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2018年南通市中考數(shù)學(xué)試卷(2)

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2018年南通市中考數(shù)學(xué)試卷

  2018年南通市中考數(shù)學(xué)試卷答案

  一、選擇題(每小題3分,共30分)

  1.在0、2、﹣1、﹣2這四個(gè)數(shù)中,最小的數(shù)為(  )

  A.0 B.2 C.﹣1 D.﹣2

  【考點(diǎn)】18:有理數(shù)大小比較.

  【分析】根據(jù)正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù),可得答案.

  【解答】解:∵在0、2、﹣1、﹣2這四個(gè)數(shù)中只有﹣2<﹣1<0,0<2

  ∴在0、2、﹣1、﹣2這四個(gè)數(shù)中,最小的數(shù)是﹣2.

  故選:D.

  2.近兩年,中國倡導(dǎo)的“一帶一路”為沿線國家創(chuàng)造了約180000個(gè)就業(yè)崗位,將180000用科學(xué)記數(shù)法表示為(  )

  A.1.8×105 B.1.8×104 C.0.18×106 D.18×104

  【考點(diǎn)】1I:科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).

  【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時(shí),n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí),n是負(fù)數(shù).

  【解答】解:將180000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.8×105,

  故選:A.

  3.下列計(jì)算,正確的是(  )

  A.a2﹣a=a B.a2•a3=a6 C.a9÷a3=a3 D.(a3)2=a6

  【考點(diǎn)】48:同底數(shù)冪的除法;35:合并同類項(xiàng);46:同底數(shù)冪的乘法;47:冪的乘方與積的乘方.

  【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.

  【解答】解:A、a2﹣a,不能合并,故A錯(cuò)誤;

  B、a2•a3=a5,故B錯(cuò)誤;

  C、a9÷a3=a6,故C錯(cuò)誤;

  D、(a3)2=a6,故D正確;

  故選D.

  4.如圖是由4個(gè)大小相同的正方體組合而成的幾何體,其左視圖是(  )

  A. B. C. D.

  【考點(diǎn)】U2:簡單組合體的三視圖.

  【分析】左視圖是從左邊看得出的圖形,結(jié)合所給圖形及選項(xiàng)即可得出答案.

  【解答】解:從左邊看得到的是兩個(gè)疊在一起的正方形.

  故選A.

  5.在平面直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)P(1,﹣2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(  )

  A.(1,2) B.(﹣1,﹣2) C.(﹣1,2) D.(﹣2,1)

  【考點(diǎn)】P5:關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).

  【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn):橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.

  【解答】解:點(diǎn)P(1,﹣2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),

  故選:A.

  6.如圖,圓錐的底面半徑為2,母線長為6,則側(cè)面積為(  )

  A.4π B.6π C.12π D.16π

  【考點(diǎn)】MP:圓錐的計(jì)算.

  【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑為2,母線長為6,直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出它的側(cè)面積.

  【解答】解:根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式:πrl=π×2×6=12π,

  故選C.

  7.一組數(shù)據(jù):1、2、2、3,若添加一個(gè)數(shù)據(jù)2,則發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量是(  )

  A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差

  【考點(diǎn)】WA:統(tǒng)計(jì)量的選擇.

  【分析】依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義和公式求解即可.

  【解答】解:A、原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2,添加數(shù)字2后平均數(shù)扔為2,故A與要求不符;

  B、原來數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2,添加數(shù)字2后中位數(shù)扔為2,故B與要求不符;

  C、原來數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2,添加數(shù)字2后眾數(shù)扔為2,故C與要求不符;

  D、原來數(shù)據(jù)的方差= = ,

  添加數(shù)字2后的方差= = ,故方差發(fā)生了變化.

  故選:D.

  8.一個(gè)有進(jìn)水管和出水管的容器,從某時(shí)刻開始4min內(nèi)只進(jìn)水不出水,在隨后的8min內(nèi)即進(jìn)水又出水,每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù),容器內(nèi)的水量y(L)與時(shí)間x(min)之間的關(guān)系如圖所示,則每分鐘的出水量為(  )

  A.5L B.3.75L C.2.5L D.1.25L

  【考點(diǎn)】E6:函數(shù)的圖象.

  【分析】觀察函數(shù)圖象找出數(shù)據(jù),根據(jù)“每分鐘進(jìn)水量=總進(jìn)水量÷放水時(shí)間”算出每分鐘的進(jìn)水量,再根據(jù)“每分鐘的出水量=每分鐘的進(jìn)水量﹣每分鐘增加的水量”即可算出結(jié)論.

