高三數(shù)學(xué)理科三角恒等變形復(fù)習(xí)測(cè)試題(含答案)
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高三數(shù)學(xué)理科三角恒等變形復(fù)習(xí)測(cè)試題及答案解析
第一節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
A組
1.已知sinα=55,sin(α-β)=-1010,α、β均為銳角,則β等于________.
解析:∵α、β均為銳角,∴-π2<α-β<π2,∴cos(α-β)=1-sin2(α-β)=31010.
∵sinα=55,∴cosα= 1-(55)2=255.
∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=22.
∵0<β<π2,∴β=π4.答案:π4
2.已知0<α<π2<β<π,cosα=35,sin(α+β)=-35,則cosβ的值為________.
解析:∵0<α<π2,π2<β<π,∴π2<α+β<32π.∴sinα=45,cos(α+β)=-45,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-45)×35+(-35)×45=-2425.答案:-2425
3.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的兩根,則sin(α+β)cos(α-β)=________.
解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,則sin(α+β)cos(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ+sinαsinβ
=tanα+tanβ1+tanαtanβ=31-3=-32.答案:-32
4.已知cos(α-π6)+sinα=453,則sin(α+7π6)的值是___.
解析:由已知得32cosα+12sinα+sinα=453,即12cosα+32sinα=45,
得sin(α+π6)=45,sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.答案:-45
5.(原創(chuàng)題)定義運(yùn)算a?b=a2-ab-b2,則sinπ12?cosπ12=________.
解析:sinπ12?cosπ12=sin2π12-sinπ12cosπ12-cos2π12=-(cos2π12-sin2π12)-12×2sinπ12cosπ12=-cosπ6-12sinπ6=-1+234.答案:-1+234
6.已知α∈(π2,π),且sinα2+cosα2=62.
(1)求cosα的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cosβ的值.
解:(1)因?yàn)閟inα2+cosα2=62,兩邊同時(shí)平方得sinα=12.
又π2<α<π.所以cosα=-32.
(2)因?yàn)?pi;2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,故-π2<α-β<π2.
又sin(α-β)=-35,得cos(α-β)=45.
cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=-32×45+12×(-35)=-43+310.
B組
1.cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα的值為________.
解析:cos2α1+sin2α•1+tanα1-tanα=cos2α-sin2α(sinα+cosα)2•1+tanα1-tanα
=cosα-sinαsinα+cosα•1+tanα1-tanα=1-tanα1+tanα•1+tanα1-tanα=1.
2.已知cos(π4+x)=35,則sin2x-2sin2x1-tanx的值為________.
解析:∵cos(π4+x)=35,∴cosx-sinx=352,
∴1-sin2x=1825,sin2x=725,∴sin2x-2sin2x1-tanx=2sinx(cosx-sinx)cosx-sinxcosx=sin2x=725.
3.已知cos(α+π3)=sin(α-π3),則tanα=________.
解析:cos(α+π3)=cosαcosπ3-sinαsinπ3=12cosα-32sinα,sin(α-π3)
=sinαcosπ3-cosαsinπ3=12sinα-32cosα,
由已知得:(12+32)sinα=(12+32)cosα,tanα=1.
4.設(shè)α∈(π4,3π4),β∈(0,π4),cos(α-π4)=35,sin(3π4+β)=513,則sin(α+β)=________.
解析:α∈(π4,3π4),α-π4∈(0,π2),又cos(α-π4)=35,∴sin(α-π4)=45.
∵β∈(0,π4),∴3π4+β∈(3π4,π).∵sin(3π4+β)=513,∴cos(3π4+β)=-1213,
∴sin(α+β)=-cos[(α-π4)+(3π4+β)]
=-cos(α-π4)•cos(3π4+β)+sin(α-π4)•sin(3π4+β)=-35×(-1213)+45×513=5665,
即sin(α+β)=5665.
5.已知cosα=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈(0,π2),則cos(α-β)的值等于________.
解析:∵α∈(0,π2),∴2α∈(0,π).∵cosα=13,∴cos2α=2cos2α-1=-79,∴sin2α=1-cos22α=429,而α,β∈(0,π2),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=223,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(-79)×(-13)+429×223=2327.
6.已知角α在第一象限,且cosα=35,則1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=________.
