陜西省高考數學一?？荚嚲碚骖}(2)
陜西省高考數學一模考試卷真題
陜西省高考數學一?？荚嚲泶鸢?/h2>
一、選擇題(本題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.復數 在復平面上對應的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考點】復數代數形式的乘除運算.
【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡復數 ，求出復數 在復平面上對應的點的坐標，則答案可求.
【解答】解： = ，
則復數 在復平面上對應的點的坐標為：( ， )，位于第一象限.
故選：A.
【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.
2.集合P={x|x2﹣9<0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，則P∩Q=( )
A.{x|﹣3
【考點】交集及其運算.
【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集確定出集合P，取集合Q中解集的整數解確定出集合Q，然后找出既屬于P又屬于Q的元素即可確定出兩集合的交集.
【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9<0，解得：﹣3
∴集合P={x|﹣3
由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整數為﹣1，0，1，2，3，
∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，
則P∩Q={﹣1，0，1，2}.
故選D
【點評】此題屬于以不等式解集為平臺，考查了交集的元素，是一道基礎題，也是高考中常考的題型.
3.已知cosα=﹣ ，且α∈( ，π)，則tan(α+ )等于( )
A.﹣ B.﹣7 C. D.7
【考點】兩角和與差的正切函數;弦切互化.
【分析】先根據cosα的值求出tanα的值，再由兩角和與差的正切公式確定答案.
【解答】解析：由cosα=﹣ 且α∈( )得tanα=﹣ ，
∴tan(α+ )= = ，
故選C.
【點評】本題主要考查兩角和與差的正切公式.屬基礎題.
4.若命題p：對任意的x∈R，都有x3﹣x2+1<0，則￢p為( )
A.不存在x∈R，使得x3﹣x2+1<0
B.存在x∈R，使得x3﹣x2+1<0
C.對任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0
D.存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0
【考點】命題的否定.
【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，去判斷.
【解答】解：因為命題是全稱命題，根據全稱命題的否定是特稱命題，
所以命題的否定￢p為：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0
故選：D
【點評】本題主要考查全稱命題的否定，要求掌握全稱命題的否定是特稱命題.
5.在等比數列{an} 中，a1=4，公比為q，前n項和為Sn，若數列{Sn+2}也是等比數列，則q等于( )
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
【考點】等比關系的確定.
【分析】由數列{Sn+2}也是等比數列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比數列，即(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)
代入等比數列的前n項和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解方程即可求解
【解答】解：由題意可得q≠1
由數列{Sn+2}也是等比數列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比數列
則(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)
代入等比數列的前n項和公式整理可得
(6+4q)2=24(1+q+q2)+12
解可得 q=3
故選C.
【點評】等比數列得前n項和公式的應用需要注意公式的選擇，解題時要注意對公比q=1，q≠1的分類討論，體現了公式應用的全面性.
6.已知向量 =(1，1)，2 + =(4，2)，則向量 ， 的夾角的余弦值為( )
A. B. C. D.
【考點】數量積表示兩個向量的夾角.
【分析】利用向量的坐標運算求出 ;利用向量的數量積公式求出兩個向量的數量積;利用向量模的坐標公式求出兩個向量的模;利用向量的數量積公式求出兩個向量的夾角余弦.
【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴兩個向量的夾角余弦為
故選C
【點評】本題考查向量的數量積公式，利用向量的數量積公式求向量的夾角余弦、考查向量模的坐標公式.
7.函數f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)的圖象關于原點對稱的充要條件是( )
A.φ=2kπ﹣ ，k∈Z B.φ=kπ﹣ ，k∈Z C.φ=2kπ﹣ ，k∈Z D.φ=kπ﹣ ，k∈Z
【考點】由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.
【分析】先利用輔助角公式對函數化簡可得，f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+ )，由函數的圖象關于原點對稱可知函數f(x)為奇函數，由奇函數的性質可得，f(0)=0代入可得sin( φ)=0，從而可求答案.
