高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里的重點內(nèi)容。下面是學(xué)習(xí)啦小編網(wǎng)絡(luò)收集整理的高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法以供大家學(xué)習(xí)。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之觀察法
通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。
點撥:根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì),先求出√(2-3x) 的值域。
解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知√(2-3x)≥0,
故3+√(2-3x)≥3。
點評:算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性,即:(1)被開方數(shù)的非負(fù)性,(2)值的非負(fù)性。
本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解,這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法,簡捷明了,不失為一種巧法。
練習(xí):求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域為:{0,1,2,3,4,5})
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之反函數(shù)法
當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時,則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。
解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1,y∈R}。
點評:利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。
練習(xí):求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域為{y∣y<-1或y>1})
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之配方法
當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域
例3:求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥:將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù),利用二次函數(shù)的最值求。
解:由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1,2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]
點評:求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。
練習(xí):求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之判別式法
若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程,應(yīng)用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。
解:將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
當(dāng)y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2
當(dāng)y=2時,方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2
點評:把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實數(shù)解,故其判別式為非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。
練習(xí):求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域為y≤-8或y>0)。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之最值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。
解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小。
當(dāng)x=-1時,z=-5;當(dāng)x=3/2時,z=15/4。
∴函數(shù)z的值域為{z∣-5≤z≤15/4}。
點評:本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間,若存在最值,也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象,運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之單調(diào)法
利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。
例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
點撥:由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù),即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域為x≤1/3,在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性,從而確定函數(shù)的值域。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之換元法
以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域。
例2求函數(shù)y=x-3+√2x+1 的值域。
點撥:通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的最值,確定原函數(shù)的值域。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法之比例法
對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉(zhuǎn)化為比例式,代入目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數(shù)z=x2+y2的值域。
點撥:將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式,設(shè)置參數(shù),代入原函數(shù)。
解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
當(dāng)k=-3/5時,x=3/5,y=-4/5時,zmin=1。
函數(shù)的值域為{z|z≥1}.
有關(guān)高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)方法推薦:
函數(shù)把運動學(xué)帶進(jìn)了數(shù)學(xué).函數(shù)本身講的是數(shù)的互動,而靜則是運動過程中的某一即時狀態(tài).動以靜為參照,沒有參照物的運動是沒有意義的,同樣沒有“靜數(shù)”的函數(shù)也無意義.當(dāng)變量(動數(shù))的個數(shù)較多時,我們先考慮一對互動中的變數(shù),而把其他變數(shù)暫視靜止(常數(shù)或參數(shù))。今天我們就來告訴大家高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)技巧。
例如,考慮二次函數(shù)y=ax2+bx+c時,是把x,y看作一對互動的變數(shù),而把a,b,c看作“靜數(shù)”.其實,a,b,c也在變化,只是要等到需要考慮它們的變化時再把它們視作變數(shù).?
?●典例示范?
【例1】 設(shè)雙曲線 與直線x+y=1相交于兩個不同的點A和B,求雙曲線離心率的取值范圍.?
【分析】 求取值范圍就是求離心率e的值域.為此,我們要尋求e的函數(shù)式.?
【解答】 按雙曲線離心率的關(guān)系式,有 ??
【插語】 公式e= 本來是“靜式”,現(xiàn)在讓其運動起來,成了函數(shù)式f (a).啟發(fā)我們求函數(shù)e=f (a)的定義域,即a的取值范圍.?
【續(xù)解】 由雙曲線與直線相交于兩點,得方程組?
【插語】 我們并非要從這個方程中解得x和y的值,而是要由“方程組有2個解”的條件求出a2的取值范圍.?
【續(xù)解】 消y后整理得?
函數(shù)e=f (a)= 在(0,1)和(1, )上都是減函數(shù),故有f (a)> 且f (a)≠ .即所求范圍是 .?
【點評】 函數(shù)解題,動靜相依,動靜互控,從而實現(xiàn)由簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的互動,以及函數(shù)與方程,函數(shù)與不等式的互動.?
【附錄】 以下我們用函數(shù)性質(zhì)討論a2的取值范圍.?
由方程組解得:a2=h(x)= .由于 ≠0,所以a2≠1.因為 ,所以a2≤2.?
由于相交的兩點A、B對應(yīng)著不同的x值,因此a2到x的對應(yīng)是1對2,因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2.?
【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.?
【解答】 將原方程變形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).?
由方程的特點,我們構(gòu)造函數(shù)f x)=x2003+x,知f (x)是x∈R上的單調(diào)遞增函數(shù),又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x,即x=-3.?
【點評】 此題從方程的特點入手,利用函數(shù)思想,構(gòu)造了函數(shù)f (x)=x2003+x,把解方程的問題變?yōu)橛懻摵瘮?shù)的性質(zhì)的問題,巧妙地求出了方程的解.??
【例3】 在xOy平面上給定一曲線y2-2x=0.?
(Ⅰ)設(shè)點A的坐標(biāo)為( ,0),曲線上距點A最近的點P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|.?
(Ⅱ)設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,0),a∈R,曲線上點到點A的距離的最小值.?
【解答】 (Ⅰ)設(shè)P(x,y)為曲線上任意一點,y2=2x(x≥0),。