解析:∵α在第一象限,且cosα=35,∴sinα=45,則1+2cos(2α-π4)sin(α+π2)=1+2(22cos2α+22sin2α)cosα=2cos2α+2sinαcosαcosα=2(sinα+cosα)=2(45+35)=145.
7.已知a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈(π2,π),若a•b=25,則tan(α+π4)的值為________.
解析:a•b=cos2α+2sin2α-sinα=1-2sin2α+2sin2α-sinα=1-sinα=25,∴sinα=35,又α∈(π2,π),∴cosα=-45,tanα=-34,∴tan(α+π4)=tanα+11-tanα=17.
8.tan10°tan70°tan70°-tan10°+tan120°的值為______.
解析:由tan(70°-10°)=tan70°-tan10°1+tan70°•tan10°=3,
故tan70°-tan10°=3(1+tan70°tan10°),代入所求代數(shù)式得:
tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)+tan120°=tan70°tan10°3(1+tan70°tan10°)-3=tan70°tan10°3tan70°tan10°=33.
9.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(-1,15),則sin(α+π4)sin2α+cos2α+1的值等于________.
解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=-14,∴sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=24cosα=-2.
10.求值:cos20°sin20°•cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°.
解:原式=cos20°cos10°sin20°+3sin10°sin70°cos70°-2cos40°
=cos20°cos10°+3sin10°cos20°sin20°-2cos40°
=cos20°(cos10°+3sin10°)sin20°-2cos40°
=2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°)sin20°-2cos40°
=2cos20°sin40°-2sin20°cos40°sin20°=2.
11.已知向量m=(2cosx2,1),n=(sinx2,1)(x∈R),設(shè)函數(shù)f(x)=m•n-1.
(1)求函數(shù)f(x)的值域;(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若f(A)=513,f(B)=35,求f(C)的值.
解:(1)f(x)=m•n-1=(2cosx2,1)•(sinx2,1)-1=2cosx2sinx2+1-1=sinx.
∵x∈R,∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,1].
(2)∵f(A)=513,f(B)=35,∴sinA=513,sinB=35.
∵A,B都為銳角,∴cosA=1-sin2A=1213,cosB=1-sin2B=45.
∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=513×45+1213×35=5665.∴f(C)的值為5665.
12.已知:0<α<π2<β<π,cos(β-π4)=13,sin(α+β)=45.
(1)求sin2β的值;(2)求cos(α+π4)的值.
解:(1)法一:∵cos(β-π4)=cosπ4cosβ+sinπ4sinβ=22cosβ+22sinβ=13,
∴cosβ+sinβ=23,∴1+sin2β=29,∴sin2β=-79.
法二:sin2β=cos(π2-2β)=2cos2(β-π4)-1=-79.
(2)∵0<α<π2<β<π,∴π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2,∴sin(β-π4)>0,cos(α+β)<0.
∵cos(β-π4)=13,sin(α+β)=45,∴sin(β-π4)=223,cos(α+β)=-35.
∴cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)
=-35×13+45×223=82-315.
第二節(jié) 兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)
A組
1.若sinα=35,α∈(-π2,π2),則cos(α+5π4)=________.
解析:由于α∈(-π2,π2),sinα=35得cosα=45,由兩角和與差的余弦公式得:cos(α+5π4)=-22(cosα-sinα)=-210.
2.已知π<θ<32π,則 12+12 12+12cosθ=________.
解析:∵π<θ<3π2,∴π2<θ2<3π4,π4<θ4<3π8.
12+12 12+12cosθ= 12+12 cos2θ2
= 12-12cosθ2=sinθ4.
3.計(jì)算:cos10°+3sin10°1-cos80°=________.
解析:cos10°+3sin10°1-cos80°=2cos(10°-60°)2sin240°=2cos50°2sin40°=2.
4.函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是__________________.
解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+π4)+1≥1-2.
5.函數(shù)f(x)=(sin2x+12010sin2x)(cos2x+12010cos2x)的最小值是________.
解析:f(x)=(2010sin4x+1)(2010cos4x+1)20102sin2xcos2x
=20102sin4xcos4x+2010(sin4x+cos4x)+120102sin2xcos2x
=sin2xcos2x+201120102sin2xcos2x-22010≥22010(2011-1).
6.已知角α∈(π4,π2),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0.
(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.
解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0,
又α∈(π4,π2),∴tanα=43,sinα=45,cosα=35,
(1)tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=43+11-43=-7.
