2017年高考天津卷理數(shù)試卷和答案(2)
2017年高考天津卷理數(shù)試題解析版
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【解析】 ,選B.
【考點】 集合的運算
【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進行處理.
(A) (B)1(C) (D)3
【答案】
【考點】線性規(guī)劃
【名師點睛】線性規(guī)劃問題有三類:(1)簡單線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標函數(shù)的最值，有時考查斜率型或距離型目標函數(shù);(2)線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍;(3)線性規(guī)劃的實際應用，本題就是第三類實際應用問題.
(3)閱讀右面的程序框圖，運行相應的程序，若輸入的值為24，則輸出的值為
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】
【解析】依次為 ,，輸出 ，選C.
【考點】 程序框圖
識別算法框圖和完善算法框圖是高考的重點和熱點.解決這類問題：首先，要明確算法框圖中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu);第二，要識別運行算法框圖，理解框圖解決的問題;第三，按照的要求完成解答.框圖的考查與函數(shù)和數(shù)列等相結(jié)合.
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件
【答案】
【考點】
【名師點睛】，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件;從集合的角度看，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，若，則是的充要條件，若是的真子集，則是的充分不必要條件，若是的真子集，則是的必要不充分條件.
(5)已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為
(A) (B)(C)(D)
【答案】
【解析】由題意得 ，選B.
【考點】
【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設(shè)雙曲線(1)雙曲線過兩點可設(shè)為，(2)與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，(3)等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標準方程.
(6)已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為
(A) (B) (C) (D)
【答案】
【考點】
【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.
(7)設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則
(A)， (B)， (C)， (D)，
【答案】 中·華.資*源%庫 ziyuanku.com
【解析】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A.
【考點】函數(shù)
【名師點睛】有關(guān)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點或最低點確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點或最低點坐標滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點，如對稱軸或曲線經(jīng)過的點的坐標，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.
(8)已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是$來&源：ziyuanku.com
(A) (B) (C) (D)
【答案】
當時，(*)式為，，
又(當時取等號)，
(當時取等號)，
所以，
綜上.故選A.
【考點】不等式、恒成立問題
【名師點睛】首先滿足轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對應的的范圍.
二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
(9)已知，i為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則a的值為 .
【答案】
【解析】為實數(shù)，
則.中·華.資*源%庫 ziyuanku.com
【考點】 復數(shù)的
【名師點睛】復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.
，
當時，為虛數(shù)，
當時，為實數(shù)，
當時，為純虛數(shù).
(10)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為
.
【答案】
【考點】
【名師點睛】
(11)在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數(shù)為___________.
2
【解析】直線為 ，圓為 ，因為 ，所以有兩個交點
【考點】
【名師點睛】 把極坐標方程化為直角坐標方程，再解聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷出交點的個數(shù)，極坐標與參數(shù)方程為選修課程，要求靈活使用公式進行坐標變換及方程變換.
(12)若，，則的最小值為___________.
【考點】
【名師點睛】 ，當且僅當時取等號;(2) ， ，當且僅當時取等號;首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號成立的條件;另外有時也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.
(13)在中，，，.若，，且，則的值為___________.
【解析】 ,則
.
【考點】
【名師點睛】已知模和夾角，選作基地易于計算數(shù)量積.
(14)用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.(用數(shù)字作答)
【解析】
【考點】計數(shù)原理、排列、組合
【名師點睛】計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理(加法)和分步計數(shù)原理(乘法)，組成四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)
三. 解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，，.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
【答案】 (1) .(2)
【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，
進而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.
()由()及，得，所以，
.故.
【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.
16.(本小題滿分13分)
從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為.
(Ⅰ)設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.
【答案】 (1) (2)
試題解析：()隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，隨機變量的分布列為
0 1 2 3 隨機變量的數(shù)學期望.
()設(shè)表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為
.
所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.
【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些?當隨機變量取這些值時所對應的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望.;列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題.
(17)(本小題滿分13分)
如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2.
(Ⅰ)求證：MN平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.
(3) 或
試題解析：如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).
(Ⅰ)證明：=(0，2，0)，=(2，0，).設(shè)，為平面BDE的法向量，
則，即.不妨設(shè)，可得.又=(1，2，)，可得.
因為平面BDE，所以MN//平面BDE.
(Ⅲ)依題意，設(shè)AH=h()，則H(0，0，h)，進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.
所以，線段AH的長為或.
直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角
【名師點睛】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準，特別是借助平面的法向量求線面角，二面角或點到平面的距離都很容易.
18.(本小題滿分13分)
已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，
,，.
(Ⅰ)求和的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】
試題分析：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列首項和公差及等比數(shù)列的公比，寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項公式，利用錯位相減法求出數(shù)列的和，要求計算要準確.
(II)解設(shè)數(shù)列的前項和為，
由，，有，
故，
，
上述兩式相減，得
得.
所以，數(shù)列的前項和為.
【名師點睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和.
(19)(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.
(I)
(II)設(shè)上兩點關(guān)于軸對稱直線與橢圓相交于點異于點)，直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.
【答案】 (1)， .，或.
試題分析：由于為拋物線焦點，到拋物線的準線的距離為，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標準方程和拋物線方程;則，設(shè)直線方程為設(shè)，解出兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立解出點坐標，寫出 所在直線方程，求出點的坐標，最后根據(jù)的面積為，得出直線的方程.
試題解析：()解：設(shè)的坐標為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.
【名師點睛】圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點的坐標，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是一種思想，就是利用大熟地方法解決幾何問題，坐標化，方程化，代數(shù)化是解題的關(guān)鍵.Ziyuanku.com
(20)(本小題滿分14分)
設(shè)已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點為的導函數(shù)
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)設(shè)，函數(shù)，求證：;
(Ⅲ)求證：存在大于0的常數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，且 滿足
.
【答案】 (1)增區(qū)間是，，減區(qū)間是.
試題解析：(Ⅰ)由，可得，
進而可得.令，解得，或.
當x變化時，的變化情況如下表：
x WWW.ziyuanku.com + - + ↘ ↗ 所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.
(Ⅱ)證明：由，得，
.
令函數(shù)，則.由(Ⅰ)知，當時，，故當時，，單調(diào)遞減;當時，，單調(diào)遞增.因此，當時，，可得.
令函數(shù)，則.由(Ⅰ)知，在上單調(diào)遞增，故當時，，單調(diào)遞增;當時，，單調(diào)遞減.因此，當時，，可得.
所以，.
所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設(shè)為，則.
由(I)知在上單調(diào)遞增，故，
于是.
因為當時，，故在上單調(diào)遞增，WWW.ziyuanku.com
所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故.
又因為，，均為整數(shù)，所以是正整數(shù)，
從而.
所以.所以，只要取，就有.
【名師點睛】判斷的單調(diào)性，只需對函數(shù)求導，根據(jù)的導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間，有關(guān)函數(shù)的零點問題，先利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，了解函數(shù)的圖象的增減情況，再對極值點作出相應的要求，可控制零點的個數(shù).
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