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2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題和答案

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2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題和答案

  隨著2017高考的結(jié)束,2018的學(xué)生也進(jìn)入了高三的學(xué)習(xí),學(xué)生需要多做試卷,下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)?lái)的有關(guān)于高考數(shù)學(xué)的試題介紹,希望能夠幫助到大家。

  2017年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)試題

  一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.( )

  A. B. C. D.

  2.設(shè)集合,.若,則( )

  A. B. C. D.

  3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )

  A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

  4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為( )

  A. B. C. D.

  5.設(shè),滿(mǎn)足約束條件,則的最小值是( )

  A. B. C. D.

  6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有( )

  A.12種 B.18種 C.24種 D.36種

  7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō):你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō):我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息,則( )

  A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī)

  C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

  8.執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的,則輸出的( )

  A.2 B.3 C.4 D.5

  9.若雙曲線(xiàn)(,)的一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則的離心率為( )

  A.2 B. C. D.

  10.已知直三棱柱中,,,,則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為( )

  A. B. C. D.

  11.若是函數(shù)的極值點(diǎn),則的極小值為( )

  A. B. C. D.1

  12.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則的最小值是( )

  A. BmC. D.

  二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

  13.一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件數(shù),則 .

  14.函數(shù)()的最大值是 .

  15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則 .

  16.已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),是上一點(diǎn),的延長(zhǎng)線(xiàn)交軸于點(diǎn).若為的中點(diǎn),則 .

  三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、解答過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必做題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。

  (一)必考題:共60分。

  17.(12分)

  的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ,已知.

  (1)求

  (2)若 , 面積為2,求

  18.(12分)

  淡水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg)某頻率直方圖如下:

  設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件:舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率;

  填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):

  箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法

  根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)

  P() 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

  19.(12分)

  如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面BCD, E是PD的中點(diǎn)

  (1)證明:直線(xiàn) 平面PAB

  (2)點(diǎn)M在棱PC 上,且直線(xiàn)BM與底面ABCD所成銳角為 ,求二面角M-AB-D的余弦值

  20. (12分)

  設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:上,過(guò)M做x軸的垂線(xiàn),垂足為N,點(diǎn)P滿(mǎn)足.

  求點(diǎn)P的軌跡方程;

  設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=-3上,且.證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

  21.(12分)

  已知函數(shù)且.

  (1)求a;

  (2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且.

  (二)選考題:共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,按所做的第一題計(jì)分。

  22.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

  在直角坐標(biāo)系xy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

  (1)M為曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線(xiàn)段OM上,且滿(mǎn)足,求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程;

  (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線(xiàn)上,求面積的最大值.

  23.[選修4-5:不等式選講](10分)

  已知,證明:

  (1);

  (2).

  2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

  理科數(shù)學(xué)試題答案

  一、選擇題

  1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D

  7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

  二、填空題

  13. 1.96 14. 1 15. 16. 6

  三、解答題

  17.解:

  (1)由題設(shè)及,故

  上式兩邊平方,整理得

  解得

  (2)由,故

  又

  由余弦定理及得

  所以b=2

  18.解:

  (1)記“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” 表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”

  舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于

  故的估計(jì)值為0.62

  新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于

  故的估計(jì)值為0.66

  因此,事件A的概率估計(jì)值

  (2)

  箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66

  故有的把握產(chǎn)量養(yǎng)殖方法有關(guān).

  (3)的直方圖面積為

  ,

  箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為

  故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為

  .

  (1)中點(diǎn),連,.

  為中點(diǎn),,,由得,又

  所以.四邊形為平行四邊形, .

  又,

  (2)

  ,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則

  則,,,,

  ,

  因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°,而是底面ABCD的法向量,所以

  ,

  即(x-1)²+y²-z²=0

  又M在棱PC上,設(shè)

  由①,②得

  所以M,從而

  設(shè)是平面ABM的法向量,則

  所以可取m=(0,-,2)于是

  因此二面角M-AB-D的余弦值為

  20.解

  (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),設(shè)N(x0,0),

  由得

  因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以

  因此點(diǎn)P的軌跡方程為

  (2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則

  ,

  由得,又由(1)知,故

  3+3m-tn=0

  所以,即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ,所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

  21.解:

  (1)的定義域?yàn)?/p>

  設(shè),則等價(jià)于

  因?yàn)?/p>

  若a=1,則.當(dāng)01時(shí),>0,單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn),故

  綜上,a=1

  (2)由(1)知

  設(shè)

  當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞,在單調(diào)遞增

  又,所以在有唯一零點(diǎn)x0,在有唯一零點(diǎn)1,且當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí).

  因?yàn)?,所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)

  由

  由得

  因?yàn)閤=x0是f(x)在(0,1)的最大值點(diǎn),由得

  所以

  22.解:

  (1)設(shè)P的極坐標(biāo)為,M的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知

  由得的極坐標(biāo)方程

  因此的直角坐標(biāo)方程為

  (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知

  ,于是△OAB面積

  當(dāng)時(shí),S取得最大值

  所以△OAB面積的最大值為

  23.解:

  (1)

  (2)因?yàn)?/p>

  所以,因此a+b≤2

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