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高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項和知識點分析

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高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項和知識點分析

  高中數(shù)學(xué)的等比數(shù)列是考試的重點的內(nèi)容,學(xué)生在學(xué)習(xí)的是會要多花費一些的功夫,下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家?guī)淼挠嘘P(guān)于高一數(shù)學(xué)關(guān)于等比數(shù)列的知識點的介紹,希望能夠幫助到大家。

  高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列的前n項和知識點

  一個推導(dǎo)

  利用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和:

  Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

  同乘q得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,

  兩式相減得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=(q≠1).

  兩個防范

  (1)由an+1=qan,q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列,還要驗證a1≠0.

  (2)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤.

  三種方法

  等比數(shù)列的判斷方法有:

  (1)定義法:若an+1/an=q(q為非零常數(shù))或an/an-1=q(q為非零常數(shù)且n≥2且n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.

  (2)中項公式法:在數(shù)列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

  (3)通項公式法:若數(shù)列通項公式可寫成an=c·qn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.

  注:前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列.

  高一數(shù)學(xué)等比中項必考知識點

  1)數(shù)列本身的有關(guān)知識,其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式。

  (2)數(shù)列與其它知識的結(jié)合,其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。

  (3)數(shù)列的應(yīng)用問題,其中主要是以增長率問題為主。

  試題的難度有三個層次,小題多以基礎(chǔ)題為主,解答題多以基礎(chǔ)題和中檔題為主,只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題,難度較大。

  (1)函數(shù)的思想方法

  數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù),而且是離散的函數(shù),因此在解題過程中,尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時,可以將它們看成一個函數(shù),進而運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題。

  (2)方程的思想方法

  數(shù)列這一章涉及了多個關(guān)于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第n項和前n項和這些量的數(shù)學(xué)公式,而公式本身就是一個等式,因此,在求這些數(shù)學(xué)量的過程中,可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù),通過公式建立關(guān)于求未知量的方程,可以使解題變得清晰、明了,而且簡化了解題過程。

  高一數(shù)學(xué)概率練習(xí)附答案解析

  一、選擇題:本大題共10小題,共50分.

  1.編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意坐入編號為1,2,3的三個座位,每位學(xué)生坐一個座位,則三位學(xué)生所坐的座位號與學(xué)生的編號恰好都不同的概率是(  )

  A.23    B.13    C.16    D.56

  解析:編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意坐入編號為1,2,3的三個座位時,1號學(xué)生有3種坐法,2號學(xué)生有2種坐法,3號學(xué)生只 有1種坐法,所以一共有6種坐法,其中座位號與學(xué)生的編號恰好都不同的坐法只有2種,所以所求的概率P=26=13.

  答案:B

  2.小明同學(xué)的QQ密碼是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)字中不同的6個數(shù)字組成的六位數(shù)碼,由于長時間未登錄QQ,小明忘記了密碼的最后一個數(shù)字,如果小明登錄QQ時密碼的最后一個數(shù)字隨意選取,則恰好能登錄的概率是(  )

  A.1105 B.1104

  C.1100 D.110

  解析:從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一個數(shù)字有10個基本事件,恰巧是密碼最后一位數(shù)字有1個基本事件,則恰好能登錄的概率為110.

  答案:D

  3. 已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點,則點P到四個頂點的距離均大于2的概率是(  )

  A.π4 B.1-π4

  C.14 D.π3

  解析:如圖所示,邊長為4的正方形ABCD,分別以A、B、C、D為圓心,都以2為半 徑畫弧截正方形ABCD后剩余部分是陰影部分.

  則陰影部分的面積是42-4×14×π×22=16-4π,

  所以所求概率是16-4π16=1-π4.

  答案:B

  4.(2013•江西卷)集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各任意取一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是(  )

  A.23 B .12

  C.13 D.16

  解析:從A,B中各任意取一個數(shù),對應(yīng)的基本事件有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6種,而這兩個數(shù)之和等于4的基本事件有:(2,2),(3,1),共2種,故所求的概率為P=26=13.

  答案:C

  5.從甲、乙、丙三人中,任選兩名代表,甲被選中的概率為(  )

  A.12 B.13

  C.14 D.23

  解析:甲、乙、丙三人中任選兩名代表有如下三種情況:(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙),其中甲被選中包含兩種,因此所求概率為P=23.

  答案:D

  6.(2013•安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為(  )

  A.23 B.25

  C.35 D.910

  解析:從甲、乙、丙、丁、戊5人中錄 用3人的所有事件為:甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、乙丙丁、乙丙戊、丙丁戊、乙丁戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊,共10種,其中甲或乙被錄用包含9個基本事件,故甲或乙被錄用的概率為910.故選D.

  答案:D

  7.若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m, n,則點P(m,n)在直線x+y=4上的概率是(  )

  A.13 B.14

  C.16 D.112

  解析:由題意知(m,n)的取值情況有(1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6),共36種情況.而滿足點P(m,n)在直線x+y=4上的取值情況有(1,3),(2,2),(3,1),共3種情況,故所求概率為336=112.

