遼寧2017-2018學(xué)年高三期初考試數(shù)學(xué)文理科試卷(2)
遼寧2017-2018學(xué)年高三期初考試數(shù)學(xué)理科試卷
一.選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求的.)
1. 設(shè)為虛數(shù)單位，若，則的共軛復(fù)數(shù)( )
2. 已知全集，集合，，則為( )
3. 已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則( )
4. 已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如圖所示，若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長(zhǎng)為，則該幾何體的體積是( )
5. 若實(shí)數(shù)滿足，則 的最小值( )
6. 張、王夫婦各帶一個(gè)小孩兒到上海迪士尼樂園游玩，購(gòu)票后依次入園，為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸 ，另外兩個(gè)小孩要排在一起，則這6個(gè)人的入園順序的排法種數(shù)是( )
7. 有六名同學(xué)參加演講比賽，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，比賽結(jié)果設(shè)特等獎(jiǎng)一名，四名同學(xué)對(duì)于誰(shuí)獲得特等獎(jiǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè). 說(shuō)：不是1號(hào)就是2號(hào)獲得特等獎(jiǎng);說(shuō):3號(hào)不可能獲得特等獎(jiǎng);說(shuō): 4，5，6號(hào)不可能獲得特等獎(jiǎng); 說(shuō);能獲得特等獎(jiǎng)的是4，5，6號(hào)中的一個(gè).公布的比賽結(jié)果表明，中只有一個(gè)判斷正確.根據(jù)以上信息，獲得特等獎(jiǎng)的是( )號(hào)同學(xué).
號(hào)中的一個(gè)
8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為( )
9. 已知雙曲線的兩條漸近線均與圓則該雙曲線的離心率等于( )
10. 已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為( )
11. 已知向量， ，，若，則的取值范圍是( )
12. 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，， ，則下面說(shuō)法正確的是( )
有極小值點(diǎn)，且
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題(本大題共4題，每小題5分，共20分.)
13. 已知，則 .
14. 已知點(diǎn)，，的周長(zhǎng)是，則的頂點(diǎn)的軌跡方程為 .
15. 一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 .
16.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則__________.
三、解答題 (本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
17. (本小題滿分12分)
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且
(1)求角的值;
(2)若的面積為，的周長(zhǎng)為，求邊長(zhǎng)
18.(本小題滿分12分)
全世界越來(lái)越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問(wèn)題，某市監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2016年8月1日起連續(xù)天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
空氣質(zhì)量指數(shù) 0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 空氣質(zhì)量等級(jí) 空氣優(yōu) 空氣良 輕度污染 中度污染 重度污染 天數(shù) 20 40 10 5 (1)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出的值，并完成頻率分布直方圖：
(2)由率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù);
(3)某人8月1日至8月3日在該市出差，設(shè)他遇到空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為，若把頻率近似看做概率，求的分布列及期望.
19. (本小題滿分12分)如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,
,點(diǎn)在線段上.
當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面;
當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積.
20. (本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)設(shè)點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)證明：直線與軸相交于定點(diǎn)
21. (本小題滿分12分)
已知函數(shù).
()當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
()若對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;
()求證：.
選考題(請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑)
22.(本小題滿分10分)選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值
23.(本小題滿分10分)選修：不等式選講
已知
(1)求的解集
(2)若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
——2018學(xué)年度上學(xué)期省六校協(xié)作體高三期初考試
數(shù)學(xué)(理科)答案
一.選擇題：
1～6 7～12
二、填空題13. ; 14. ;
15. ; 16..
三、解答題 17.(本小題滿分12分)，，
，，，
，，.………………………………………………6分
,,
又
，解得18.(本小題滿分12分)，，
，，
，，
，.…………3分
(2)平均數(shù) ，中位數(shù).
(3)由題一天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的概率為的所有可能取值為，，，
，，
，，
的分布列為 的期望19.(本小題滿分12分)1)以直線、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，所以.
∴………………………………………………………………………………2分
又，是平面的一個(gè)法向量.
∵ 即
∴∥平面…………………………………………………………………………4分
(2)設(shè)，則，
又
設(shè)，則，即.………6分
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則
取 得 即
又由題設(shè)，是平面的一個(gè)法向量，…………………………………8分
∴ …………………10分
即點(diǎn)為中點(diǎn)，此時(shí)，，為三棱錐的高，
∴………………………………………………12分
20.(本小題滿分12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓為直線與圓相切
解得故橢圓的方程為的斜率存在所以設(shè)直線的方程為由得，，則，
，①
直線的方程為，令得，代入上式整理得，
所以直線與軸相交于定點(diǎn)21.(本小題滿分12分)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為.…………………………4分
(2)由題，，
?、佼?dāng)時(shí)，恒成立，在內(nèi)單調(diào)遞增，，符合題意;
?、诋?dāng)時(shí)，令，解得，
?、?當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，，符合題意;
?、?當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，，不符題意;
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.………………………………………………………………8分
(3)欲證，即證，
由(2)知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等
取，則即
同理，，，…，，
以上各式相加，得，故原不等式成立.…………………………12分
22. (本小題滿分10分)選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(1)直線：，
，，，
圓的直角坐標(biāo)方程為
(2)把直線的參數(shù)方程代入得
設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，
，，(同號(hào))
.…………………………………………10分
23. (本小題滿分10分)選修：不等式選講
解，
當(dāng)時(shí)，得;
當(dāng)時(shí)，得;
當(dāng)時(shí)，得.
綜上所述：原不等式的解集為.…………………………………………4分
(2)
由題，，如圖，，且所以時(shí)等號(hào)成立，即，.由恒成立，結(jié)合圖像知，
實(shí)數(shù)的取值范圍是
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