勾股定理知識(shí)點(diǎn)
勾股定理,我們?cè)诟咧械臅r(shí)候?qū)W習(xí)過(guò),它在中國(guó)的九章算術(shù)上也有記載,相信大家不會(huì)陌生。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的勾股定理,供大家參閱!
勾股定理定義
在平面上的一個(gè)直角三角形中,兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是a和b,斜邊長(zhǎng)度是c,那么可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá):
勾股定理是余弦定理中的一個(gè)特例。
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理,指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形,并且直角邊中較小者為勾,另一長(zhǎng)直角邊為股,斜邊為弦,所以稱這個(gè)定理為勾股定理,也有人稱商高定理。
勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法,是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一,也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó),商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。
勾股定理意義
1.勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端;
2.勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理,即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理;
3.勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn),引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī),大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解;
4.勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程,它引出了費(fèi)馬大定理;
5.勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理,并有巨大的實(shí)用價(jià)值.這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠,被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”,而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.1971年5月15日,尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票,這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的,勾股定理是其中之首。
勾股定理推廣
勾股數(shù)組
勾股數(shù)組是滿足勾股定理 的正整數(shù)組,其中的稱為勾股數(shù)。例如就是一組勾股數(shù)組。
任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式: ,,,其中 均為正整數(shù),且。
定理用途
已知直角三角形兩邊求解第三邊,或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度,證明該三角形為直角三角形或用來(lái)證明該三角形內(nèi)兩邊垂直。利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用。
勾股定理推導(dǎo)
青朱出入圖
青朱出入圖,是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法,特色鮮明、通俗易懂。
劉徽描述此圖,“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類,因就其余不動(dòng)也,合成弦方之冪。開(kāi)方除之,即弦也。”其大意為,一個(gè)任意直角三角形,以勾寬作紅色正方形即朱方,以股長(zhǎng)作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個(gè)正方形對(duì)齊底邊排列,再以盈補(bǔ)虛,分割線內(nèi)不動(dòng),線外則“各從其類”,以合成弦的正方形即弦方,弦方開(kāi)方即為弦長(zhǎng)。
歐幾里得證法
在歐幾里得的《幾何原本》一書(shū)中給出勾股定理的以下證明。設(shè)△ABC為一直角三角形,其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊,使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。
在這個(gè)定理的證明中,我們需要如下四個(gè)輔助定理:
如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等,則兩三角形全等。(SAS)
三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。
任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。
任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積(據(jù)輔助定理3)。
證明的思路為:從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊,使其垂直于對(duì)邊。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,把上方的兩個(gè)正方形,通過(guò)等高同底的三角形,以其面積關(guān)系,轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。
設(shè)△ABC為一直角三角形,其直角為∠CAB。
其邊為BC、AB和CA,依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
畫(huà)出過(guò)點(diǎn)A之BD、CE的平行線,分別垂直BC和DE于K、L。
分別連接CF、AD,形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共線,同理可證B、A和H共線。
∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。
因?yàn)锳B=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。
因?yàn)锳與K和L在同一直線上,所以四邊形BDLK=2△ABD。
因?yàn)镃、A和G在同一直線上,所以正方形BAGF=2△FBC。
因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。
同理可證,四邊形CKLE=ACIH=AC²。
把這兩個(gè)結(jié)果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC
由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
由于CBDE是個(gè)正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。
此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書(shū)第1.47節(jié)所提出的。
由于這個(gè)定理的證明依賴于平行公理,而且從這個(gè)定理可以推出平行公理,很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件,一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。
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