  【解答】解:每分鐘的進(jìn)水量為:20÷4=5(升),

  每分鐘的出水量為:5﹣(30﹣20)÷(12﹣4)=3.75(升).

  故選:B.

  9.已知∠AOB,作圖.

  步驟1:在OB上任取一點(diǎn)M,以點(diǎn)M為圓心,MO長為半徑畫半圓,分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q;

  步驟2:過點(diǎn)M作PQ的垂線交 于點(diǎn)C;

  步驟3:畫射線OC.

  則下列判斷:① = ;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB,其中正確的個(gè)數(shù)為(  )

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【考點(diǎn)】N3:作圖—復(fù)雜作圖;M5:圓周角定理.

  【分析】由OQ為直徑可得出OA⊥PQ,結(jié)合MC⊥PQ可得出OA∥MC,結(jié)論②正確;根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠PAO=∠CMQ,結(jié)合圓周角定理可得出∠COQ= ∠POQ=∠BOQ,進(jìn)而可得出 = ,OC平分∠AOB,結(jié)論①④正確;由∠AOB的度數(shù)未知,不能得出OP=PQ,即結(jié)論③錯(cuò)誤.綜上即可得出結(jié)論.

  【解答】解:∵OQ為直徑,

  ∴∠OPQ=90°,OA⊥PQ.

  ∵M(jìn)C⊥PQ,

  ∴OA∥MC,結(jié)論②正確;

  ①∵OA∥MC,

  ∴∠PAO=∠CMQ.

  ∵∠CMQ=2∠COQ,

  ∴∠COQ= ∠POQ=∠BOQ,

  ∴ = ,OC平分∠AOB,結(jié)論①④正確;

  ∵∠AOB的度數(shù)未知,∠POQ和∠PQO互余,

  ∴∠POQ不一定等于∠PQO,

  ∴OP不一定等于PQ,結(jié)論③錯(cuò)誤.

  綜上所述:正確的結(jié)論有①②④.

  故選C.

  10.如圖,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別在矩形ABCD各邊上,且AE=CG,BF=DH,則四邊形EFGH周長的最小值為(  )

  A.5 B.10 C.10 D.15

  【考點(diǎn)】PA:軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題;LB:矩形的性質(zhì).

  【分析】作點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E′,連接E′G交BC于點(diǎn)F,此時(shí)四邊形EFGH周長取最小值,過點(diǎn)G作GG′⊥AB于點(diǎn)G′,由對稱結(jié)合矩形的性質(zhì)可知:E′G′=AB=10、GG′=AD=5,利用勾股定理即可求出E′G的長度,進(jìn)而可得出四邊形EFGH周長的最小值.

  【解答】解:作點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E′,連接E′G交BC于點(diǎn)F,此時(shí)四邊形EFGH周長取最小值,過點(diǎn)G作GG′⊥AB于點(diǎn)G′,如圖所示.

  ∵AE=CG,BE=BE′,

  ∴E′G′=AB=10,

  ∵GG′=AD=5,

  ∴E′G= =5 ,

  ∴C四邊形EFGH=2E′G=10 .

  故選B.

  二、填空題(每小題3分,共24分)

  11.若 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍為 x≥2 .

  【考點(diǎn)】72:二次根式有意義的條件.

  【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x﹣2≥0,再解即可.

  【解答】解:由題意得:x﹣2≥0,

  解得:x≥2,

  故答案為:x≥2.

  12.如圖所示,DE是△ABC的中位線,BC=8,則DE= 4 .

  【考點(diǎn)】KX:三角形中位線定理.

  【分析】易得DE是△ABC的中位線,那么DE應(yīng)等于BC長的一半.

  【解答】解:根據(jù)三角形的中位線定理,得:DE= BC=4.

  故答案為4.

  13.四邊形ABCD內(nèi)接于圓,若∠A=110°,則∠C= 70 度.

  【考點(diǎn)】M6:圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可.

  【解答】解:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,

  ∴∠A+∠C=180°,

  ∵∠A=110°,

  ∴∠C=70°,

  故答案為:70.

  14.若關(guān)于x的方程x2﹣6x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則c的值為 9 .

  【考點(diǎn)】AA:根的判別式.

  【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=(﹣6)2﹣4c=0,然后解關(guān)于c的一次方程即可.

  【解答】解:根據(jù)題意得△=(﹣6)2﹣4c=0,

  解得c=9.

  故答案為9.

