初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識題庫
做八年級數(shù)學(xué)單元試題要多練、多思;做題目應(yīng)知難而進(jìn)。這是學(xué)習(xí)啦小編整理的初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識題庫，希望你能從中得到感悟!
初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識試題
一、填空題(本題有10個(gè)小題，每小題4分，共40分)
1.三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形
2.已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
3.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
4.如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為( )
A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°
5.如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E.則∠C等于( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
6.到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的( )
A.三條中線交點(diǎn) B.三條角平分線交點(diǎn)
C.三條高的交點(diǎn) D.三條邊的垂直平分線交點(diǎn)
7.如圖，△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為( )
A.35° B.25° C.45° D.55°
8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是( )
A.45° B.54° C.40° D.50°
10.已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點(diǎn)O.現(xiàn)有以下結(jié)論：
?、貲E∥BC;②OD= BC;③AO=FO;④S△AOD= .
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、認(rèn)真填一填(本題有8個(gè)小題，每小題4分，共32分)
11.若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有 個(gè).
12.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為 .
13.在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，連接DE，若BC=4，則DE= .
14.如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，測得MN=32m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是 m.
15.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= .
16.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC= °.
17.如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3= 度，∠4+∠5+∠6= 度.
18.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則
(1)θ1= ;
(2)θn= .
三、解答題(本題有8個(gè)小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟.)
19.已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC.
求證：BC=DE.
20.三角形內(nèi)角和等于 .
(2)請證明以上命題.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE.
22.如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C.
(1)尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D(作圖不寫作法，但保留作圖痕跡);
(2)猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”.請你通過計(jì)算說明猜想是否成立.
23.已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD.
求證：(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明.
24.在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P.求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段.
25.問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.
若∠A=80°，則∠BEC= ;若∠A=n°，則∠BEC= .
探究：
(1)如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC= ;
(2)如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A=n°，則∠BEC= ;
(3)如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A=n°，則∠BEC= .
26.【問題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ，則△ABC≌△DEF.
初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識參考答案
一、填空題(本題有10個(gè)小題，每小題4分，共40分)
1.三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是( )
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】三角形三個(gè)內(nèi)角之和是180°，三角形的一個(gè)角等于其它兩個(gè)角的差，列出兩個(gè)方程，即可求出答案.
【解答】解：設(shè)三角形的三個(gè)角分別為：a°、b°、c°，
則由題意得： ，
解得：a=90，
故這個(gè)三角形是直角三角形.故選：B.
【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，可利用方程進(jìn)行求解.關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°.
2.已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是( )
A.3 B.5 C.7 D.9
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系;解一元一次不等式組.
【分析】已知兩邊時(shí)，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和.這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值.
【解答】解：5﹣4
【點(diǎn)評】已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.
3.如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能.
【解答】解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項(xiàng)不符合題意;
B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項(xiàng)不符合題意;
C、添加∠BCA=∠DCA時(shí)，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項(xiàng)符合題意;
D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項(xiàng)不符合題意;
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
4.如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為( )
A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EOB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可.
【解答】解：設(shè)AB、CE交于點(diǎn)O.
∵AB∥CD，∠C=65°，
∴∠EOB=∠C=65°，
∵∠E=30°，
∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠EOB的度數(shù)和得出∠A=∠EOB﹣∠E.
5.如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E.則∠C等于( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【專題】計(jì)算題.
【分析】因?yàn)锳B∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC.又因?yàn)?ang;C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C.
【解答】解：∵AB∥CD，∠A=50°，
∴∠A=∠AOC(內(nèi)錯(cuò)角相等)，
又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，
∴∠C=50°÷2=25°.
故選B.
【點(diǎn)評】本題比較簡單，考查的是平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系.
6.到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的( )
A.三條中線交點(diǎn) B.三條角平分線交點(diǎn)
C.三條高的交點(diǎn) D.三條邊的垂直平分線交點(diǎn)
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，而已知一點(diǎn)到△ABC的三條邊距離相等，那么這樣的點(diǎn)在這個(gè)三角形的三條角平分線上，由此即可作出選擇.
