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高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

時(shí)間: 鳳婷983 分享

  數(shù)列通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn),那么數(shù)列通項(xiàng)公式的有什么求解方法呢?下面由學(xué)習(xí)啦小編告訴你答案。

  高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法總結(jié)

  一、一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題

  一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式:

  1.

  這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和).

  當(dāng)

  為常數(shù)時(shí),通過累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.而當(dāng)

  為等差數(shù)列時(shí),則

  為二階等差數(shù)列,其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為

  形式,注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別,后者是

  ,其常數(shù)項(xiàng)一定為0. 2.

  這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{g(n)}可求前n項(xiàng)積).

  當(dāng)

  為常數(shù)時(shí),用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.

  ; 這類數(shù)列通常可轉(zhuǎn)化為

  ,或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式

  . 例1已知數(shù)列

  中,

  ,求

  的通項(xiàng)公式. 解析:解法一:轉(zhuǎn)化為

  型遞推數(shù)列. ∵

  ∴

  又

  ,故數(shù)列{

  }是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.∴

  ,即

  . 解法二:轉(zhuǎn)化為

  型遞推數(shù)列. ∵

  =2xn-1+1(n≥2) ?、佟 ?there4;

  =2xn+1 ?、?②-①,得

  (n≥2),故{

 ?。鞘醉?xiàng)為x2-x1=2,公比為2的等比數(shù)列,即

  ,再用累加法得

  .

  解法三:用迭代法.

  當(dāng)然,此題也可用歸納猜想法求之,但要用數(shù)學(xué)歸納法證明. 例2 已知函數(shù)

  的反函數(shù)為

  求數(shù)列

  的通項(xiàng)公式. 解析:由已知得

  ,則

  . 令

  =,則

  .比較系數(shù),得

  . 即有

  .∴數(shù)列{

 ?。且?/p>

  為首項(xiàng),

  為公比的等比數(shù)列,∴

  ,故

  .

  評(píng)析:此題亦可采用歸納猜想得出通項(xiàng)公式,而后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

  (4)

  若取倒數(shù),得

  ,令

  ,從而轉(zhuǎn)化為(1)型而求之. (5)

  ; 這類數(shù)列可變換成

  ,令

  ,則轉(zhuǎn)化為(1)型一階線性遞推公式. 例3 設(shè)數(shù)列

  求數(shù)列

  的通項(xiàng)公式. 解析:∵

  ,兩邊同除以

  ,得

  .令

  ,則有

  .于是,得

  ,∴數(shù)列

  是以首項(xiàng)為

  ,公比為

  的等比數(shù)列,故

  ,即

  ,從而

  . 例4 設(shè)

  求數(shù)列

  的通項(xiàng)公式. 解析:設(shè)

  用

  代入,可解出

  . ∴

  是以公比為-2,首項(xiàng)為

  的等比數(shù)列. ∴

  ,即

  . (6)

  這類數(shù)列可取對(duì)數(shù)得

  ,從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.

  二、可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列

  例5 設(shè)數(shù)列

  求數(shù)列

  的通項(xiàng)公式. 解析:由

  可得

  設(shè)

  故

  即

  用累加法得

  或

  例6 在數(shù)列

  求數(shù)列

  的通項(xiàng)公式.

  解析:可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列.

  令

  使數(shù)列

  是以

  為公比的等比數(shù)列(

  待定). 即

  ∴

  對(duì)照已給遞推式, 有

  即

  的兩個(gè)實(shí)根. 從而

  ∴

 ?、?或

  ② 由式①得

  ;由式②得

  . 消去

  . 例7 在數(shù)列

  求

  . 解析:由

 ?、伲?/p>

 ?、? 式②+式①,得

  ,從而有

  .∴數(shù)列

  是以6為其周期.故

  =

  =-1.

  三、特殊的n階遞推數(shù)列

  例8 已知數(shù)列

  滿足

  ,求

  的通項(xiàng)公式. 解析:∵

  ① ∴

 ?、?②-①,得

  .∴

  故有

  將這幾個(gè)式子累乘,得

  又

  例9 數(shù)列{

 ?。凉M足

  ,求數(shù)列{

 ?。耐?xiàng)公式. 解析:由

 ?、?,得

 ?、? 式①-式②,得

  ,或

  ,故有

  . ∴

  ,

  . 將上面幾個(gè)式子累乘,得

  ,即

  . ∵

  也滿足上式,∴

  .高中數(shù)學(xué)常見數(shù)列通項(xiàng)公式

  累加法

  遞推公式為a(n+1)=an+f(n),且f(n)可以求和

  例:數(shù)列{an},滿足a1=1/2,a(n+1)=an+1/(4n^2-1),求{an}通項(xiàng)公式

  解:a(n+1)=an+1/(4n^2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

  ∴an=a1+(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))

  ∴an=1/2+1/2 (1-1/(2n-1))=(4n-3)/(4n-2)

  累乘法

  遞推公式為a(n+1)/an=f(n),且f(n)可求積

  例:數(shù)列{an}滿足a(n+1)=(n+2)/n an,且a1=4,求an

  解:an/a1=an/a(n-1)×a(n-1)/a(n-2)×……×a2/a1=2n(n+1)

  構(gòu)造法

  將非等差數(shù)列、等比數(shù)列,轉(zhuǎn)換成相關(guān)的等差等比數(shù)列

  連加相減,連乘相除

  例:{an}滿足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

  解:令bn=a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2)

  nan=bn-b(n-1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

  ∴an=3(n+1)
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