  15.如圖,將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△COD,若∠AOB=15°,則∠AOD= 30 度.

  【考點(diǎn)】R2:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

  【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BOD,再根據(jù)∠AOD=∠BOD﹣∠AOB計(jì)算即可得解.

  【解答】解:∵△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△COD,

  ∴∠BOD=45°,

  ∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°.

  故答案為:30.

  16.甲、乙二人做某種機(jī)械零件.已知甲每小時(shí)比乙多做4個(gè),甲做60個(gè)所用的時(shí)間比乙做40個(gè)所用的時(shí)間相等,則乙每小時(shí)所做零件的個(gè)數(shù)為 4 .

  【考點(diǎn)】B7:分式方程的應(yīng)用.

  【分析】設(shè)乙每小時(shí)做x個(gè),則甲每小時(shí)做(x+4)個(gè),甲做60個(gè)所用的時(shí)間為 ,乙做40個(gè)所用的時(shí)間為 ;根據(jù)甲做60個(gè)所用的時(shí)間比乙做40個(gè)所用的時(shí)間相等,列方程求解

  【解答】解:設(shè)乙每小時(shí)做x個(gè),則甲每小時(shí)做(x+4)個(gè),甲做60個(gè)所用的時(shí)間為 ,乙做40個(gè)所用的時(shí)間為 ,

  列方程為: = ,

  解得:x=4,

  經(jīng)檢驗(yàn):x=4是原分式方程的解,且符合題意,

  則x+4=8.

  答:乙每小時(shí)做4個(gè).

  故答案是:4.

  17.已知x=m時(shí),多項(xiàng)式x2+2x+n2的值為﹣1,則x=﹣m時(shí),該多項(xiàng)式的值為 ﹣1﹣4m .

  【考點(diǎn)】33:代數(shù)式求值.

  【分析】利用整體代入的思想即可解決問題.

  【解答】解:∵x=m時(shí),多項(xiàng)式x2+2x+n2的值為﹣1,

  ∴m2+2m+n2=﹣1,

  ∴m2+n2=﹣1﹣2m

  ∴x=﹣m時(shí),多項(xiàng)式x2+2x+n2的值為m2﹣2m+n2=﹣1﹣4m,

  故答案為﹣1﹣4m.

  18.如圖,四邊形OABC是平行四邊形,點(diǎn)C在x軸上,反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(5,12),且與邊BC交于點(diǎn)D.若AB=BD,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (8, ) .

  【考點(diǎn)】G6:反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;L5:平行四邊形的性質(zhì).

  【分析】先根據(jù)點(diǎn)A(5,12),求得反比例函數(shù)的解析式為y= ,可設(shè)D(m, ),BC的解析式為y= x+b,把D(m, )代入,可得b= ﹣ m,進(jìn)而得到BC的解析式為y= x+ ﹣ m,據(jù)此可得OC=m﹣ =AB,過D作DE⊥AB于E,過A作AF⊥OC于F,根據(jù)△DEB∽△AFO,可得DB=13﹣ ,最后根據(jù)AB=BD,得到方程m﹣ =13﹣ ,進(jìn)而求得D的坐標(biāo).

  【解答】解:∵反比例函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(5,12),

  ∴k=12×5=60,

  ∴反比例函數(shù)的解析式為y= ,

  設(shè)D(m, ),

  由題可得OA的解析式為y= x,AO∥BC,

  ∴可設(shè)BC的解析式為y= x+b,

  把D(m, )代入,可得 m+b= ,

  ∴b= ﹣ m,

  ∴BC的解析式為y= x+ ﹣ m,

  令y=0,則x=m﹣ ,即OC=m﹣ ,

  ∴平行四邊形ABCO中,AB=m﹣ ,

  如圖所示,過D作DE⊥AB于E,過A作AF⊥OC于F,則△DEB∽△AFO,

  ∴ = ,而AF=12,DE=12﹣ ,OA= =13,

  ∴DB=13﹣ ,

  ∵AB=DB,

  ∴m﹣ =13﹣ ,

  解得m1=5,m2=8,

  又∵D在A的右側(cè),即m>5,

  ∴m=8,

  ∴D的坐標(biāo)為(8, ).

  故答案為:(8, ).

  三、解答題(本大題共10小題,共96分)

  19.(1)計(jì)算:|﹣4|﹣(﹣2)2+ ﹣( )0

  (2)解不等式組 .

  【考點(diǎn)】CB:解一元一次不等式組;2C:實(shí)數(shù)的運(yùn)算;6E:零指數(shù)冪.

