九年級數(shù)學(xué)上冊期末調(diào)研測試題
九年級數(shù)學(xué)上冊期末調(diào)研測試題
在期末按考試即將來臨之際,同學(xué)們需要準(zhǔn)備一些九年級往年的數(shù)學(xué)期末考試來復(fù)習(xí),下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家?guī)淼年P(guān)于九年級數(shù)學(xué)上冊期末調(diào)研測試題,希望會給大家?guī)韼椭?/p>
九年級數(shù)學(xué)上冊期末調(diào)研測試題:
一、選擇題(每題3分,共45分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的,請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡上)
1.下列四個點(diǎn),在反比例函數(shù)y= 圖象上的是( )
A.(2,﹣6) B.(8,4) C.(3,﹣4) D.(﹣6,﹣2)
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【專題】計(jì)算題.
【分析】分別計(jì)算出自變量為2、8、3、﹣6時的函數(shù)值,然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷四個點(diǎn)是否在反比例函數(shù)y= 圖象上.
【解答】解:當(dāng)x=2時,y= =6;當(dāng)x=8時,y= = ;當(dāng)x=3時,y= =4;當(dāng)x=﹣6時,y= =﹣2,
所以點(diǎn)(2,﹣6),(8,4),(3,﹣4)不在反比例函數(shù)y= 圖象上,而點(diǎn)(﹣6,﹣2)在反比例函數(shù)y= 圖象上.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:反比例函數(shù)y= (k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線,圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.
2.下面方程中,有兩個不等實(shí)數(shù)根的方程是( )
A.x2+x﹣1=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2﹣x+ =0 D.x2+1=0
【考點(diǎn)】根的判別式.
【專題】轉(zhuǎn)化思想.
【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)的△,來判斷根的情況,一元二次方程有兩個不等實(shí)數(shù)根即判別式的值大于0.
【解答】解:A、∵△=b2﹣4ac=1+4=5>0,
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
B、∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0,
∴方程沒有實(shí)數(shù)根.
C、∵△=b2﹣4ac=1﹣1=0,
∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.
D、移項(xiàng)后得,x2=﹣1
∵任何數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù).
∴方程無實(shí)根.故錯誤.
故選A.
【點(diǎn)評】總結(jié):一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:
(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)△=0⇔方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;
(3)△<0⇔方程沒有實(shí)數(shù)根.
3.如果兩個相似多邊形的相似比為1:5,則它們的面積比為( )
A.1:25 B.1:5 C.1:2.5 D.1:
【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方即可得出結(jié)論.
【解答】解:∵兩個相似多邊形的相似比為1:5,
∴它們的面積比=12:52=1:25.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì),熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.
4.下列命題中正確的是( )
A.兩條對角線相等的平行四邊形是矩形
B.三個角是直角的多邊形是矩形
C.兩條對角線相等的四邊形是矩形
D.有一個角是直角的四邊形是矩形
【考點(diǎn)】命題與定理;矩形的判定.
【分析】根據(jù)矩形的判定方法對四個命題分別進(jìn)行判斷.
【解答】解:A、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形,所以A選項(xiàng)為真命題;
B、三個角是直角的四邊形是矩形,所以B選項(xiàng)為假命題;
C、兩條對角線相互平分且相等的四邊形是矩形,所以C選項(xiàng)假真命題;
D、有三個角是直角的四邊形是矩形,所以D選項(xiàng)為假命題.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理:判斷一件事情的語句,叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成,題設(shè)是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng),一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的,這樣的真命題叫做定理.
5.在反比例函數(shù) 的圖象上有兩點(diǎn)(﹣1,y1), ,則y1﹣y2的值是( )
A.負(fù)數(shù) B.非正數(shù) C.正數(shù) D.不能確定
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】反比例函數(shù) :當(dāng)k<0時,該函數(shù)圖象位于第二、四象限,且在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大.
