2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)試題和答案(2)
2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)試題和答案
2017年高考全國Ⅱ卷理數(shù)試題解析版
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
試題分析：由復(fù)數(shù)除法的運算法則有：，故選D。
【考點】 復(fù)數(shù)的除法
【名師點睛】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除。除法實際上是分母實數(shù)化的過程。在做復(fù)數(shù)的除法時，要注意利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1·z2=|z1|2=|z2|2，通過分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)將分母實數(shù)化。
2.設(shè)集合，。若，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )
A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞
【答案】B
4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為( )
B. C. D.
【答案】B
【解析】
試題分析：由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱的一半，其體積，該組合體的體積為：。故選B。
【考點】 三視圖;組合體的體積
【名師點睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮。求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解。
5.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有( )
A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
【答案】D
【解析】
試題分析：由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有種方法。 故選D。
【考點】 排列與組合;分步乘法計數(shù)原理
【名師點睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過程進行分步。具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。
(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配。在分組時，通常有三種類型：不均勻分組;均勻分組;部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法。
7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績。老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績。看后甲對大家說：我還是不知道我的成績。根據(jù)以上信息，則( )
A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績
【答案】D
8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
(3)按照題目的要求完成解答并驗證。
9.若雙曲線(，)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
10.已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
11.若是函數(shù)的極值點，則的極小值為( )
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】
試題分析：由題可得
因為，所以，，故
令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
所以極小值為，故選A。
【考點】 函數(shù)的極值;函數(shù)的單調(diào)性
【名師點睛】(1)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同。
(2)若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值。
12.已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則的最小是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 。
【答案】
14.函數(shù)()的最大值是 。
【答案】1
【解析】
試題分析：化簡三角函數(shù)的解析式：
，
由自變量的范圍：可得：，
當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1。
【考點】 三角變換，復(fù)合型二次函數(shù)的最值。
【名師點睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：開口方向;對稱軸位置;判別式;端點函數(shù)值符號四個方面分析。
15.等差數(shù)列的前項和為，，，則 。
【答案】
【解析】
試題分析：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
由題意有： ，解得 ，
數(shù)列的前n項和,
裂項有：，據(jù)此：
。
【考點】 等差數(shù)列前n項和公式;裂項求和。
【名師點睛】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的
16.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則 。
【答案】6
【考點】拋物線的定義;梯形中位線在解析幾何中的應(yīng)用。
【名師點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化。如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題。因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化。
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
(一)必考題：共60分。
17.(12分)
的內(nèi)角所對的邊分別為，已知，
(1)求;
(2)若，的面積為，求。
【答案】(1);
(2)。
18.(12分)
海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)某頻率分布直方圖如下：
設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率;
填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：
箱產(chǎn)量<50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法
根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)
附：
【答案】(1);
(2) 有的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);
(3)。
(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66
由于，故有的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。
19.(12分)
如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點。
(1)證明：直線 平面PAB;
(2)點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值。
【答案】(1)證明略;
(2) 。
(2)由已知得,以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，,，
設(shè)則，
因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，
【考點】 判定線面平行;面面角的向量求法
【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算。
(2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補或相等，故有|cos θ|=|cos|=。求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
20. (12分)
設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。
求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。
【答案】(1) 。
(2)證明略。
(2)由題意知。設(shè),則
，
。
由得，又由(1)知，故
。
所以，即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F。
【考點】 軌跡方程的求解;直線過定點問題。
【名師點睛】求軌跡方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系F(x，y)=0。
(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程。
(3)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程。
(4)代入(相關(guān)點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程。
21.(12分)
已知函數(shù)，且。
(1)求;
(2)證明：存在唯一的極大值點，且。
【答案】(1);
(2)證明略。
(2)由(1)知 ，。
設(shè)，則。
當(dāng) 時， ;當(dāng) 時， ，
所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增。
(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分。
22。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。
(1)M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程;
(2)設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值。
【答案】(1);
(2) 。
【考點】 圓的極坐標方程與直角坐標方程;三角形面積的最值。
【名師點睛】本題考查了極坐標方程的求法及應(yīng)用。重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解。要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程。
23.[選修4-5：不等式選講](10分)
已知。證明：
(1);
(2)。
【答案】(1)證明略;
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