  答案:D

  8.在面積為S的△ABC的邊AC上任取一點P,則△PBC的面積大于S4的概率是(  )

  A.13 B.12

  C.34 D.14

  解析:如圖,在△ABC中,點F是AC邊的四等分點,設(shè)△ABC的高為AD,△FBC的高為FE,則FE=14AD,

  ∴S△FBC=14S△ABC=S4,要使△PBC的面積大于S4,則點P需在線段FA上選取,故P=FACA=34.

  答案:C

  9.(2013•湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為12,則ADAB=(  )

  A.12 B.14

  C.32 D.74

  解析:不妨設(shè)AB=1,AD=x,則ADAB=x,由圖形的對稱性和題意知,點P應(yīng)在EF之間,EF=12.DE=CF=14,當點P在E點時,BP最大為 x2+916,所以x2+916=1,∴x=74.

  答案:D

  10.(2013•陜西卷)對一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進行抽樣檢測,下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標準,產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品,在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品,在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三 等品.用頻率估計概率,現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件,則其為二等品的概率是(  )

  A.0.09 B.0.20

  C.0.25 D.0.45

  解析:利用統(tǒng)計圖表可知在區(qū)間[25,30)上的頻率為1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5=0.25,在區(qū)間[15,20)上的頻率為0.04×5=0.2,故所求二等品的概率為0.45.

  答案:D

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  第Ⅱ卷(非選擇題,共70分)

  二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.

  11.(2013•湖北卷)在區(qū)間[-2,4]上隨機地取一個數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為56,則m=__________.

  解析:因為x滿足|x|≤m的概率為56,所以由幾何概型得,當-m≤-2,即m≥2時,m--24--2=56, 解得m=3;當-m>-2,即0≤m<2時,m--m4--2=56,解得m=52,不符合0≤m<2應(yīng)舍去.故m=3.

  答案:3

  12.(2013•重慶卷)若甲、乙、丙三人隨機地站成一排,則甲、乙兩人相鄰而站的概率為__________.

  解析: 三人站成一排有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共6種不同的排法 ,其中甲乙相鄰有4種排法,所以甲、乙相鄰而站的概率為46=23.

  答案:23

  13.(2013•新課標全國卷Ⅱ)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù),其和為5的概率是__________.

  解析:從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)的基本事件總數(shù)為10,其和為5有兩個基本事件,所以其概率為0.2.

  答案:0.2

  14.(2013•福建卷)利用計算機產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a-1<0”發(fā)生的概率為__________.

  解析:設(shè)事件A:“3a-1<0”,則a∈0,13,所以P (A)=13-01=13.

  答案:13

  三、解答題:本大題共4小題,滿分50分.

  15.(12分)(2013•遼寧卷)現(xiàn)有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學(xué)從中任取2道題解答.試求:

  (1)所取的2道題都是甲類題的概率;

  (2)所取的2道題不是同一類題的概率.

  解:(1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4;2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題,基本事件為:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15個,而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

  用A表示“都是甲類題”這一事件,則A包含的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6個,所以P(A)=615=25.(6分)

  (2)基本事件同(1),用B表示“不是同一類題”這一事件,則B包含的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8個,所以P(B)=815.(12分)

  16.(12分)(2013•新課標全國卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.

  (1)將T表示為X的函數(shù);

  ( 2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率.

  解:(1)當X∈[100,130)時,

  T=500X-300(130-X)

  =800X-39 000.

  當X∈[130,150]時,

  T=500×130=65 000.

  所以T=800X-39 000,100≤X<130,65 000,130≤X≤150.(6分)

  (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150.

  由直方圖知需求量X∈[120,15 0]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(12分)

  17.(12分)(2013•湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的藥物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示:

  X 1 2 3 4

  Y 51 48 45 42

  這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.

  (1)完成下表,并求所種作物的平均年收獲量;

  Y 51 48 45 42

  頻數(shù) 4

  (2)在所種作物中隨機選取一株, 求它的年收獲量至少為48 kg的概率.解:(1)所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株,“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株,“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株,“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株.列表如下:

  Y 51 48 45 42

  頻數(shù) 2 4 6 3

  所種作物的平均年收獲量為

  51×2+48×4+45×6+42×315=

  102+192+270+12615=69015=46.(6分)

  (2)由(1)知,P(Y=51)=215,P(Y=48)=415.

  故在所種作物中隨機選取一株,它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=215+415=25.(12分)

  18.(14分)(2013•廣東卷)從一批蘋果中,隨機抽取50個,其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:

  分組(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)

  頻數(shù)(個) 5 10 20 15

  (1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在[90,95)的頻率;

  (2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個,其中重量在[80,85)的有幾個?

  (3)在(2)中抽出的4個蘋果中,任取2個,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個的概率.

  解:(1)蘋果重量在[90,95)的頻率為2050=25=0.4;(4分)

  (2)重量在[80,85)的蘋果有55+15×4=1個;(8分)

  (3)在(2)中抽出的4個蘋果中,有1個重量在[80,85)中,3個在[95,100)中.設(shè)“在[80,85)和[95,100)中各有1個蘋果”為事件A,則P(A)=36=12.

  故重量在[80,85)和[95,100)中各有1個蘋果的概率為12.(14分)


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