【解答】解：∵f(x)=sin(2x+φ)+ cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+ )的圖象關于原點對稱
∴函數f(x)為奇函數，由奇函數的性質可得，f(0)=0
∴sin( φ)=0
∴ φ=kπ
∴φ=
故選：D
【點評】本題主要考查了利用輔助角公式把不同名的三角函數化為y=Asin(x+)的形式，進而研究函數的性質;還考查了奇函數的性質(若奇函數的定義域內有0，則f(0)=0)的應用，靈活應用性質可以簡化運算，減少運算量.
8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖(算法流程圖)，輸出的結果是( )
A.9 B.121 C.130 D.17021
【考點】程序框圖.
【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，b，c的值，當c=16900時，不滿足條件c<2016，退出循環(huán)，輸出a的值為121.
【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得
a=1，b=2，c=3
滿足條件c<2016，a=2，b=9，c=11
滿足條件c<2016，a=9，b=121，c=130
滿足條件c<2016，a=121，b=16900，c=17021
不滿足條件c<2016，退出循環(huán)，輸出a的值為121.
故選：B.
【點評】本題主要考察了程序框圖和算法，正確理解循環(huán)結構的功能是解題的關鍵，屬于基本知識的考查.
9.雙曲線 的離心率為2，則 的最小值為( )
A. B. C.2 D.1
【考點】雙曲線的簡單性質;基本不等式.
【分析】根據基本不等式 ，只要根據雙曲線的離心率是2，求出 的值即可.
【解答】解：由于已知雙曲線的離心率是2，故 ，
解得 ，所以 的最小值是 .
故選A.
【點評】本題考查雙曲線的性質及其方程.雙曲線 的離心率e和漸近線的斜率 之間有關系 ，從這個關系可以得出雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越大.
10.(x2+3x﹣y)5的展開式中，x5y2的系數為( )
A.﹣90 B.﹣30 C.30 D.90
【考點】二項式系數的性質.
【分析】(x2+3x﹣y)5的展開式中通項公式：Tr+1= (﹣y)5﹣r(x2+3x)r，令5﹣r=2，解得r=3.展開(x2+3x)3，進而得出.
【解答】解：(x2+3x﹣y)5的展開式中通項公式：Tr+1= (﹣y)5﹣r(x2+3x)r，
令5﹣r=2，解得r=3.
∴(x2+3x)3=x6+3(x2)2•3x+3(x2)×(3x)2+(3x)3，
∴x5y2的系數= ×9=90.
故選：D.
【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
11.已知不等式組 表示平面區(qū)域D，現在往拋物線y=﹣x2+x+2與x軸圍成的封閉區(qū)域內隨機地拋擲一小顆粒，則該顆粒落到區(qū)域D中的概率為( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概型.
【分析】根據積分的知識可得先求y=﹣x2+x+2與x軸圍成的封閉區(qū)域為曲面MEN，的面積，然后根據線性規(guī)劃的知識作出平面區(qū)域D，并求面積，最后代入幾何概率的計算公式可求.
【解答】解：根據積分的知識可得，y=﹣x2+x+2與x軸圍成的封閉區(qū)域為曲面MEN，面積
=
等式組 表示平面區(qū)域D即為△AOB，其面積為
根據幾何概率的計算公式可得P=
故選：C
【點評】本題主要考查了利用積分求解曲面的面積，還考查了幾何概率的計算公式的應用，屬于基礎試題.
12.定義在R上的函數f(x)滿足(x﹣1)f′(x)≤0，且y=f(x+1)為偶函數，當|x1﹣1|<|x2﹣1|時，有( )
A.f(2﹣x1)≥f(2﹣x2) B.f(2﹣x1)=f(2﹣x2) C.f(2﹣x1)
【考點】函數的單調性與導數的關系.