【解答】解：∵到△ABC的三條邊距離相等，
∴這點(diǎn)在這個(gè)三角形三條角平分線上，
即這點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn).
故選B.
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)：三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.
7.如圖，△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為( )
A.35° B.25° C.45° D.55°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠EDC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù).
【解答】解：∵∠1=145°，
∴∠EDC=180°﹣145°=35°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDC=35°，
∵△ABC中，∠A=90°，∠C=35°，
∴∠B=180°﹣90°﹣35°=55°.
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.
8.如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】因?yàn)锳B=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點(diǎn)，BF=F，又因?yàn)锽D=EC，所以有BE=DC，DF=FE，然后根據(jù)SSS或HL可得.
【解答】解：因?yàn)锳B=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點(diǎn)，BF=FC，又因?yàn)锽D=EC，所以有BE=DC，DF=FE，
因?yàn)锳B=AC，AF⊥BC，AF=AF，根據(jù)HL，可得△ABF≌△AFC;
AF=AF，DF=EF，AF⊥DE，根據(jù)HL，可得△ADF≌△AEF，AD=AE;
AD=AE，BD=EC，AB=AC，根據(jù)SSS可得△ABD≌△ACE;
AF=AF，DF=EF，AF⊥BC，根據(jù)HL可得△ADF≌△AEF;
AB=AC，AD=AE，BE=CD，根據(jù)SSS可得△ABE≌△ACD;所以有4對全等三角形.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定;要注意的問題是：不要忽視△ABE≌△ACD.做題時(shí)要從已知條件開始思考，結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定方法由易到難逐個(gè)尋找，做到不重不漏.
9.如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是( )
A.45° B.54° C.40° D.50°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠BAD.
【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°.
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵.
10.已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點(diǎn)O.現(xiàn)有以下結(jié)論：
?、貲E∥BC;②OD= BC;③AO=FO;④S△AOD= .
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點(diǎn)】三角形中位線定理;相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】①根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行判斷;
?、谟上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的對應(yīng)邊成比例、三角形中線的定義進(jìn)行判斷;
?、塾上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行判斷;
?、苡上嗨迫切巍鰽DO∽△ABF的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行判斷.
【解答】解：①如圖，∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC.
故①正確;
②如圖，∵由①知，DE∥BC，
∴△ADO∽△ABF，
∴ = = ，
則OD= BF.
又AF是BC邊上的中線，
∴BF=CF= BC，
∴OD= BC.
故②正確;
?、邸哂散谥?，△ADO∽△ABF，
∴ = = ，
∴AO= AF，
∴AO=FO.
故③正確;
?、堋哂散谥鰽DO∽△ABF，
∴ =( )2=( )2= ，
∴S△AOD= S△ABF.
又∵AF是BC邊上的中線，
∴S△ABF= S△ABC，
∴S△AOD= S△ABC.
故④錯(cuò)誤.
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，共3個(gè).
故選：C.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì).此題利用了“相似三角形的對應(yīng)邊成比例、相似三角形的面積之比等于相似比的平方”的性質(zhì).
二、認(rèn)真填一填(本題有8個(gè)小題，每小題4分，共32分)
11.若三角形的兩邊長分別為3、4，且周長為整數(shù)，這樣的三角形共有 5 個(gè).
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系;一元一次不等式組的整數(shù)解.
【分析】設(shè)第三邊的長為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系的定理可以確定x的取值范圍，進(jìn)而得到答案.
【解答】解：設(shè)第三邊的長為x，則
4﹣3
所以1
∵x為整數(shù)，
∴x可取2，3，4，5，6.
故答案為5.
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.三角形的兩邊差小于第三邊.
12.如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為 130° .
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠C=∠A，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.
【解答】解：∵△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°.