【解答】解:∵反比例函數(shù) 中的k<0,
∴函數(shù)圖象位于第二、四象限,且在每一象限內(nèi),y隨x的增大而增大;
又∵點(diǎn)(﹣1,y1)和 均位于第二象限,﹣1<﹣ ,
∴y1
∴y1﹣y2<0,即y1﹣y2的值是負(fù)數(shù),
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.注意:反比例函數(shù)的增減性只指在同一象限內(nèi).
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值為( )
A.1 B. C. D.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】先求出∠A的度數(shù),然后將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.
【解答】解:∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=180°﹣90°﹣60°=30°,
則sinA+cosB= + =1.
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.
7.高4米的旗桿在水平地面上的影長5米,此時測得附近一個建筑物的影子長20米,則該建筑物的高是( )
A.16米 B.20米 C.24米 D.30米
【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.
【分析】在同一時刻,物體的實(shí)際高度和影長成比例,據(jù)此列方程即可解答.
【解答】解:∵ ,
即 ,
∴設(shè)建筑物的高是x米.則 =
解得:x=16.
故該建筑物的高為16米.
故選A.
【點(diǎn)評】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通過解方程求出該建筑物的高度,體現(xiàn)了方程的思想.
8.下面四個圖是同一天四個不同時刻樹的影子,其時間由早到晚的順序?yàn)? )
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
【考點(diǎn)】平行投影.
【分析】由于太陽早上從東方升起,則早上樹的影子向西;傍晚太陽在西邊落下,此時樹的影子向東,于是可判斷四個時刻的時間順序.
【解答】解:時間由早到晚的順序?yàn)?312.
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查了平行投影:由平行光線形成的投影是平行投影,如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影.
9.如圖是由5個大小相同的正方體組成的幾何體,它的左視圖為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖.
【分析】細(xì)心觀察圖中幾何體中正方體擺放的位置,根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可.
【解答】解:從物體左面看,左邊2個正方形,右邊1個正方形.
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的知識,左視圖是從物體左面看所得到的圖形,解答時學(xué)生易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項(xiàng).
10.將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后,得到的拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣1)2+4 B.y=(x﹣4)2+4 C.y=(x+2)2+6 D.y=(x﹣4)2+6
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換.
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象向上平移加,向右平移減,可得函數(shù)解析式.
【解答】解:將y=x2﹣2x+3化為頂點(diǎn)式,得y=(x﹣1)2+2.
將拋物線y=x2﹣2x+3向上平移2個單位長度,再向右平移3個單位長度后,得到的拋物線的解析式為y=(x﹣4)2+4,
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換,函數(shù)圖象的平移規(guī)律是:左加右減,上加下減.
11.某校幵展“文明小衛(wèi)士”活動,從學(xué)生會“督查部”的3名學(xué)生(2男1女)中隨機(jī)選兩名進(jìn)行督導(dǎo),恰好選中兩名男學(xué)生的概率是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中兩名男學(xué)生的情況,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:畫樹狀圖得:
∵共有6種等可能的結(jié)果,恰好選中兩名男學(xué)生的有2種情況,
∴恰好選中兩名男學(xué)生的概率是: = .
故選A.
【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.用到的知識點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
12.如圖,點(diǎn)P是▱ABCD邊AB上的一點(diǎn),射線CP交DA的延長線于點(diǎn)E,則圖中相似的三角形有( )
A.0對 B.1對 C.2對 D.3對
【考點(diǎn)】相似三角形的判定;平行四邊形的性質(zhì).
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質(zhì)得出即可.
【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥DC,AD∥BC,
∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CPB,
∴△EDC∽△CBP,
故有3對相似三角形.
故選:D.
【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.
13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(﹣4,2),B(﹣6,﹣4),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為 ,把△ABO縮小,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是( )
A.(﹣2,1) B.(﹣8,4) C.(﹣2,1)或(2,﹣1) D.(﹣8,4)或(8,﹣4)
【考點(diǎn)】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).
【分析】根據(jù)已知得出位似圖形對應(yīng)坐標(biāo)與位似圖形比的關(guān)系進(jìn)而得出答案.