  【分析】(1)原式第一項(xiàng)利用絕對值的代數(shù)意義化簡,第二項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算,第三項(xiàng)化為最簡二次根式,最后一項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算,即可得到結(jié)果.

  (2)先求出兩個(gè)不等式的解集,再求其公共解.

  【解答】解:(1)原式=4﹣4+3﹣1=2;

  (2)

  解不等式①得,x≥2,

  解不等式②得,x<4,

  所以不等式組的解集是2≤x<4.

  20.先化簡,再求值:(m+2﹣ )• ,其中m=﹣ .

  【考點(diǎn)】6D:分式的化簡求值.

  【分析】此題的運(yùn)算順序:先括號里,經(jīng)過通分,再約分化為最簡,最后代值計(jì)算.

  【解答】解:(m+2﹣ )• ,

  = • ,

  =﹣ • ,

  =﹣2(m+3).

  把m=﹣ 代入,得

  原式=﹣2×(﹣ +3)=﹣5.

  21.某學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)他們平均每天的課外閱讀時(shí)間t(單位:min),然后利用所得數(shù)據(jù)繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)表.

  課外閱讀時(shí)間t 頻數(shù) 百分比

  10≤t<30 4 8%

  30≤t<50 8 16%

  50≤t<70 a 40%

  70≤t<90 16 b

  90≤t<110 2 4%

  合計(jì) 50 100%

  請根據(jù)圖表中提供的信息回答下列問題:

  (1)a= 20 ,b= 32% ;

  (2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;

  (3)若全校有900名學(xué)生,估計(jì)該校有多少學(xué)生平均每天的課外閱讀時(shí)間不少于50min?

  【考點(diǎn)】V8:頻數(shù)(率)分布直方圖;V5:用樣本估計(jì)總體;V7:頻數(shù)(率)分布表;W2:加權(quán)平均數(shù).

  【分析】(1)利用百分比= ,計(jì)算即可;

  (2)根據(jù)b的值計(jì)算即可;

  (3)用一般估計(jì)總體的思想思考問題即可;

  【解答】解:(1)∵總?cè)藬?shù)=50人,

  ∴a=50×40%=20,b= ×100%=32%,

  故答案為20,32%.

  (2)頻數(shù)分布直方圖,如圖所示.

  (3)900× =648,

  答:估計(jì)該校有648名學(xué)生平均每天的課外閱讀時(shí)間不少于50min.

  22.不透明袋子中裝有2個(gè)紅球,1個(gè)白球和1個(gè)黑球,這些球除顏色外無其他差別,隨機(jī)摸出1個(gè)球不放回,再隨機(jī)摸出1個(gè)球,求兩次均摸到紅球的概率.

  【考點(diǎn)】X6:列表法與樹狀圖法.

  【分析】利用樹狀圖得出所有符合題意的情況,進(jìn)而理概率公式求出即可.

  【解答】解:如圖所示:

  ,

  所有的可能有12種,符合題意的有2種,故兩次均摸到紅球的概率為: = .

  23.熱氣球的探測器顯示,從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為45°,看這棟樓底部C的俯角β為60°,熱氣球與樓的水平距離為100m,求這棟樓的高度(結(jié)果保留根號).

  【考點(diǎn)】TA:解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題.

  【分析】根據(jù)正切的概念分別求出BD、DC,計(jì)算即可.

  【解答】解:在Rt△ADB中,∠BAD=45°,

  ∴BD=AD=100m,

  在Rt△ADC中,CD=AD×tan∠DAC=100 m

  ∴BC=m,

  答:這棟樓的高度為m.

  24.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,點(diǎn)O在AB上,OB=2,以O(shè)B為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,求弦BE的長.

  【考點(diǎn)】MC:切線的性質(zhì);KQ:勾股定理.

  【分析】連接OD,首先證明四邊形OECD是矩形,從而得到BE的長,然后利用垂徑定理求得BF的長即可.

  【解答】解:連接OD,作OE⊥BF于點(diǎn)E.

  ∴BE= BF,

  ∵AC是圓的切線,

  ∴OD⊥AC,

  ∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°,

  ∴四邊形ODCF是矩形,

  ∵OD=OB=EC=2,BC=3,

  ∴BE=BC﹣EC=BC﹣OD=3﹣2=1,

  ∴BF=2BE=2.