【分析】①若函數f(x)為常數，可得當|x1﹣1|<|x2﹣1|時，恒有f(2﹣x1)=f(2﹣x2).②若f(x)不是常數，可得y=f(x)關于x=1對稱.當x1≥1，x2≥1，則由|x1﹣1|<|x2﹣1|
可得f(x1)>f(x2).當x1<1，x2<1時，同理可得f(x1)>f(x2).綜合①②得出結論.
【解答】解：①若f(x)=c，則f'(x)=0，此時(x﹣1)f'(x)≤0和y=f(x+1)為偶函數都成立，
此時當|x1﹣1|<|x2﹣1|時，恒有f(2﹣x1)=f(2﹣x2).
?、谌鬴(x)不是常數，因為函數y=f(x+1)為偶函數，所以y=f(x+1)=f(﹣x+1)，
即函數y=f(x)關于x=1對稱，所以f(2﹣x1)=f(x1)，f(2﹣x2)=f(x2).
當x>1時，f'(x)≤0，此時函數y=f(x)單調遞減，當x<1時，f'(x)≥0，此時函數y=f(x)單調遞增.
若x1≥1，x2≥1，則由|x1﹣1|<|x2﹣1|，得x1﹣1
同理若x1<1，x2<1，由|x1﹣1|<|x2﹣1|，得﹣(x1﹣1)<﹣(x2﹣1)，即x2
若x1，x2中一個大于1，一個小于1，不妨設x1<1，x2≥1，則﹣(x1﹣1)
可得1<2﹣x1
綜上有f(x1)>f(x2)，即f(2﹣x1)>f(2﹣x2)，
故選A.
【點評】本題主要考查函數的導數與函數的單調性的關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13.設Sn是等差數列{an}的前n項和，已知a2=3，a6=11，則S7= 49 .
【考點】等差數列的前n項和;等差數列的性質.
【分析】由等差數列的性質求得a1+a7，再用前n項和公式求得.
【解答】解：∵a2+a6=a1+a7
∴
故答案是49
【點評】本題考查等差數列的性質和等差數列前n項和公式.
14.直線y=x與函數 的圖象恰有三個公共點，則實數m的取值范圍是 ﹣1≤m<2 .
【考點】函數的零點與方程根的關系.
【分析】根據題意，求出直線y=x與射線y=2(x>m)、拋物線y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分的三個交點A、B、C，且三個交點必須都在y=f(x)圖象上，由此不難得到實數m的取值范圍.
【解答】解：根據題意，直線y=x與射線y=2(x>m)有一個交點A(2，2)，
并且與拋物線y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分有兩個交點B、C
由 ，聯解得B(﹣1，﹣1)，C(﹣2，﹣2)
∵拋物線y=x2+4x+2在(﹣∞，m]上的部分必須包含B、C兩點，
且點A(2，2)一定在射線y=2(x>m)上，才能使y=f(x)圖象與y=x有3個交點
∴實數m的取值范圍是﹣1≤m<2
故答案為：﹣1≤m<2
【點評】本題給出分段函數的圖象與直線y=x有3個交點，求參數m的取值范圍，著重考查了直線與拋物線位置關系和分段函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題.
15.設F為拋物線 的焦點，與拋物線相切于點P(﹣4，﹣4)的直線l與x軸的交點為Q，則∠PQF的值是 .
【考點】拋物線的簡單性質.
【分析】先求切線方程，從而可得Q的坐標，計算 ，可得 ，從而可得結論.
【解答】解：由題意，焦點坐標為F(0，﹣1)
先求導函數為： x，則p點處切線斜率是2，
∴與拋物線相切于點P(﹣4，﹣4)的直線l的方程為y=2x+4，交x軸于Q(﹣2，0)，
∴
∴
∴
故答案為
【點評】本題以拋物線的標準方程為載體，考查拋物線的性質，解題的關鍵是求切線方程，利用向量的數量積求解垂直問題.
16.如圖，在小正方形邊長為1的網格中畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球表面積為 34π .
