高二數(shù)學(xué)推理知識(shí)點(diǎn)大總結(jié)
高二數(shù)學(xué)推理知識(shí)點(diǎn)大總結(jié)
高中數(shù)學(xué)的推理要么不出，要么直接在出一個(gè)答題占據(jù)很多分?jǐn)?shù)，但是做這個(gè)題目又很花費(fèi)時(shí)間，原因是因?yàn)閷?duì)知識(shí)點(diǎn)不清楚，小編在此整理了相關(guān)資料，希望能幫助到您。
一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
二、合情推理
(一)歸納推理
1. 歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。
2. 歸納推理的一般步驟：
第一步，通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);
第二步，從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)。
題型1：用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律
(1)觀察：
對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，試寫出使成立的一個(gè)條件可以是 ____.
點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故
(2)蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖。其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)。則
【解題思路】找出的關(guān)系式
[解析]
總結(jié)：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系
(二)類比推理
1. 類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理。簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。
2. 類比推理的一般步驟：
第一步：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似特征;
第二步：用一類對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類對(duì)象的特征，從而得出一個(gè)猜想.
題型2：用類比推理猜想新的命題
(1)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______.
【解題思路】從方法的類比入手
[解析]
原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，
即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高
總結(jié)：
?、?不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比。
?、?類比推理常見的情形有：平面向空間類比;低維向高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比;圓錐曲線間的類比等
(三)合情推理
1. 定義：歸納推理和類比推理都有是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。簡(jiǎn)言之，合情推理就是合乎情理的推理。
2. 推理的過程：
思考探究：
(1)歸納推理與類比推理有何區(qū)別與聯(lián)系?
?、?歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。
?、?類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。
三、演繹推理
(一)含義：
1. 演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論。演繹推理又叫邏輯推理。
2. 演繹推理的特點(diǎn)是由一般到特殊的推理。
(二)演繹推理的模式
1. 演繹推理的模式采用“三段論”：
(1)大前提——已知的一般原理(M是P);
(2)小前提——所研究的特殊情況(S是M);
(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷(S是P)。
2. 從集合的角度看演繹推理：
(1)大前提：x∈M且x具有性質(zhì)P;
(2)小前提：y∈S且SM
(3)結(jié)論：y具有性質(zhì)P
(三)演繹推理與合情推理
合情推理與演繹推理的關(guān)系：
1. 從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理;演繹推理是由一般到特殊的推理。
2. 從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。
四、直接證明與間接證明
(一)三種證明方法：綜合法、分析法、反證法
分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件。
綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題。對(duì)于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。
反證法：它是一種間接的證明方法。用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：
(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;
(2) 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止
(3) 斷言假設(shè)不成立
(4)肯定原命題的結(jié)論成立
用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。
重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題
考點(diǎn)1：綜合法
在銳角三角形中，求證：
[解析]
考點(diǎn)2：分析法
已知，求證
[解析]
總結(jié)：注意分析法的“格式”是“要證—只需證—”，而不是“因?yàn)?mdash;所以—”
考點(diǎn)3：反證法
已知，證明方程沒有負(fù)數(shù)根
【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾
[解析]
總結(jié)：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多
五、數(shù)學(xué)歸納法
1. 數(shù)學(xué)歸納法的定義：
一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：
(1)證明當(dāng)時(shí)命題成立;
(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)命題也成立。
在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立。這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法。
2. 數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)：
無窮的歸納→有限的演繹(遞推關(guān)系)
3. 數(shù)學(xué)歸納法步驟：
(1)(遞推奠基)：當(dāng)n取第一個(gè)值結(jié)論正確;
(2)(遞推歸納)：假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論正確;(歸納假設(shè))
證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確。(歸納證明)
由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從開始的所有正整數(shù)n都正確。
題型1：已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)時(shí)命題為真，則還需證明( )
A. n=k+1時(shí)命題成立
B. n=k+2時(shí)命題成立
C. n=2k+2時(shí)命題成立
D. n=2(k+2)時(shí)命題成立
[解析]因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選B
總結(jié)：
用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面：
(1)n的范圍以及遞推的起點(diǎn)
(2)觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)(或其它)，確定n=k時(shí)命題的形式
(3)從的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加(乘)上的式子
題型2：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
[解析]
總結(jié)：
(1)數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行;
(2)歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形;
(3)由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面。
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