  25.某學(xué)習(xí)小組在研究函數(shù)y= x3﹣2x的圖象與性質(zhì)時(shí),已列表、描點(diǎn)并畫出了圖象的一部分.

  x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …

  y … ﹣

  ﹣

  0 ﹣

  ﹣

  ﹣

  …

  (1)請補(bǔ)全函數(shù)圖象;

  (2)方程 x3﹣2x=﹣2實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 3 ;

  (3)觀察圖象,寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì).

  【考點(diǎn)】H3:二次函數(shù)的性質(zhì);H2:二次函數(shù)的圖象;HB:圖象法求一元二次方程的近似根.

  【分析】(1)用光滑的曲線連接即可得出結(jié)論;

  (2)根據(jù)函數(shù)y= x3﹣2x和直線y=﹣2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論;

  (3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.

  【解答】解:(1)補(bǔ)全函數(shù)圖象如圖所示,

  (2)如圖1,

  作出直線y=﹣2的圖象,

  由圖象知,函數(shù)y= x3﹣2x的圖象和直線y=﹣2有三個(gè)交點(diǎn),

  ∴方程 x3﹣2x=﹣2實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為3,

  故答案為3;

  (3)由圖象知,

  1、此函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)既沒有最大值,也沒有最小值,

  2、此函數(shù)在x<﹣2和x>2,y隨x的增大而增大,

  3、此函數(shù)圖象過原點(diǎn),

  4、此函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

  26.如圖,在矩形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q,連接BP、EQ.

  (1)求證:四邊形BPEQ是菱形;

  (2)若AB=6,F(xiàn)為AB的中點(diǎn),OF+OB=9,求PQ的長.

  【考點(diǎn)】LB:矩形的性質(zhì);KG:線段垂直平分線的性質(zhì);LA:菱形的判定與性質(zhì).

  【分析】(1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明QB=QE,由ASA證明△BOQ≌△EOP,得出PE=QB,證出四邊形ABGE是平行四邊形,再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論;

  (2)根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得AE+BE=2OF+2OB=18,設(shè)AE=x,則BE=18﹣x,在Rt△ABE中,根據(jù)勾股定理可得62+x2=(18﹣x)2,BE=10,得到OB= BE=5,設(shè)PE=y,則AP=8﹣y,BP=PE=y,在Rt△ABP中,根據(jù)勾股定理可得62+(8﹣y)2=y2,解得y= ,在Rt△BOP中,根據(jù)勾股定理可得PO= = ,由PQ=2PO即可求解.

  【解答】(1)證明:∵PQ垂直平分BE,

  ∴QB=QE,OB=OE,

  ∵四邊形ABCD是矩形,

  ∴AD∥BC,

  ∴∠PEO=∠QBO,

  在△BOQ與△EOP中,

  ,

  ∴△BOQ≌△EOP(ASA),

  ∴PE=QB,

  又∵AD∥BC,

  ∴四邊形BPEQ是平行四邊形,

  又∵QB=QE,

  ∴四邊形BPEQ是菱形;

  (2)解:∵O,F(xiàn)分別為PQ,AB的中點(diǎn),

  ∴AE+BE=2OF+2OB=18,

  設(shè)AE=x,則BE=18﹣x,

  在Rt△ABE中,62+x2=(18﹣x)2,

  解得x=8,

  BE=18﹣x=10,

  ∴OB= BE=5,

  設(shè)PE=y,則AP=8﹣y,BP=PE=y,

  在Rt△ABP中,62+(8﹣y)2=y2,解得y= ,

  在Rt△BOP中,PO= = ,

  ∴PQ=2PO= .

  27.我們知道,三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn),過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交,兩交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形.若有一個(gè)圖形與原三角形相似,則把這條線段叫做這個(gè)三角形的“內(nèi)似線”.

  (1)等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為 3 ;

  (2)如圖,△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求證:BD是△ABC的“內(nèi)似線”;

  (3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分別在邊AC、BC上,且EF是△ABC的“內(nèi)似線”,求EF的長.

  【考點(diǎn)】SO:相似形綜合題.

  【分析】(1)過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線,即可得出答案;

  (2)由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠BDC,證出△BCD∽△ABC即可;

  (3)分兩種情況:①當(dāng) = = 時(shí),EF∥AB,由勾股定理求出AB= =5,作DN⊥BC于N,則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑,求出DN= (AC+BC﹣AB)=1,由幾啊平分線定理得出 = ,求出CE= ,證明△CEF∽△CAB,得出對應(yīng)邊成比例求出EF= ;

 ?、诋?dāng) = = 時(shí),同理得:EF= 即可.

