高一數(shù)學(xué)下期末考試題帶答案
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高一數(shù)學(xué)下期末考試題帶答案
一、選擇題(每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把符合要求的選項(xiàng)選出來(lái)。)
1、二進(jìn)制數(shù) 化為十進(jìn)制數(shù)為( )
A. B. C. D.
2、現(xiàn)從編號(hào)為 的 臺(tái)機(jī)器中，用系統(tǒng)抽樣法抽取 臺(tái)，測(cè)試其性能，則抽出的編號(hào)可能為( )
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
3、不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
4、在 中， ，那么 等于( )
A. B. C. D.
5、執(zhí)行如圖1所示的程序框圖,若輸入 的值為3,則輸出 的值是( )
A.1 B.2 C.4 D.7
6、在區(qū)間 上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) ,則事件“ ”發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
7、下列說(shuō)法正確的是 ( )
A.已知購(gòu)買一張彩票中獎(jiǎng)的概率為 ，則購(gòu)買 張這種彩票一定能中獎(jiǎng);
B.互斥事件一定是對(duì)立事件;
C.如圖，直線 是變量 和 的線性回歸方程，則變量 和 相關(guān)系數(shù)在 到 之間;
D.若樣本 的方差是 ，則 的方差是 。
8、某超市連鎖店統(tǒng)計(jì)了城市甲、乙的各 臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)在中午 至 間的銷售金額，并用莖葉圖表示如圖.則有( )
A.甲城銷售額多，乙城不夠穩(wěn)定 B.甲城銷售額多，乙城穩(wěn)定
C.乙城銷售額多，甲城穩(wěn)定 D.乙城銷售額多，甲城不夠穩(wěn)定
9、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若 ， ，則 ( )
A. 12 B.18 C. 24 D.42
10、設(shè)變量 滿足 則目標(biāo)函數(shù) 的最小值為( )
A. B. 2 C. 4 D.
11、若函數(shù) 在 處取最小值，則 ( ).
A. B. C. D.
12、在數(shù)列 中， ， ，則 =( )
A. B. C. D.
高 一 數(shù) 學(xué)
卷Ⅱ(解答題，共70分)
題號(hào) 二 三 Ⅱ卷
總分
13-16 17 18 19 20 21 22
得分
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。)
13、已知數(shù)列 中， ， ( )，則數(shù)列 的前9項(xiàng)和等于 .
14、若函數(shù) 的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是________.
15、讀右側(cè)程序，此程序表示的函數(shù)為
16、若對(duì)任意 ， 恒成立，則 的取值范圍是 .
三、解答題(本題有6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。)
17、(本題滿分10分)如圖，為測(cè)量山高 ，選擇 和另一座山的山頂 為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從 點(diǎn)測(cè)得 點(diǎn)的仰角 ， 點(diǎn)的仰角 以及 ;從 點(diǎn)測(cè)得 .已知山高 ，則山高 是多少米?
18、(本題滿分12分)為了解某單位員工的月工資水平，從該單位500位員工中隨機(jī)抽取了50位進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：
月工資
(單位：百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)
男員工數(shù) 1 8 10 6 4 4
女員工數(shù) 4 2 5 4 1 1
(1) 試由上圖估計(jì)該單位員工月平均工資;
(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從月工資在 和 的兩組所調(diào)查的男員工中隨機(jī)選取5人，問(wèn)各應(yīng)抽取多少人?
(3)若從月工資在 和 兩組所調(diào)查的女員工中隨機(jī)選取2人，試求這2人月工資差不超過(guò)1000元的概率.
19、(本題滿分12分)等比數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和.
20、(本題滿分12分)“奶茶妹妹”對(duì)某時(shí)間段的奶茶銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出售價(jià) 元和銷售量 杯之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
價(jià)格
5 5.5 6.5 7
銷售量
12 10 6 4
通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)銷售量 對(duì)奶茶的價(jià)格 具有線性相關(guān)關(guān)系.
(Ⅰ)求銷售量 對(duì)奶茶的價(jià)格 的回歸直線方程;
(Ⅱ)欲使銷售量為 杯，則價(jià)格應(yīng)定為多少?
附：線性回歸方程為 ，其中 ，
21、(本題滿分12分) 的三個(gè)角 的對(duì)邊分別為 滿足 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求 面積的最大值.
22、(本題滿分12分)在數(shù)列 中，
(I)求證數(shù)列 是等比數(shù)列;
(II)設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
試題答案
一、選擇題 ADBCC ACDCB CA
二、填空題 13、27; 14、
15、 16、
三、解答題
17、(本題滿分10分)
解：根據(jù)題圖，AC=1002 m.