(2)cos2α=2cos2α-1=-725,sin2α=2sinαcosα=2425,
cos(π3-2α)=cosπ3cos2α+sinπ3sin2α=12×(-725)+32×2425=243-750.
B組
1.若tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,則tan(α+π4)=_____.
解析:tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.
2.若3sinα+cosα=0,則1cos2α+sin2α的值為________.
解析:由3sinα+cosα=0得cosα=-3sinα,則1cos2α+sin2α=sin2α+cos2αcos2α+2sinαcosα=9sin2α+sin2α9sin2α-6sin2α=103.
3.設(shè)a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=62,則a、b、c的大小關(guān)系是
解析:a=2sin59°,c=2sin60°,b=2sin61°,∴a<c<b.
或a2=1+sin28°<1+12=32,b2=1+sin32°>1+12=32,c2=32,∴a<c<b.
4.2+2cos8+21-sin8的化簡結(jié)果是________.
解析:原式=4cos24+2(sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4.
5.若tanα+1tanα=103,α∈(π4,π2),則sin(2α+π4)的值為_________.
解析:由題意知,tanα=3,sin(2α+π4)=22(sin2α+cos2α),而sin2α=2tanα1+tan2α=35,cos2α=1-tan2α1+tan2α=-45.∴sin(2α+π4)=22(35-45)=-210.
6.若函數(shù)f(x)=sin2x-2sin2x•sin2x(x∈R),則f(x)的最小正周期為________.
解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x,所以T=2π4=π2.
7. 2cos5°-sin25°cos25°的值為________.
解析:由已知得:原式=2cos(30°-25°)-sin25°cos25°=3cos25°cos25°=3.
8.向量a=(cos10°,sin10°),b=(cos70°,sin70°),|a-2b|=________________.
解析:|a-2b|2=(cos10°-2cos70°)2+(sin10°-2sin70°)2=5-4cos10°cos70°-4sin10°sin70°=5-4cos60°=3,∴|a-2b|=3.
9.已知1-cos2αsinαcosα=1,tan(β-α)=-13,則tan(β-2α)=________.
解析:因?yàn)?-cos2αsinαcosα=1,即1-1-tan2α1+tan2α=12×2tanα1+tan2α,所以2tanα=1,即tanα=12,所以tan(β-2α)=tan(β-α-α)=tan(β-α)-tanα1+tan(β-α)tanα=-13-121-16=-1.
10.已知tanα=2.求(1)tan(α+π4)的值;(2)sin2α+cos2(π-α)1+cos2α的值.
解:(1)∵tan(α+π4)=1+tanα1-tanα,tanα=2,∴tan(α+π4)=1+21-2=-3.
(2)sin2α+cos2(π-α)1+cos2α=2sinαcosα+cos2α2cos2α=2sinα+cosα2cosα=tanα+12=52.
11.如圖,點(diǎn)A,B是單位圓上的兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)分別在第一、二象限,點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn),△AOB是正三角形,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(35,45),記∠COA=α.
(1)求1+sin2α1+cos2α的值;(2)求|BC|2的值.
解:(1)∵A的坐標(biāo)為(35,45),根據(jù)三角函數(shù)的定義可知,sinα=45,cosα=35,∴1+sin2α1+cos2α=1+2sinαcosα2cos2α=4918.
(2)∵△AOB為正三角形,∴∠AOB=60°.∴cos∠COB=cos(α+60°)=cosαcos60°-sinαsin60°.=35×12-45×32=3-4310,
∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|•|OB|cos∠COB=1+1-2×3-4310=7+435.
12.△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB,sin(B-A)=cosC.(1)求角A,C.(2)若S△ABC=3+3,求a,c.
解:(1)因?yàn)閠anC=sinA+sinBcosA+cosB,即sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB,
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB,
即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
得sin(C-A)=sin(B-C),
所以C-A=B-C,或C-A=π-(B-C)(不成立),
即2C=A+B,得C=π3,所以B+A=2π3.
又因?yàn)閟in(B-A)=cosC=12,則B-A=π6或B-A=5π6(舍去),
得A=π4,B=5π12.故A=π4,C=π3.
(2)S△ABC=12acsinB=6+28ac=3+3,又asinA=csinC,即 a22=c32,
得a=22,c=23.
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