【解答】解:∵△ABC的一個頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣4,2),以原點(diǎn)O為位似中心相似比為1:2將△ABC縮小得到它的位似圖形△A′B′C′,
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)是:(﹣ ×4, ×2),[﹣ ×(﹣4),﹣ ×2],
即(﹣2,1),(2,﹣1).
故選:C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì),根據(jù)如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k得出是解題關(guān)鍵.
14.在同一直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx﹣k與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;一次函數(shù)的圖象.
【分析】由于本題不確定k的符號,所以應(yīng)分k>0和k<0兩種情況分類討論,針對每種情況分別畫出相應(yīng)的圖象,然后與各選擇比較,從而確定答案.
【解答】解:(1)當(dāng)k>0時,一次函數(shù)y=kx﹣k 經(jīng)過一、三、四象限,反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限,如圖所示:
(2)當(dāng)k<0時,一次函數(shù)y=kx﹣k經(jīng)過一、二、四象限,反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限.如圖所示:
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象.靈活掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵,在思想方法方面,本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.
15.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸是直線x=1,則下列結(jié)論:
?、賏<0,b<0;②a+b+c>0;③a﹣b+c<0;④當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減小;
?、輇2﹣4ac>0;⑥4a+2b+c>0;⑦a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正確的結(jié)論有( )
A.4個 B.5個 C.6個 D.7個
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與x軸的交點(diǎn)得出b2﹣4ac的符號,然后根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)及x=1時二次函數(shù)的值的情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
【解答】解:①∵拋物線開口向下,∴a<0,
∵拋物線對稱軸為直線x=1,且a<0,
∴b>0,故此選項(xiàng)錯誤;
?、诋?dāng)x=1時,對應(yīng)y的值大于0,即a+b+c>0,故此選項(xiàng)正確;
?、郛?dāng)x=﹣1時,對應(yīng)y的值小于0,即a﹣b+c<0,故此選項(xiàng)正確;
?、墚?dāng)x>1時,y隨x的增大而減小,正確;
?、輬D象與x軸有兩個交點(diǎn),故b2﹣4ac>0,正確;
?、蕖邟佄锞€對稱軸為直線x=1,且圖象與x軸左側(cè)交點(diǎn)大于﹣1,故拋物線與x軸右側(cè)交點(diǎn)大于2,
故當(dāng)x=2時4a+2b+c>0,正確;
⑦∵當(dāng)x=1時,y最大,即a+b+c最大,故a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b),(m為實(shí)數(shù)且m≠1),故此選項(xiàng)正確;
故正確的有6個.
故選:C.
【點(diǎn)評】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系,二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換,會利用特殊值代入法求得特殊的式子,如:y=a+b+c,然后根據(jù)圖象判斷其值.
二、填空題(本題共8小題,滿分24分)
16.二次函數(shù)y=x2+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (﹣1,﹣1) .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解:∵a=1,b=2,c=0,
∴﹣ =﹣ =﹣1,
= =﹣1,
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,﹣1),
故答案為:(﹣1,﹣1).
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(﹣ , ).
17.一個四邊形各邊的中點(diǎn)的連線組成的四邊形為菱形,則原四邊形的特點(diǎn)是 對角線相等 .
【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形.
【分析】先證明EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線,EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線,由三角形中位線定理得出EH=FG=EF=HG,即可得出結(jié)論.
【解答】解:原四邊形的特點(diǎn)是對角線相等.理由如下:
如圖,E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn).
∴EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線,EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線,
∴根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)
∴EH=FG= BD,EF=HG= AC.
∵AC=BD,
∴EH=FG=EF=HG,
∴四邊形EFGH是菱形.
故答案為:對角線相等.
【點(diǎn)評】本題考查了中點(diǎn)四邊形、菱形的判定、三角形中位線定理.運(yùn)用三角形中位線定理證得AC=BD是解決問題的關(guān)鍵.