在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得ACsin 45°=AMsin 60°⇒AM=1003 m.
…………6分
在△AMN中，MNAM=sin 60°，
∴MN=1003×32=150(m).…………10分
18、(本題滿分12分)
(1)
即該單位員工月平均工資估計(jì)為4300元.…………………………………………4分
(2)分別抽取3人，2人 …………………………………6分
(3)由上表可知：月工資在 組的有兩名女工，分別記作甲和乙;月工資在 組的有四名女工，分別記作A,B,C,D.現(xiàn)在從這6人中隨機(jī)選取2人的基本事件有如下15組：
(甲，乙)，(甲，A)，(甲，B)，(甲，C)，(甲，D)，
(乙，A)，(乙，B)，(乙，C)，(乙，D)，
(A，B)，(A，C)，(A，D)，
(B，C)，(B，D)，
(C，D)
其中月工資差不超過(guò)1000元，即為同一組的有(甲，乙)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共7組，
∴所求概率為 ……………………………………………………………………12分
19、(本題滿分12分)
(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由a23=9a2a6得a23=9a24，所以q2=19.
由條件可知q>0，故q=13.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，得a1=13.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=13n. …………6分
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)=-nn+12.
故1bn=-2nn+1=-2(1n-1n+1)，
1b1+1b2+…+1bn=-2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=-2nn+1.
所以數(shù)列{1bn}的前n項(xiàng)和為-2nn+1. …………12分
20、(本題滿分12分)
解:(1)(Ⅰ) = =6， = =8. …………2分
=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182， …………3分
=52+5.52+6.52+72=146.5， …………4分
= =﹣4， =8+4×6=32. …………6分
∴銷售量y對(duì)奶茶的價(jià)格x的回歸直線方程為 =﹣4x+32. …………8分
(Ⅱ)令﹣4x+32=13，解得x=4.75.
答：商品的價(jià)格定為4.75元. …………12分
21、(本題滿分12分)
解：(1)由余弦定理得：
2bcos A=c•b2+c2-a22bc+a•a2+b2-c22ab=b，
∴cos A=12，由0
(2)∵a=2，由余弦定理得：
4=b2+c2-2bccos π3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc.
∴bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，
∴S△ABC=12bcsin A=12bc•32≤34•4=3.
即當(dāng)b=c=a=2時(shí)，△ABC面積的最大值為3. …………12分
22、(本題滿分12分)
解：(I)由 得 ，
所以 是公比為2的等比數(shù)列。 …………4分
(II)由(I)知，數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公比為2，
， …………6分
所以
兩式相減，得
所以 …………12分
高一數(shù)學(xué)下期末聯(lián)考試題閱讀
第I卷 選擇題(共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 從學(xué)號(hào)為0～50的高一某班50名學(xué)生中隨機(jī)選取5名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)試,采用系統(tǒng)抽樣的方法,則所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)可能是( )
A. 1, 2, 3, 4, 5 B. 2, 4, 6, 8, 10 C. 4, 14, 24, 34, 44 D. 5, 16, 27, 38, 49
2.228與1995的最大公約數(shù)是( )
A.57 B.59 C.63 D.67
3.已知 為角 的終邊上的一點(diǎn) ，且 ，則 的值為
A. B. C. D.
4.我校高中生 共有2700人，其中高一年級(jí)900人 ，高二年級(jí)1200人，高三年級(jí)600人，現(xiàn)采取分層抽樣法抽取容量為135的樣本，那么高一、高二、高三各年級(jí)抽取的人數(shù)分別為( )
A.45，75，15 B.45，45，45 C.30，90，15 D.45 ，60，30
5.將二進(jìn)制數(shù) 轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為( )
A.51 B.52 C.53 D.54
6.拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時(shí)向上的數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“落地時(shí)向上的數(shù)是偶數(shù)”，事件C 為“落地時(shí)向上的數(shù)是2的倍數(shù)”，事件D為“落地時(shí)向上的數(shù)是4的倍數(shù)”，則下列每對(duì)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是( )
A. A與B B. B與C C.A與 D D.B與D
7.函數(shù) 的部分圖象如圖 所示，若 ，且 ，則 ( )
A. B. C. D.
8. 已知程序框圖如右圖，如果輸入三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，
要求輸出這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，
應(yīng)該填入 ( ).