【考點】簡單空間圖形的三視圖;球的體積和表面積.
【分析】由三視圖知，該幾何體是一個側面與底面垂直的三棱錐，畫出直觀圖，再建立空間直角坐標系，求出三棱錐外接球的球心與半徑，從而求出外接球的表面積.
【解答】解：由三視圖知，該幾何體是三棱錐S﹣ABC，且三棱錐的一個側面SAC與底面ABC垂直，
其直觀圖如圖所示;
由三視圖的數據可得OA=OC=2，OB=OS=4，
建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖所示;
則A(0，﹣2，0)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，S(0，0，4)，
則三棱錐外接球的球心I在平面xOz上，設I(x，0，z);
由 得，
，
解得x=z= ;
∴外接球的半徑R=|BI|= = ，
∴該三棱錐外接球的表面積S=4πR2=4π× =34π.
故答案為：34π.
【點評】本題考查了由三視圖求幾何體外接球的表面積，解題的關鍵是判斷幾何體的形狀及外接球的半徑，是綜合性題目.
三、解答題(本大題共5小題，共70分)
17.(12分)(2017•榆林一模)如圖，在△ABC中，已知點D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE.
(Ⅰ)用向量 ， 表示 .
(Ⅱ)設AB=6，AC=4，A=60°，求線段DE的長.
【考點】平面向量的基本定理及其意義;平面向量數量積的運算.
【分析】(Ⅰ)根據平面向量的線性表示與運算法則，用 ， 表示出 即可;
(Ⅱ)根據平面向量的數量積與模長公式，求出| |即可.
【解答】解：(Ⅰ)△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，
且AB=3AD，BC=2BE;
∴ = ， = = ( ﹣ )，
∴ = + = + ( ﹣ )= + ;
(Ⅱ)設AB=6，AC=4，A=60°，
則 = +2× × • +
= ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42
=7，
∴| |= ，
即線段DE的長為 .
【點評】本題考查了平面向量的線性運算以及數量積運算的應用問題，是基礎題目.
18.(12分)(2017•榆林一模)某校為提高學生身體素質，決定對畢業(yè)班的學生進行身體素質測試，每個同學共有4次測試機會，若某次測試合格就不用進行后面的測試，已知某同學每次參加測試合格的概率組成一個以 為公差的等差數列，若他參加第一次測試就通過的概率不足 ，恰好參加兩次測試通過的概率為 .
(Ⅰ)求該同學第一次參加測試就能通過的概率;
(Ⅱ)求該同學參加測試的次數的分布列和期望.
【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)設出該同學第一次測試合格的概率為a，根據題意列方程求出a的值;
(Ⅱ)該同學參加測試的次數ξ的可能取值是1、2、3、4，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望即可.
【解答】解：(Ⅰ)設該同學四次測試合格的概率依次為：
a，a+ ，a+ ，a+ (a≤ )，
則(1﹣a)(a+ )= ，即a2﹣ a+ =0，
解得a= 或a= ( > 舍去)，
所以小李第一次參加測試就合格的概率為 ;
(Ⅱ)因為P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= × = ，
P(ξ=3)= × × = ，
P(ξ=4)=1﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)= ，
所以ξ的分布列為：
ξ 1 2 3 4
P
所以ξ的數學期望為Eξ=1× +2× +3× +4× = .
【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列和期望以及相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算問題，是基礎題目.
19.(12分)(2017•榆林一模)如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1.
(1)證明：EM⊥BF;
(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
【考點】用空間向量求平面間的夾角;直線與平面垂直的性質;二面角的平面角及求法.
【分析】(1)根據線面垂直得到線與線垂直，根據直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結果.
(2)做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH.，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角.
【解答】解：(1)證明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM.∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴ ，AM=3，CM=1.∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°，即EM⊥MF(也可由勾股定理證得).
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF.
而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF.
(2)延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH.由(1)知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的
二面角的平面角.