18.關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是 k≤ 且k≠0 .
【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】本題是對根的判別式與一元二次方程的定義的考查,因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實(shí)數(shù)根,所以△=b2﹣4ac≥0,列出不等式求解,然后還要考慮二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.
【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有兩個實(shí)數(shù)根,
∴△=b2﹣4ac≥0,即(﹣1)2﹣4×k×2≥0,
解這個不等式得:k≤ ,
又∵k是二次項(xiàng)系數(shù),
∴k≠0,
則k的取值范圍是k≤ 且k≠0.
故答案為:k≤ 且k≠0.
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))根的判別式.當(dāng)△>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△=0,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)△<0,方程沒有實(shí)數(shù)根.以及一元二次方程的意義.
19.二次函數(shù)y=x2+bx﹣2(b為常數(shù))的圖象與x軸有 2 個交點(diǎn).
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)的性質(zhì)得出△的符號,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:∵△=b2+8,
∴b2+8>0,
∴二次函數(shù)y=x2+bx﹣2(b為常數(shù))的圖象與x軸相交,有2個交點(diǎn),
故答案為:2.
【點(diǎn)評】此題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn),正確利用△與交點(diǎn)個數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
20.如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框,將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形,已知BC=BD=15cm,∠CBD=40°,則點(diǎn)B到CD的距離為 14.1 cm(參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766,結(jié)果精確到0.1cm,可用科學(xué)計(jì)算器).
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】作BE⊥CD于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和∠CBD=40°,求出∠CBE的度數(shù),根據(jù)余弦的定義求出BE的長.
【解答】解:如圖2,作BE⊥CD于E,
∵BC=BD,∠CBD=40°,
∴∠CBE=20°,
在Rt△CBE中,cos∠CBE= ,
∴BE=BC•cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm.
故答案為:14.1.
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵,作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié).
21.將矩形紙片ABCD,按如圖所示的方式折疊,點(diǎn)A、點(diǎn)C恰好落在對角線BD上,得到菱形BEDF.若BC=6,則AB的長為 .
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【專題】壓軸題.
【分析】由四邊形BEDF是菱形,可得OB=OD= BD,由四邊形ABCD是矩形,可得∠C=90°,然后設(shè)CD=x,根據(jù)折疊的性質(zhì)得:OD=OB=CD,然后在Rt△BCD中,利用勾股定理即可求得方程,解此方程即可求得答案.
【解答】解:∵四邊形BEDF是菱形,
∴OB=OD= BD,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
設(shè)CD=x,
根據(jù)折疊的性質(zhì)得:OD=OB=CD,
在Rt△BCD中,BC2+CD2=BD2,
即62+x2=(2x)2,
解得:x=2 ,
∴AB=CD=2 .
故答案為:2 .
【點(diǎn)評】此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用,注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系.
22.如圖,某公園入口處原有三級臺階,每級臺階高為18cm,深為30cm,為方便殘疾人士,擬將臺階改為斜坡,設(shè)臺階的起點(diǎn)為A,斜坡的起始點(diǎn)為C,現(xiàn)設(shè)計(jì)斜坡BC的坡度i=1:5,則AC的長度是 210 cm.
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.
【分析】首先過點(diǎn)B作BD⊥AC于D,根據(jù)題意即可求得AD與BD的長,然后由斜坡BC的坡度i=1:5,求得CD的長,繼而求得答案.
【解答】解:過點(diǎn)B作BD⊥AC于D,
根據(jù)題意得:AD=2×30=60(cm),BD=18×3=54(cm),
∵斜坡BC的坡度i=1:5,
∴BD:CD=1:5,
∴CD=5BD=5×54=270(cm),
∴AC=CD﹣AD=270﹣60=210(cm).
∴AC的長度是210cm.
故答案為:210.
【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用:坡度問題.此題難度適中,注意掌握坡度的定義,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.
23.如圖,點(diǎn)A在雙曲線 上,點(diǎn)B在雙曲線y= 上,且AB∥x軸,C、D在x軸上,若四邊形ABCD為矩形,則它的面積為 2 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【專題】壓軸題.