A. B. C. D.
9.一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去80，得一組新數(shù)據(jù)，若求
得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)
和方差分別是 ( )
A. 81.2, 84.4 B. 78.8 , 4.4
C. 81.2, 4.4 D. 78.8, 75.6
10.已知關(guān)于 的一元二次方程 ，若 是
從區(qū)間任取一個(gè)數(shù)， 是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，
則上述方程有實(shí)根的概率為( )
A. B. C. D.
11.有兩個(gè)質(zhì)地均勻、大小相同的正四面 體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4.把兩個(gè)玩具各拋擲一次，向下的面的數(shù)字之和能被5整除的概率為 ( )
A.116 B.14 C.38 D.12
12.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P為AB邊上的點(diǎn)且 ，若 ，則λ的取值范圍是( )
A.[ ，1] B.[ ， 1 ] C.[ ， ] D.[ ， ]
第II卷 非選擇題(共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上.
13.在如圖所示的莖葉圖中，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)
的和是______________
14.已知 ，其中 為第三象限角，
則 ______.
15.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式 在 時(shí)的值時(shí), 的值為 _________________.
16.給出下列命題：① 存在實(shí)數(shù) ，使 ;②若 是第一象限角，且 ，則 ;③函數(shù) 是奇函數(shù);④函數(shù) 的周期是 ;⑤函數(shù) 的圖象與函數(shù) ( )的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于6.
其中正確命題的序號(hào)是 (把正確命題的序號(hào)都填上)
三、解答題(本小題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)
已知 是方程 的兩根，且 .
(1)求 的值; (2)求 的值.
18.(本小題滿分12分)
已知函數(shù) 的最大值是 ，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) .
(1)求 的解析式;
(2)已 知 ， ，且 ， ，求 的值.
19. (本小題滿分12分)
某校從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六組后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
(Ⅰ)求成績(jī)落在的學(xué)生中任選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.
20.(本小題滿分12分)
某種產(chǎn)品在五個(gè)年度的廣告費(fèi)用支 出 萬(wàn)元與銷售額 萬(wàn)元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
2 4 5 6 8
20 35 50 55 80
(I)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出 關(guān)于 的線性回歸方程;
(II)據(jù)此模型估計(jì)某年度產(chǎn)品的銷售額欲達(dá)到108萬(wàn)元，那么本年度收入的廣告費(fèi)約為多少萬(wàn)元?(回歸方程為 其中： )
21.(本小題滿分12分)
某校高一(1)班有男同學(xué)45名，女同學(xué)15名，老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個(gè)課外興趣小組.
(I)求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù);
(II)經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是從小組里選出一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)做完后，再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的同學(xué)中選出一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率;
(III)在(II)的條件下，第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)A得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為38,40,41,42,44，第 二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)B得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為39,40,40,42,44，請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定?并說(shuō)明理由.
22.(本小題滿分12分)
如圖，已知OPQ是半徑為 ，圓心角為 的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記 ，求當(dāng)角 取何值時(shí) ，矩形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大面積.
參考答案
一. 選擇題
1. C 2. A 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. D 9. C 10. A 11. B 12. B
二.填空題 13. 64 14. 15. 16. ⑤
三、解答題 17.答案：( 1). 是方程 的兩根，
.
……………5分
(2). ， ，且 ， ………………………10分
18. 解：(1)依題意有 …………………………1分
則 ，將點(diǎn) 代入得 ，………3分
而 ， ， ，
故 ……………………………………………6分
(2)依題意有 ，而 ，…………………8分
，…………………10分
…………12分
19. 解(Ⅰ)成績(jī)落在的學(xué)生中任選兩人，他們的成績(jī)?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段”， 表示“所選兩人成績(jī)落在內(nèi)”，則 和 是互斥事件，且
, 從而 ,
因?yàn)?中的基本事件個(gè)數(shù)為15， 中的基本事件個(gè)數(shù)為3，全部基本事件總 數(shù)為36，
所以 所求的概率為 ……………………………12分
20解：(Ⅰ) ……………………………………………2分
，……………………………………6分 ，
故 關(guān)于 的線性 回歸方程為： ……8分
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，代入回歸直線方程得 ，
故本年度投入的廣告費(fèi)用約為11萬(wàn)元.……………………………12分
21.解：(Ⅰ)設(shè)課外興趣小組中有 名男同學(xué)，
則 解得 =3，
所以男同學(xué)的人數(shù)為3、女同學(xué)的人數(shù)分別為1. ……………3分
(Ⅱ)把三名男同學(xué)和一名女同學(xué)分別記為 則選取兩名同學(xué)先后做實(shí)驗(yàn)的基本事件有：
共12種， …………………5分
其中有一名女同學(xué)的情況有6種， …………………6分
所以選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率為 …………8分
(Ⅲ)由題知， ……9分
，
……………11分
故同學(xué)B的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定. …………………………12分
22解：如圖，在 中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中， =tan60°= ，所以O(shè)A= DA= BC= sinα.