故答案為：130°.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上確定出∠C=∠A是解題的關(guān)鍵.
13.在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，連接DE，若BC=4，則DE= 2 .
【考點(diǎn)】三角形中位線定理.
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE= BC.
【解答】解：∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE= BC= ×4=2.
故答案為：2.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵.
14.如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，測得MN=32m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是 64 m.
【考點(diǎn)】三角形中位線定理.
【專題】應(yīng)用題.
【分析】根據(jù)M、N是OA、OB的中點(diǎn)，即MN是△OAB的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解.
【解答】解：∵M(jìn)、N是OA、OB的中點(diǎn)，即MN是△OAB的中位線，
∴MN= AB，
∴AB=2MN=2×32=64(m).
故答案為：64.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，正確理解定理是解題的關(guān)鍵.
15.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF= 6 .
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6.
【解答】證明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF=6.
故答案是：6.
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握.全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
16.如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC= 136 °.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);三角形中位線定理.
【分析】先利用內(nèi)角和定理求∠C，根據(jù)三角形的中位線定理可知MN∥BC，由平行線的性質(zhì)可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差關(guān)系求∠A′NC.
【解答】解：∵∠A=28°，∠B=120°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣28°﹣130°=22°，
∵M(jìn)N是三角形的中位線，
∴MN∥BC，
∴∠A′NM=∠C=22°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣22°=158°，
∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=158°﹣22°=136°.
故答案為：136.
【點(diǎn)評】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
17.如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3= 180 度，∠4+∠5+∠6= 360 度.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角和定理解答.
【解答】解：∠1+∠2+∠3=180°，
∠4+∠5+∠6=360°.
故答案為：180，360.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角和定理，熟記定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.
18.如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θn，則
(1)θ1= ;
(2)θn= .
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題;規(guī)律型.
【分析】設(shè)∠A1B1O=x，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1= ;同理求得θ2= ;即可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，按照此規(guī)律即可求得答案.
【解答】解：(1)設(shè)∠A1B1O=x，
則α+2x=180°，x=180°﹣θ1，
∴θ1= ;
(2)設(shè)∠A2B2B1=y，
則θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，
?、?times;2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，
∴θ2= ;
…
θn= .
故答案為：(1) ;(2)θn= .
【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是總結(jié)歸納出規(guī)律.
三、解答題(本題有8個(gè)小題，共78分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或推演步驟.)
19.已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC.
求證：BC=DE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)由兩個(gè)角和其中一角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等證明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到BC=DE.
【解答】證明：∵AB∥EC，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CDE中， ，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.
20.(1)三角形內(nèi)角和等于 180° .
(2)請證明以上命題.
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;平行線的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論即可;
(2)畫出△ABC，過點(diǎn)C作CF∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通過等量代換即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)三角形內(nèi)角和等于180°.
故答案為：180°;
(2)已知：如圖所示的△ABC，
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
證明：過點(diǎn)C作CF∥AB，
∵CF∥AB，
∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，
∵∠1+∠2=∠BCF，
∴∠B+∠1+∠2=180°，
∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形內(nèi)角和等于180°.
【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵.
21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB.
(1)求∠CAD的度數(shù);
(2)延長AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】(1)利用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的性質(zhì)和角平分的性質(zhì)進(jìn)行解答;
(2)通過證△ACD≌△ECD來推知DA=DE.
【解答】(1)解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD= ∠CAB=30°，即∠CAD=30°;
(2)證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD.
在△ACD與△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴DA=DE.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.
22.(2013秋•云浮期末)如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C.
(1)尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D(作圖不寫作法，但保留作圖痕跡);
(2)猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”.請你通過計(jì)算說明猜想是否成立.
【考點(diǎn)】作圖—基本作圖;等腰三角形的判定.
【分析】(1)利用尺規(guī)作圖平分已知角即可;
(2)利用等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)分別得到AD=DB，BD=BC即可得到等腰三角形.