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴ ，
由 ，得GC=2.
∵ ，
又∵△GCH∽△GBM，∴ ，則 .
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為 .
【點評】本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，考查應用向量知識解決數學問題的能力，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.
20.(12分)(2017•榆林一模)已知點P(﹣1， )是橢圓E： + =1(a>b>0)上一點，F1，F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設A，B是橢圓E上兩個動點，滿足： + =λ (0<λ<4，且λ≠2)，求直線AB的斜率.
(3)在(2)的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值.
【考點】直線與橢圓的位置關系.
【分析】(Ⅰ)由PF1⊥x軸，求出2a=|PF1|+|PF2|=4，由此能求出橢圓E的方程.
(2)設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 + =λ (0<λ<4，且λ≠2)，得x1+x2=λ﹣2，y1+y2= (2﹣λ)，再由3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0，由此能求出AB的斜率.
(3)設直線AB的方程為y= x+t，與3x2+4y2=12聯立得 x2+tx+t2﹣3=0，由此利用根的判別式、弦長公式、點到直線距離公式、三角形面積公式，求出△PAB的面積為S= × |t﹣2|，設f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2
【解答】解：(Ⅰ)∵PF1⊥x軸，∴F1(﹣1，0)，c=1，F2(1，0)，
∴|PF2|= = ，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，
∴橢圓E的方程為： =1.…(3分)
(2)證明：設A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由 + =λ (0<λ<4，且λ≠2)，得(x1+1，y1﹣ )+(x2+1，y2﹣ )=λ(1，﹣ )，
∴x1+x2=λ﹣2，y1+y2= (2﹣λ)…①…
又 ，兩式相減得3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0…..②
以①式代入可得AB的斜率k= = .…(8分)
(3)設直線AB的方程為y= x+t，與3x2+4y2=12聯立消去y并整理得 x2+tx+t2﹣3=0，△=3(4﹣t2)，
|AB|= |x1﹣x2|= × = ，
點P到直線AB的距離為d= ，
△PAB的面積為S= |AB|×d= × |t﹣2|，…(10分)
設f(t)=S2=﹣ (t4﹣4t3+16t﹣16)(﹣2
f′(t)=﹣3(t3﹣3t2+4)=﹣3(t+1)(t﹣2)2，由f′(t)=0及﹣2
當t∈(﹣2，﹣1)時，f′(t)>0，
當t∈(﹣1，2)時，f′(t)<0，f(t)=﹣1時取得最大值 ，
所以S的最大值為 .
此時x1+x2=﹣t=1=λ﹣2，λ=3.…(12分)
【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線、導數等知識點的合理運用.
21.(12分)(2017•榆林一模)已知函數f(x)=x2﹣ax+ln(x+1)(a∈R).
(1)當a=2時，求函數f(x)的極值點;
(2)若函數f(x)在區(qū)間(0，1)上恒有f′(x)>x，求實數a的取值范圍;
(3)已知c1>0，且cn+1=f′(cn)(n=1，2，…)，在(2)的條件下，證明數列{cn}是單調遞增數列.
【考點】數列與函數的綜合;利用導數研究函數的極值.
【分析】(1)先求出導函數，找到導數為0的根，在檢驗導數為0的根兩側導數的符號即可得出結論.
(2)因f′(x)=2x﹣a+ ，由f′x)>x，分參數得到：a
(3)本題考查的知識點是數學歸納法，要證明當n=1時，c2>c1成立，再假設n=k時ck+1>ck，ck>0成立，進而證明出n=k+1時ck+2>ck+1，也成立，即可得到對于任意正整數n數列{cn}是單調遞增數列.
【解答】解：(1)a=2時，fx)=x2﹣2x+ln(x+1)，則f′(x)=2x﹣2+ = ，
f′x)=0，x=± ，且x>﹣1，
當x∈(﹣1，﹣ )∪( ，+∞)時f′x)>0，當x∈(﹣ ， )時，f′x)<0，
所以，函f(x)的極大值點x=﹣ ，極小值點x= .