【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S=|k|即可判斷.
【解答】解:過A點(diǎn)作AE⊥y軸,垂足為E,
∵點(diǎn)A在雙曲線 上,
∴四邊形AEOD的面積為1,
∵點(diǎn)B在雙曲線y= 上,且AB∥x軸,
∴四邊形BEOC的面積為3,
∴四邊形ABCD為矩形,則它的面積為3﹣1=2.
故答案為:2.
【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義,即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線,所得矩形面積為|k|,是經(jīng)??疾榈囊粋€知識點(diǎn);這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,做此類題一定要正確理解k的幾何意義.
三、解答題(共7小題,滿分51分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟,請?jiān)诖痤}紙上作答)
24.計(jì)算:20160﹣3tan30°+(﹣ )﹣2﹣| ﹣2|
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)化簡,進(jìn)而求出答案.
【解答】解:20160﹣3tan30°+(﹣ )﹣2﹣| ﹣2|
=1﹣3× +9﹣2+
=8.
【點(diǎn)評】此題主要考查了零指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值的性質(zhì),正確化簡化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.
25.某超市計(jì)劃在“十周年”慶典開展購物抽獎活動,凡當(dāng)天在該超市購物的顧客,均有一次抽獎的機(jī)會,抽獎規(guī)則如下:將如圖所示的圓形轉(zhuǎn)盤平均分成四個扇形,分別標(biāo)上1,2,3,4四個數(shù)字,抽獎?wù)哌B續(xù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)干刃蝺?nèi)的數(shù)為每次所得的數(shù)(若指針指在分界線時重轉(zhuǎn));當(dāng)兩次所得數(shù)字之和為8時,返現(xiàn)金20元;當(dāng)兩次所得數(shù)字之和為8時,返現(xiàn)金15元;當(dāng)兩次所得數(shù)字之和為6時返現(xiàn)金10元和小于6時不返現(xiàn)金.
(1)試用樹狀圖或列表的方法表示出一次抽獎所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)某顧客參加一次抽獎,能獲得返還現(xiàn)金的概率是多少?
【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果;
(2)首先求得某顧客參加一次抽獎,能獲得返還現(xiàn)金的情況,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)畫樹狀圖得:
則共有16種等可能的結(jié)果;
(2)∵某顧客參加一次抽獎,能獲得返還現(xiàn)金的有6種情況,
∴某顧客參加一次抽獎,能獲得返還現(xiàn)金的概率是: = .
【點(diǎn)評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
26.如圖,放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm,燈罩BC長為20cm,底座厚度為2cm,燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD=60°.使用發(fā)現(xiàn),光線最佳時燈罩BC與水平線所成的角為30°,此時燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm?(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù): ≈1.732)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】首先過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F,作BG⊥AD于點(diǎn)G,進(jìn)而求出FC的長,再求出BG的長,即可得出答案.
【解答】解:過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F,作BG⊥AD于點(diǎn)G.
∴四邊形BFDG矩形,
∴BG=FD
在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
∴CF=BC•sin30°=20× =10,
在Rt△ABG中,∠BAG=60°,
∴BG=AB•sin60°=30× =15 .
∴CE=CF+FD+DE=10+15 +2
=12+15 ≈37.98≈38.0(cm).
答:此時燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.
【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.
27.某商場將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品原來按每件100元出售,一天可售出100件.后來經(jīng)過市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低1元,其銷量可增加10件.
(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤 2000 元.
(2)設(shè)后來該商品每件降價(jià)x元,商場一天可獲利潤y元.
?、偃羯虉鼋?jīng)營該商品一天要獲利潤2160元,則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元?
?、谇蟪鰕與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x取何值時,商場獲利潤最大?