【解答】解：(1)如圖所示：BD即為所求;
(2)∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°﹣36°)÷2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，
∴AD=DB，BD=BC，
∴△ABD和△BDC都是等腰三角形.
【點(diǎn)評】本題考查了基本作圖中的平分已知角及等腰三角形的判定的知識，屬于基礎(chǔ)題，難度不大.
23.(2015•黃岡模擬)已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD.
求證：(1)△BAD≌△CAE;(2)試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;探究型.
【分析】要證(1)△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得.(2)BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力.要證BD⊥CE，需證∠BDE=90°，需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供.
【解答】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE.
證明如下：由(1)知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E.
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°.
∴∠ADB+∠ADE=90°.
即∠BDE=90°.
∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì);全等問題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可.做題時(shí)，有時(shí)需要先猜后證.
24.(2014•杭州)在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P.求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】幾何圖形問題.
【分析】可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF.
【解答】解：在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的對應(yīng)角相等)，
∴BF=CE(全等三角形的對應(yīng)邊相等)，
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF，
在△BEP和△CFP中，
，
∴△BEP≌△CFP(AAS)，
∴PB=PC，
∵BF=CE，
∴PE=PF，
∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，難度不大.
25.問題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB.
若∠A=80°，則∠BEC= 130° ;若∠A=n°，則∠BEC= 90°+ n° .
探究：
(1)如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A=n°，則∠BEC= 60°+ n° ;
(2)如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A=n°，則∠BEC= n° ;
(3)如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A=n°，則∠BEC= 90°﹣ n° .
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理;三角形的外角性質(zhì).
【分析】試題分析：問題：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可.
探究：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三等分角的意義求解即可.
(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關(guān)系.
(3)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.
【解答】解：問題：如圖1，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB(角平分線的定義)，
∴∠BEC=180°﹣(∠EBC+∠ECB)
=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)
=180°﹣ (180°﹣∠A)
=90°+ ∠A;
若∠A=80°，則∠BEC=130°;若∠A=n°，則∠BEC=90°+ n°.
探究：(1)如圖2，
∵線段BD、BE把∠ABC三等分，
∴∠EBC= ∠ABC;
又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，
∴∠ECB= ∠ACB;
∴∠EBC+∠ECB= (∠ABC+∠ACB)= (180°﹣∠A)，
∴∠BEC=180°﹣ (180°﹣∠A)=60°+∠A，
若∠A=n°，則∠BEC=60°+ n°;
(2)如圖3，
∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，
∴∠EBC= ∠ABC，∠ACE= ∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠ACE= (∠A+∠ABC)= ∠A+∠EBC，
∵∠ACM是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠ACE﹣∠EBC= ∠A+∠EBC﹣∠EBC= ∠A;
若∠A=n°，則∠BEC= n°;
(3)如圖4，
∵∠EBC= (∠A+∠ACB)，∠ECB= (∠A+∠ABC)，
∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB，=180°﹣ (∠A+∠ACB)﹣ (∠A+∠ABC)
=180°﹣ ∠A﹣ (∠A+∠ABC+∠ACB)=90°﹣∠A=90°﹣ n°.
故答案為問題：130°;90°+ n°;探究：(1) ;(2) n°;(3)90°﹣ n°.
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.
26.(2014•南京)【問題提出】
學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.
【深入探究】
第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(1)如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù) HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.
(2)如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF.
第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)
(4)∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF?請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A ，則△ABC≌△DEF.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.
【專題】壓軸題;探究型.
【分析】(1)根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明;
(2)過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等;
(3)以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等;
(4)根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可.
【解答】(1)解：HL;
(2)證明：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長線于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(3)解：如圖，△DEF和△ABC不全等;
(4)解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF.
故答案為：(1)HL;(4)∠B≥∠A.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì).
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初中八年級數(shù)學(xué)上冊第1章三角形的初步認(rèn)識題庫