所以AB=OB﹣OA=cosα- sinα.………………4分
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則
S=AB•B C=(cosα- sinα)sinα
=sinαcosα - sin2α
= sin2α+ cos2α﹣
= ( sin2α+ cos2α)﹣
= sin(2α+ )- .……………………… ………8分
由于0<α< ，所以當(dāng)2α+ = ，
即 α= 時(shí)， = ﹣ = .
因此，當(dāng)α= 時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為 .………………12分
有關(guān)于高一數(shù)學(xué)下期末試題
一.選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的.)
1. 已知 且 ，下列不等式中成立的一個(gè)是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由不等式的性質(zhì)結(jié)合題意：
∵c
∴−c>−d，且a>b，
相加可得a−c>b−d，
故選：B
2. 已知向量 ，向量 ，且 ，那么 等于( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】C
【解析】由向量平行的充要條件有： ，解得： .
本題選擇C選項(xiàng).
3. 在 中， ，則A為( )
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】由正弦定理： 可得： ，
則A為 或 .
本題選擇A選項(xiàng).
點(diǎn)睛：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.
4. 下列結(jié)論正確的是( )
A. 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐;
B. 一平面截一棱錐得到一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái);
C. 棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐;
D. 圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線
【答案】D...
【解析】A、如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐，故A錯(cuò)誤;
B、一平行于底面的平面截一棱錐才能得到一個(gè)棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，因此B錯(cuò)誤;
C、若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形.由過(guò)中心和定點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤;
D、根據(jù)圓錐母線的定義知，D正確.
本題選擇D選項(xiàng).
5. 某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的體積為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知，該幾何體是在棱長(zhǎng)分別為 的長(zhǎng)方體中的三棱錐 ，
且： ，該四面體的體積為 .
本題選擇A選項(xiàng).
點(diǎn)睛：三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫(huà)法.正方體與球各自的三視圖相同，但圓錐的不同.
6. 已知 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得：
據(jù)此有： .
本題選擇B選項(xiàng).
7. 設(shè) 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， ，則 ( )
A. 2 B. -2 C. 8 D. -8
【答案】C
【解析】由題意有： ，即： ，
公比為負(fù)數(shù)，則 .
本題選擇A選項(xiàng).
8. 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，已知 ，則 ( )
A. B. C. 2 D. 3...
【答案】D
【解析】由余弦定理： ，即： ，
整理可得： ,三角形的邊長(zhǎng)為正數(shù)，則： .
本題選擇D選項(xiàng).
9. 不等式 的解集為 ，則不等式 的解集為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵不等式ax2+bx+2>0的解集為{x|−1
∴−1,2是一元二次方程ax2+bx+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a<0，
∴ ，解得a=−1，b=1.
則不等式2x2+bx+a<0化為2x2+x−1<0，
解得−1
∴不等式2x2+bx+a<0的解集為 .
本題選擇B選項(xiàng).
點(diǎn)睛：解一元二次不等式時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)要先化為正，再根據(jù)判別式符號(hào)判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫(xiě)出不等式的解集.
10. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列 的前20項(xiàng)和為100，那么 的最大值是( )
A. 50 B. 25 C. 100 D. 2
【答案】B
結(jié)合題意和均值不等式的結(jié)論有： ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.
本題選擇B選項(xiàng).
11. 對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】當(dāng)m=0時(shí),mx2−mx−1=−1<0，不等式成立;
設(shè)y=mx2−mx−1，當(dāng)m≠0時(shí)函數(shù)y為二次函數(shù)，y要恒小于0，拋物線開(kāi)口向下且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，即要m<0且△<0
得到： 解得−4
綜上得到−4
本題選擇A選項(xiàng)....
點(diǎn)睛：不等式ax2+bx+c>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a=0時(shí)，b=0，c>0;當(dāng)a≠0時(shí)， 不等式ax2+bx+c<0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a=0時(shí)，b=0，c<0;當(dāng)a≠0時(shí)，
12. 兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.他們?cè)谏碁┥袭?huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類.如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù) 為梯形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第 項(xiàng)為 ，則 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得
5=2+3=a1，
9=2+3+4=a2，
14=2+3+4+5=a3，
…
，
由此可得a2013=2+3+4+5+…+2011= ×2014×2017，
∴a2013−5= ×2014×2017−5=1007×2017−5=2019×1006，
本題選擇D選項(xiàng).
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共計(jì)20分，將答案填在答題紙上)
13. 不等式 的解集是____________________。
【答案】
【解析】不等式即： ，則： ，
轉(zhuǎn)化為二次不等式： ，
據(jù)此可得不等式的解集為： .