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)原來一天可獲利潤=(原售價(jià)﹣原進(jìn)價(jià))×一天的銷售量;
(2)①根據(jù)等量關(guān)系:降價(jià)后的單件利潤×銷售量=總利潤,列方程解答;
②根據(jù)“總利潤=降價(jià)后的單件利潤×銷售量”列出函數(shù)表達(dá)式,并運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)解答.
【解答】解:(1)(100﹣80)×100=2000(元);
故答案為:2000.
(2)①依題意得:
(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160
即x2﹣10x+16=0
解得:x1=2,x2=8
經(jīng)檢驗(yàn):x1=2,x2=8都是方程的解,且符合題意.
答:商店經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元,則每件商品應(yīng)降價(jià)2元或8元.
?、谝李}意得:y=(100﹣80﹣x)(100+10x),
∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250,
∵﹣10≤0,
∴當(dāng)x=5時,商店所獲利潤最大.
【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用,解答第②小題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解,注意配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用.
28.如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),F(xiàn)是AM的中點(diǎn),EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點(diǎn)E,交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE,即可得出結(jié)論;
(2)由勾股定理求出AM,得出AF,由△ABM∽△EFA得出比例式,求出AE,即可得出DE的長.
【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AMB=∠EAF,
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴∠B=∠AFE,
∴△ABM∽△EFA;
(2)解:∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM= =13,AD=12,
∵F是AM的中點(diǎn),
∴AF= AM=6.5,
∵△ABM∽△EFA,
∴ ,
即 ,
∴AE=16.9,
∴DE=AE﹣AD=4.9.
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理;熟練掌握正方形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.
29.如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A(2,3),B(﹣3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)所給條件,請直接寫出不等式kx+b> 的解集;
(3)過點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為C,求S△ABC.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.
【分析】(1)由一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于A(2,3),B(﹣3,n)兩點(diǎn),首先求得反比例函數(shù)的解析式,則可求得B點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,觀察即可求得答案;
(3)因?yàn)橐訠C為底,則BC邊上的高為3+2=5,所以利用三角形面積的求解方法即可求得答案.
【解答】解:(1)∵點(diǎn)A(2,3)在y= 的圖象上,
∴m=6,
∴反比例函數(shù)的解析式為:y= ,
∵B(﹣3,n)在反比例函數(shù)圖象上,
∴n= =﹣2,
∵A(2,3),B(﹣3,﹣2)兩點(diǎn)在y=kx+b上,
∴ ,
解得: ,
∴一次函數(shù)的解析式為:y=x+1;
(2)﹣32;
(3)以BC為底,則BC邊上的高AE為3+2=5,
∴S△ABC= ×2×5=5.
【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.注意待定系數(shù)法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
30. 如圖,對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點(diǎn).
?、偃酎c(diǎn)P在拋物線上,且S△POC=4S△BOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
?、谠O(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn),作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D,求線段QD長度的最大值.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1,交x軸于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3,0),根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)①a=1時,先由對稱軸為直線x=﹣1,求出b的值,再將B(1,0)代入,求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3,得到C點(diǎn)坐標(biāo),然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo);
?、谙冗\(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3,再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x﹣3),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值.
【解答】解:(1)∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于A、B兩點(diǎn),
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對稱,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3,0),
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0);
(2)①a=1時,∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1,
∴ =﹣1,解得b=2.
將B(1,0)代入y=x2+2x+c,
得1+2+c=0,解得c=﹣3.
則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3,
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣3),OC=3.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),
∵S△POC=4S△BOC,
∴ ×3×|x|=4× ×3×1,
∴|x|=4,x=±4.
當(dāng)x=4時,x2+2x﹣3=16+8﹣3=21;
當(dāng)x=﹣4時,x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,21)或(﹣4,5);
②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t (k≠0)將A(﹣3,0),C(0,﹣3)代入,
得 ,解得 ,
即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3.
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x﹣3)(﹣3≤x≤0),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),
QD=(﹣x﹣3)﹣(x2+2x﹣3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+ )2+ ,
∴當(dāng)x=﹣ 時,QD有最大值 .
【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題.此題難度適中,解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想.
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