(2)因f′(x)=2x﹣a+ ，f′x)>x，
2x﹣a+ >x，
即a
y=x+ =x+1+ ﹣1≥1(當且僅x=0時等號成立)，
∴ymin=1.∴a≤1
(3)①當n=1時，c2=f′(x)=2c1﹣a+ ，
又∵函y=2x+ 當x>1時單調遞增，c2﹣c1=c1﹣a+ =c1+1+ ﹣(a+1)>2﹣(a+1)=1﹣a≥0，
∴c2>c1，即n=1時結論成立.
?、诩僭On=k時，ck+1>ck，ck>0則n=k+1時，
ck+1=f′(ck)=2ck﹣a+ ，
ck+2﹣ck+1=ck+1﹣a+ =ck+1+1+ ﹣(a+1)>2﹣(a+1)=1﹣a≥0，
ck+2>ck+1，即n=k+1時結論成立.由①，②知數{cn}是單調遞增數列.
【點評】本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的極值、數列與函數的綜合、數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想.屬于基礎題.
[選修4-4：坐標系與參數方程]
22.(10分)(2017•榆林一模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1： (φ為參數，實數a>0)，曲線C2： (φ為參數，實數b>0).在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α(ρ≥0，0≤α≤ )與C1交于O、A兩點，與C2交于O、B兩點.當α=0時，|OA|=1;當α= 時，|OB|=2.
(Ⅰ)求a，b的值;
(Ⅱ)求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值.
【考點】參數方程化成普通方程;簡單曲線的極坐標方程.
【分析】(I)由曲線C1： (φ為參數，實數a>0)，利用cos2φ+sin2φ=1即可化為普通方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式即可得出極坐標方程，進而得出a的值.同理可得b的值.
(II)由(I)可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ.可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= +1，利用三角函數的單調性與值域即可得出.
【解答】解：(Ⅰ)由曲線C1： (φ為參數，實數a>0)，
化為普通方程為(x﹣a)2+y2=a2，展開為：x2+y2﹣2ax=0，
其極坐標方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當θ=0時，|OA|=ρ=1，∴a= .
曲線C2： (φ為參數，實數b>0)，
化為普通方程為x2+(y﹣b)2=b2，展開可得極坐標方程為ρ=2bsinθ，
由題意可得當 時，|OB|=ρ=2，∴b=1.
(Ⅱ)由(I)可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ.
∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1，
∵2θ+ ∈ ，∴ +1的最大值為 +1，
當2θ+ = 時，θ= 時取到最大值.
【點評】本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數方程化為普通方程、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.
[選修4-5：不等式選講]
23.(2017•榆林一模)設函數f(x)=|2x+a|+|x﹣ |(x∈R，實數a<0).
(Ⅰ)若f(0)> ，求實數a的取值范圍;
(Ⅱ)求證：f(x)≥ .
【考點】絕對值不等式的解法;分段函數的應用.
【分析】(Ⅰ)去掉絕對值號，解關于a的不等式組，求出a的范圍即可;(Ⅱ)通過討論x的范圍，結合基本不等式的性質求出求出f(x)的最小值即可.
【解答】(Ⅰ)解：∵a<0，∴f(0)=|a|+|﹣ |=﹣a﹣ > ，
即a2+ a+1>0，
解得a<﹣2或﹣
(Ⅱ)證明：f(x)=|2x+a|+|x﹣ |= ，
當x≥﹣ 時，f(x)≥﹣ ﹣ ;
當
當x≤ 時，f(x)≥﹣a﹣ ，
∴f(x)min=﹣ ﹣ ≥2 = ，
當且僅當﹣ =﹣ 即a=﹣ 時取等號，
∴f(x)≥ .
【點評】本題考查了基本不等式的性質，考查解絕對值不等式問題，是一道中檔題.
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