點(diǎn)睛：解不等式的基本思路是等價(jià)轉(zhuǎn)化，分式不等式整式化，使要求解的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式，進(jìn)而獲得解決.
14. 已知函數(shù) 在 處取最小值，則 ________________。
【答案】3
考點(diǎn)：均值不等式求最值
15. 在等比數(shù)列中，已知 ，求 =__________________。
【答案】 或
【解析】當(dāng) 時(shí)滿足題意，
否則： ，解得： ，
綜上可得： 或 ....
16. 已知 ，則 __________________。
【答案】-13
【解析】由題意可得： .
三、解答題(本大題共70分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)
17. 已知平面向量 的夾角為 ，且 。
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求
【答案】(1)12(2)
【解析】試題分析：
首先求得 的值：
(1) 利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得： = ;
(2)首先求得 的值，然后利用平面向量模的求解公式可得 .
試題解析：
解：
(Ⅰ) =
(2)
18. 已知函數(shù) 的最大值為2。
(1)求 的值及 的最小正周期;
(Ⅱ)求 的單調(diào)遞增區(qū)間。
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析：
(1)整理函數(shù)的解析式，由函數(shù)的最大值可得 ，函數(shù)的最小正周期為 ;
(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論可得函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為
試題解析：
解：(Ⅰ)
當(dāng) =1時(shí)，
的最小正周期為 。 ...
(Ⅱ)由(1)得
得
的單調(diào)增區(qū)間為
19. 在 中， 的對(duì)邊分別是 ，且 成等差數(shù)列。 的面積為 。
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，求 的值。
【答案】(1)2(2) 或
【解析】試題分析：(1)首先根據(jù)A、B、C成等差數(shù)列求出角B，再根據(jù)安三角形面積公式 ，求出ac;
(2)根據(jù)余弦定理 ，求出 ，在根據(jù)(1)中的ac=2，即可求出a，c.
試題解析：解：(1).∵A、B、C成等差數(shù)列
∴2B=A+C
2分
∵
∴ac=2 4分
(2). ， ，
6分
即a=2 或 8分
考點(diǎn)：1. 正弦定理在三角形面積中的應(yīng)用;2.余弦定理.
20. 已知 是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，且 ， ， ， 。
(Ⅰ)求 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 。
【答案】(1) (2)
【解析】試題分析：(Ⅰ)由已知條件求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，從而得到 的首項(xiàng)和公差，從而得到其通項(xiàng)公式;(Ⅱ)首先求得數(shù)列 的通項(xiàng)公式，結(jié)合其特點(diǎn)采用分組求和法求解
試題解析：(Ⅰ)等比數(shù)列 的公比 ,
所以 ，
設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，因?yàn)?， ,
所以 ，即 ，
因此 ...
(II)由(I)知， ， .
因此 .
從而數(shù)列 的前 項(xiàng)和
.
考點(diǎn)：等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式;數(shù)列分組求和
21. 一個(gè)面積為 的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需要維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留下一個(gè)寬度為 的出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為 (單位:m),修此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為 (單位:元).
(Ⅰ)將 表示為 的函數(shù);
(Ⅱ)試確定 ，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。
【答案】(1) (2)當(dāng) m時(shí),總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用為10440元.
【解析】試題分析：(1)設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am，則根據(jù)圍建的矩形場(chǎng)地的面積為360m2，易得 ，此時(shí)再根據(jù)舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，我們即可得到修建圍墻的總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)(1)中所得函數(shù)的解析式，利用基本不等式，我們易求出修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小值，及相應(yīng)的x值
試題解析：(1)如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m
則 45x+180(x-2)+180•2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a= ,
所以y=225x+
(2)
.當(dāng)且僅當(dāng)225x= 時(shí)，等號(hào)成立.
即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.
考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用
22. 已知點(diǎn) 是函數(shù) 圖像上一點(diǎn)，等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 。數(shù)列 的首項(xiàng)為2 ，前 項(xiàng)和滿足 ( )。
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，問(wèn)使 的最小正整數(shù) 是多少?
【答案】(1) (2)59
【解析】試題分析：
(1)利用題意求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ;
(2)裂項(xiàng)求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ，求解關(guān)于n的不等式可得最小正整數(shù)為59
試題解析：
(Ⅰ)解： ，
，則等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ...
， ，
由 為等比數(shù)列，得公比
，則 ，
(Ⅱ)：由 ,得
時(shí)， ,則 是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列。
， ( )
則 ( )
當(dāng) 時(shí)， 滿足上式
，
由 ，得 ，則最小正整數(shù)為59
點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.
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