  【解答】(1)解:等邊三角形“內(nèi)似線”的條數(shù)為3條;理由如下:

  過等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線,如圖1所示:

  則△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,

  ∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內(nèi)似線”;

  故答案為:3;

  (2)證明:∵AB=AC,BD=BC,

  ∴∠ABC=∠C=∠BDC,

  ∴△BCD∽△ABC,

  ∴BD是△ABC的“內(nèi)似線”;

  (3)解:設(shè)D是△ABC的內(nèi)心,連接CD,

  則CD平分∠ACB,

  ∵EF是△ABC的“內(nèi)似線”,

  ∴△CEF與△ABC相似;

  分兩種情況:①當(dāng) = = 時(shí),EF∥AB,

  ∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,

  ∴AB= =5,

  作DN⊥BC于N,如圖2所示:

  則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑,

  ∴DN= (AC+BC﹣AB)=1,

  ∵CD平分∠ACB,

  ∴ = ,

  ∵DN∥AC,

  ∴ = ,即 ,

  ∴CE= ,

  ∵EF∥AB,

  ∴△CEF∽△CAB,

  ∴ ,即 ,

  解得:EF= ;

 ?、诋?dāng) = = 時(shí),同理得:EF= ;

  綜上所述,EF的長為 .

  28.已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a>0)相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸正半軸相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥x軸,垂足為D.

  (1)若∠AOB=60°,AB∥x軸,AB=2,求a的值;

  (2)若∠AOB=90°,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4,AC=4BC,求點(diǎn)B的坐標(biāo);

  (3)延長AD、BO相交于點(diǎn)E,求證:DE=CO.

  【考點(diǎn)】HF:二次函數(shù)綜合題.

  【分析】(1)如圖1,由條件可知△AOB為等邊三角形,則可求得OA的長,在Rt△AOD中可求得AD和OD的長,可求得A點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式可得a的值;

  (2)如圖2,作輔助線,構(gòu)建平行線和相似三角形,根據(jù)CF∥BG,由A的橫坐標(biāo)為﹣4,得B的橫坐標(biāo)為1,所以A(﹣4,16a),B(1,a),證明△ADO∽△OEB,則 ,得a的值及B的坐標(biāo);

  (3)如圖3,設(shè)AC=nBC由(2)同理可知:A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍,則設(shè)B(m,am2),則A(﹣mn,am2n2),分別根據(jù)兩三角形相似計(jì)算DE和CO的長即可得出結(jié)論.

  【解答】解:(1)如圖1,∵拋物線y=ax2的對稱軸是y軸,且AB∥x軸,

  ∴A與B是對稱點(diǎn),O是拋物線的頂點(diǎn),

  ∴OA=OB,

  ∵∠AOB=60°,

  ∴△AOB是等邊三角形,

  ∵AB=2,AB⊥OC,

  ∴AC=BC=1,∠BOC=30°,

  ∴OC= ,

  ∴A(﹣1, ),

  把A(﹣1, )代入拋物線y=ax2(a>0)中得:a= ;

  (2)如圖2,過B作BE⊥x軸于E,過A作AG⊥BE,交BE延長線于點(diǎn)G,交y軸于F,

  ∵CF∥BG,

  ∴ ,

  ∵AC=4BC,

  ∴ =4,

  ∴AF=4FG,

  ∵A的橫坐標(biāo)為﹣4,

  ∴B的橫坐標(biāo)為1,

  ∴A(﹣4,16a),B(1,a),

  ∵∠AOB=90°,

  ∴∠AOD+∠BOE=90°,

  ∵∠AOD+∠DAO=90°,

  ∴∠BOE=∠DAO,

  ∵∠ADO=∠OEB=90°,

  ∴△ADO∽△OEB,

  ∴ ,

  ∴ ,

  ∴16a2=4,

  a=± ,

  ∵a>0,

  ∴a= ;

  ∴B(1, );

  (3)如圖3,設(shè)AC=nBC,

  由(2)同理可知:A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍,

  則設(shè)B(m,am2),則A(﹣mn,am2n2),

  ∴AD=am2n2,

  過B作BF⊥x軸于F,

  ∴DE∥BF,

  ∴△BOF∽△EOD,

  ∴ = = ,

  ∴ ,

  ∴ = ,DE=am2n,

  ∴ = ,

  ∵OC∥AE,

  ∴△BCO∽△BAE,

  ∴ ,

  ∴ = ,

  ∴CO= =am2n,

  ∴DE=CO.


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