAD=30°,

  ∴由勾股定理得:AC= =2 ,

  ∵AD平分∠BAC,

  ∴∠BAC=60°,

  ∴∠B=30°,

  ∴AB=2AC=4 ,

  故答案為:4 .

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,勾股定理的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出AC長(zhǎng)和求出∠B=30°,注意:在直角三角形中,如果有一個(gè)角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

  三、解答題(共3小題)

  28.如圖,四邊形ABCD中,AC為∠BAD的角平分線,AB=AD,E、F兩點(diǎn)分別在AB、AD上,且AE=DF.請(qǐng)完整說(shuō)明為何四邊形AECF的面積為四邊形ABCD的一半.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);三角形的面積.

  【分析】分別作CG⊥AB與G,CH⊥AD與H,由AC為∠BAD的角平分線,得到CG=CH,根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到△ABC面積=△ACD面積,又由于AE=DF,得到△AEC面積=△CDF面積,于是△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積,△BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積,求出△BCE面積=△ACF面積,由四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積,四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積,得到四邊形AECF面積=△ABC面積,又由于四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積,四邊形ABCD面積=2△ABC面積,即可得到結(jié)果.

  【解答】解:分別作CG⊥AB與G,CH⊥AD與H,

  ∵AC為∠BAD的角平分線,

  ∴CG=CH,

  ∵AB=AD,

  ∴△ABC面積=△ACD面積,

  又∵AE=DF,

  ∴△AEC面積=△CDF面積,

  ∴△BCE面積=△ABC面積﹣△AEC面積,

  △BCE面積=△ACD面積﹣△CDF面積,

  ∴△BCE面積=△ACF面積,

  ∵四邊形AECF面積=△AEC面積+△ACF面積,

  四邊形AECF面積=△AEC面積+△BCE面積,

  ∴四邊形AECF面積=△ABC面積,

  又∵四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ACD面積,

  又∵四邊形ABCD面積=2△ABC面積,

  ∴四邊形AECF面積為四邊形ABCD面積的一半.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì),三角形的面積,正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

  29.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的一條角平分線.點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上,且四邊形OECF是正方形.

  (1)求證:點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;

  (2)若AC=5,BC=12,求OE的長(zhǎng).

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).

  【分析】(1)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB,由角平分線的性質(zhì)得OE=OM,由正方形的性質(zhì)得OE=OF,易得OM=OF,由角平分線的判定定理得點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;

  (2)由勾股定理得AB的長(zhǎng),利用方程思想解得結(jié)果.

  【解答】(1)證明:過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB,

  ∵BD是∠ABC的一條角平分線,

  ∴OE=OM,

  ∵四邊形OECF是正方形,

  ∴OE=OF,

  ∴OF=OM,

  ∴AO是∠BAC的角平分線,即點(diǎn)O在∠BAC的平分線上;

  (2)解:∵在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,

  ∴AB= = =13,

  設(shè)CE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,

  ∴ ,

  解得: ,

  ∴CE=2,

  ∴OE=2.

  【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì),以及角平分線定理及性質(zhì),熟練掌握正方形的性質(zhì),運(yùn)用方程思想是解本題的關(guān)鍵.

  30.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.

  (1)求DE的長(zhǎng);

  (2)求△ADB的面積.

  【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì);勾股定理.

  【分析】(1)根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE,代入求出即可;

  (2)利用勾股定理求出AB的長(zhǎng),然后計(jì)算△ADB的面積.

  【解答】解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,

  ∴CD=DE,

  ∵CD=3,

  ∴DE=3;

  (2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB= = =10,

  ∴△ADB的面積為S△ADB= AB•DE= ×10×3=15.

  【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用,注意:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

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5.八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)線段的垂直平分線訓(xùn)練題

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