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高一數(shù)學必修1各章知識點總結(2)

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高一數(shù)學必修1各章知識點總結

  高一數(shù)學必修一函數(shù)知識點

  二.函數(shù)的性質

  1.函數(shù)的單調性(局部性質)

  (1)增函數(shù)

  設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調增區(qū)間.

  如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2 時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.

  注意:函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質;

  (2) 圖象的特點

  如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性,在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

  (3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

  (A) 定義法:

  1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

  2 作差f(x1)-f(x2);

  3 變形(通常是因式分解和配方);

  4 定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

  5 下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

  (B)圖象法(從圖象上看升降)

  (C)復合函數(shù)的單調性

  復合函數(shù)f[g(x)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規(guī)律:“同增異減”

  注意:函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

  8.函數(shù)的奇偶性(整體性質)

  (1)偶函數(shù)

  一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

  (2).奇函數(shù)

  一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

  (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

  偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

  利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

  1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關于原點對稱;

  2確定f(-x)與f(x)的關系;

  3作出相應結論:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數(shù).

  注意:函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定 .

  9、函數(shù)的解析表達式

  (1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

  (2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:

  1) 湊配法

  2) 待定系數(shù)法

  3) 換元法

  4) 消參法

  10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

  1 利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

  2 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

  3 利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值:

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調遞增,在區(qū)間[b,c]上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調遞減,在區(qū)間[b,c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

  例題:

  1.求下列函數(shù)的定義域:

  ⑴ ⑵

  2.設函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為_ _

  3.若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域是

  4.函數(shù) ,若,則=

  5.求下列函數(shù)的值域:

 ?、?⑵

  (3) (4)

  6.已知函數(shù),求函數(shù),的解析式

  7.已知函數(shù)滿足,則= 。

  8.設是R上的奇函數(shù),且當時,,則當時=

  在R上的解析式為

  9.求下列函數(shù)的單調區(qū)間:

 ?、?⑵ ⑶

  10.判斷函數(shù)的單調性并證明你的結論.

  11.設函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證:.

  第二章 基本初等函數(shù)

  一、指數(shù)函數(shù)

  (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.

  u 負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

  當是奇數(shù)時,,當是偶數(shù)時,

  2.分數(shù)指數(shù)冪

  正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定: , u 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

  3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質

  (1)·;

  (2);

  (3).

  (二)指數(shù)函數(shù)及其性質

  1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

  注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

  2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質

  注意:利用函數(shù)的單調性,結合圖象還可以看出:

  (1)在[a,b]上,值域是或;

  (2)若,則;取遍所有正數(shù)當且僅當;

  (3)對于指數(shù)函數(shù),總有;

  二、對數(shù)函數(shù)

  (一)對數(shù)

  1.對數(shù)的概念:一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作:(— 底數(shù),— 真數(shù),— 對數(shù)式)

  說明:1 注意底數(shù)的限制,且;

  2 ;

  3 注意對數(shù)的書寫格式.

  兩個重要對數(shù):

  1 常用對數(shù):以10為底的對數(shù);

  2 自然對數(shù):以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).

  u 指數(shù)式與對數(shù)式的互化

  冪值 真數(shù)

  = N= b

  底數(shù)

  指數(shù) 對數(shù)

  (二)對數(shù)的運算性質

  如果,且,,,那么:

  1 ·+;

  2 -;

  3 .

  注意:換底公式

  (,且;,且;).

  利用換底公式推導下面的結論

  (1);(2).

  (二)對數(shù)函數(shù)

  1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).

  注意:1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:, 都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

  2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:,且.

  2、對數(shù)函數(shù)的性質:

  (三)冪函數(shù)

  1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).

  2、冪函數(shù)性質歸納.

  (1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);

  (2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當時,冪函數(shù)的圖象下凸;當時,冪函數(shù)的圖象上凸;

  (3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內,當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

  例題:

  1. 已知a>0,a0,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是       (  )

  2.計算: ① ;②= ;= ;

 ?、?=

  3.函數(shù)y=log(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為

  4.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍,則a=

  5.已知,(1)求的定義域(2)求使的的取值范圍

  第三章 函數(shù)的應用

  一、方程的根與函數(shù)的零點

  1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。

  即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

  3、函數(shù)零點的求法:

  1 (代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

  2 (幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質找出零點.

  4、二次函數(shù)的零點:

  二次函數(shù).

  (1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.

  (2)△=0,方程有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

  (3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.

  5.函數(shù)的模型


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