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高中導數公式大全_高中導數常用公式

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高中導數公式大全_高中導數常用公式

  導數是微積分中的重要基礎概念,大家對于高中導數常用公式了解多少呢?為此學習啦小編為大家推薦了一些高中導數公式,歡迎大家參閱。

  導數的定義

  當自變量的增量Δx=x-x0,Δx→0時函數增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數f在x0點可導,稱之為f在x0點的導數(或變化率).

  函數y=f(x)在x0點的導數f'(x0)的幾何意義:表示函數曲線在P0[x0,f(x0)] 點的切線斜率(導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率)。

  一般地,我們得出用函數的導數來判斷函數的增減性(單調性)的法則:設y=f(x )在(a,b)內可導。如果在(a,b)內,f'(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間是單調增加的(該點切線斜率增大,函數曲線變得“陡峭”,呈上升狀)。如果在(a,b)內,f'(x)<0,則f(x)在這個區(qū)間是單調減小的。所以,當f'(x)=0時,y=f(x )有極大值或極小值,極大值中最大者是最大值,極小值中最小者是最小值

  求導數的步驟

  求函數y=f(x)在x0處導數的步驟:

 ?、?求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均變化率 ③ 取極限,得導數。

  導數公式:

 ?、?C'=0(C為常數函數); ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟記1/X的導數 ③ (sinx)' = cosx; (cosx)' = - sinx; (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx•secx (cscx)'=-cotx•cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④ (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx•sechx (cschx)'=-cothx•cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x; (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數) (Inx)' = 1/x(ln為自然對數) (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2)

  高中導數常用公式

  1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變量,而g'(x)中把x看作變量』

  2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

  3.y=f(x)的反函數是x=g(y),則有y'=1/x'

  證:1.顯而易見,y=c是一條平行于x軸的直線,所以處處的切線都是平行于x的,故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

  2.這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果后能用復合函數的求導給予證明。

  3.y=a^x,

  ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

  ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

  如果直接令⊿x→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道:⊿x=loga(1+β)。

  所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

  顯然,當⊿x→0時,β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

  把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

  可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x。

  4.y=logax

  ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

  ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

  因為當⊿x→0時,⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

  lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

  可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x。

  這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

  所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

  5.y=sinx

  ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

  ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

  所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

  6.類似地,可以導出y=cosx y'=-sinx。

  7.y=tanx=sinx/cosx

  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

  8.y=cotx=cosx/sinx

  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx

  x=siny

  x'=cosy

  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

  10.y=arccosx

  x=cosy

  x'=-siny

  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx

  x=tany

  x'=1/cos^2y

  y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

  12.y=arccotx

  x=coty

  x'=-1/sin^2y

  y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

  導數的應用

  1.函數的單調性

  (1)利用導數的符號判斷函數的增減性 利用導數的符號判斷函數的增減性,這是導數幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應用,它充分體現了數形結合的思想. 一般地,在某個區(qū)間(a,b)內,如果f'(x)>0,那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞增;如果f'(x)<0,那么函數y=f(x)在這個區(qū)間內單調遞減. 如果在某個區(qū)間內恒有f'(x)=0,則f(x)是常數函數. 注意:在某個區(qū)間內,f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數的充分條件,而不是必要條件,如f(x)=x3在R內是增函數,但x=0時f'(x)=0。也就是說,如果已知f(x)為增函數,解題時就必須寫f'(x)≥0。 (2)求函數單調區(qū)間的步驟(不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創(chuàng)新何言?1.定義最基礎求法2.復合函數單調性) ①確定f(x)的定義域; ②求導數; ③由(或)解出相應的x的范圍.當f'(x)>0時,f(x)在相應區(qū)間上是增函數;當f'(x)<0時,f(x)在相應區(qū)間上是減函數.

  2.函數的極值

  (1)函數的極值的判定 ①如果在兩側符號相同,則不是f(x)的極值點; ②如果在附近的左右側符號不同,那么,是極大值或極小值.

  3.求函數極值的步驟

  ①確定函數的定義域; ②求導數; ③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點,即求方程及的所有實根; ④檢查在駐點左右的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值.

  4.函數的最值

  (1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a,b)內一點處取得的,顯然這個最大值(或最小值)同時是個極大值(或極小值),它是f(x)在(a,b)內所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能在[a,b]的端點a或b處取得,極值與最值是兩個不同的概念. (2)求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a,b)內的極值; ②將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.

  5.生活中的優(yōu)化問題

  生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題稱為優(yōu)化問題,優(yōu)化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非常現實的意義.這些問題通??梢赞D化為數學中的函數問題,進而轉化為求函數的最大(小)值問題.

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