上學(xué)期初三年級期中考試試題
不好好學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在中考怎么取的好的成績哦，今天小編就給大家參考一下九年級數(shù)學(xué)，有需要的就來看看吧
初三年級數(shù)學(xué)上期中試題
一.選擇題(共12小題，滿分48分)
1.下列美麗的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)55°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函數(shù)中，二次函數(shù)的是( )
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2
4.將拋物線y=﹣ x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后所得到的拋物線解析式是( )
A. B.
C. D.
5.拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4，4)，B(2，m)兩點，點B到拋物線對稱軸的距離記為d，滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分，其對稱軸為直線x=2，若其與x軸的一交點為B(6，0)，則由圖象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x>6 B.06
7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示：]
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
從上表可知，下列說法中，錯誤的是( )
A.拋物線于x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣2，0)
B.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0，6)
C.拋物線的對稱軸是直線x=0
D.拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的
9.如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC=( )
A. B. C. D.
10.關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，則下列結(jié)論：
?、?a+b<0;②ab<0;③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;
④拋物線y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結(jié)論有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如圖，函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常數(shù)，且a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
12.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖 象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=﹣1，點B的坐標(biāo)為(1，0)，則下列結(jié)論：①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0，其中正確的結(jié)論有( )個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二.填空題(共6小題，滿分24分，每小題4分)
13.二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知拋物線y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2與x軸交于A (α，0)，B(β，0)兩點，且α2+β2=17，則k= .
15.若二次函數(shù)y=x2+2m﹣1的圖象經(jīng)過原點，則m的值是 .
16.將點P(﹣1，3)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)180°后坐標(biāo)變?yōu)椤? .
17.已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是 cm.
18.“a是 實數(shù)，|a|≥0”這一事件是 事件.
三.解答題(共7小題，滿分64分)
19.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C，頂點為D.
(1)求出點A、B的坐標(biāo)，并畫出該二次函數(shù)的圖象(不需要列表，但是要在圖中標(biāo)出A、B、C、D);
(2)設(shè)一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過B、D兩點，觀察圖象回答：
?、佼?dāng) 時，y1、y2都隨x的增大而增大;
②當(dāng) 時，y1>y2.
20.(10分)如圖，△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=4cm，△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，且點C恰好成為AD的中點.
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長.
21.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣4，2)、B(0，4)、C(0，2)，
(1)畫出△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC，若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0，﹣4)，畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為 .
22.(11分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，已知△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A(﹣4，1)，B(﹣3，3)，C(﹣1，2).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，點A，B，C的對稱點分別是點A1、B1、C1，直接寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1( ， )，B1( ， )，C1( ， );
(2)畫出點C關(guān)于y軸的對稱點C2，連接C1C2，CC2，C1C，并直接寫出△CC1C2的面積是 .
23.(11分)如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，CE=2.
(1)求AB的長;
(2)求⊙O的半徑.
24.(12分)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;
(2)若∠A=30°，求證：DG= DA;
(3)若∠A=30°，且圖中陰影部分的面積等于2 ，求⊙O的半徑的長.
25.拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸 交于點A，B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點.
(1)如圖1，連接CD，求線段CD的長;
(2)如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PF⊥x軸于點F，PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)PE+ EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);
(3)如圖3，點H是線段AB的中點，連接CH，將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置，再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，點O2，C的對應(yīng)點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與 直線AC，x軸交于點M，N.那么，在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?，使△AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空題
13. 4.
14. 2.
15. .
16.(1，﹣3).
17. 2或14.
18.必然.
三.解答題
19.解：(1)令y1=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=﹣3，
∴C(0，﹣3)，
﹣ =﹣ =1，
= =﹣4，
∴D(1，﹣4);
(2)①由題意得，當(dāng)x>1時y隨x的增大而增大;
②當(dāng)x<1或x>3時，y1>y2.
故答案為x>1，x<1或x>3.
20.解：(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°，
即∠BAD=140°，
所以旋轉(zhuǎn)中心為點A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;
(2)∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，
∴∠EAD=∠BAC=140°，AE=AC，AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°，
∵點C恰好成為AD的中點，
∴AC= AD=2，
∴AE=2.
21.解：(1)△A1B1C如圖所示，
△A2B2C2如圖所示;
(2)如圖，對稱中心為(2，﹣1).
22.解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求.
A1(﹣4，﹣1)B1(﹣3，﹣3)，C1(﹣1，﹣2)，
故答案為：﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
(2)如圖所示，△CC1C2的面積是 ×2×4=4，
故答案為：4.
23.解：(1)∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵CE=2，
∴AF=2，
∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴ ，
∴AB=4.
(2)∵AO是⊙O的半徑，AO⊥BC
∴CE=BE=2，
∵AB=4，
∴ ，
∵∠AEB=90°，
∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，
∴cosA= = = ，
∴ ，即⊙O的半徑是 .
24.解：(1)連接 OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切線;
(2)∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED= AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG= DA;
(3)∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵陰影部分的面積= ×r× r﹣ =2 ﹣ π.
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半徑的長為2.
25.解：(1)如圖1，過點D作DK⊥y軸于K，
當(dāng)x=0時，y= ，
∴C(0， )，
y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ (x+ )2+ ，
∴D(﹣ ， )，
∴DK= ，CK= ﹣ = ，
∴CD= = = ;
(2)在y=﹣ x2﹣ x+ 中，令 y=0，則﹣ x2﹣ x+ =0，
解得：x1=﹣3 ，x2= ，
∴A(﹣3 ，0)，B( ，0)，
∵C(0， )，
易得直線AC的解析式為：y= ，
設(shè)E(x， )，P(x，﹣ x2﹣ x+ )，
∴PF=﹣ x2﹣ x+ ，EF= ，
Rt△ACO中，AO=3 ，OC= ，
∴AC=2 ，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF= ，
∴PE+ EC=(﹣ x2﹣ x+ )﹣( x+ )+ (AC﹣AE)，
=﹣ ﹣ x+ [2 ﹣( )]，
=﹣ ﹣ x﹣ x，
=﹣ (x+2 )2+ ，(5分)
∴當(dāng)PE+ EC的值最大時，x=﹣2 ，此時P(﹣2 ， )，(6分)
∴PC=2 ，
∵O1B1=OB= ，
∴要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，
如圖2，將點P向右平移 個單位長度得點P1(﹣ ， )，連接P1B1，則PO1=P1B1，
再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(﹣ ，﹣ )，則P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，
∴B1(﹣ ，0)，
將B1向左平移 個單位長度即得點O1，
此時PO1+B1C=P2C= = ，
對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(﹣ ，0)，(7分)
∴四邊形PO1B1C周長的最小 值為 +3 ;(8分)
(3)O2M的長度為 或 或2 + 或2 .(12分)
理由是：如圖3，∵H是AB的中點，
∴OH= ，
∵OC= ，
∴CH=BC=2 ，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴將CO沿CH對折后落在直線AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2(﹣2 ， )，
?、偃鐖D4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋轉(zhuǎn)得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
過C1作C1E⊥B2C于E，
∵B2C=B2C1=2 ，
∴ =B2O2，B2E= ，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2 ﹣ ;
?、谌鐖D5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C= ，
?、廴鐖D6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2 =B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M= AO2= ;
④如圖7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC于E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四邊形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2 ， ，
∴EM= ，
∴O2M=EO2+EM=2 + ，
綜上所述，O2M的長是 或 或2 + 或2 .
數(shù)學(xué)九年級上冊期中模擬試卷
一.選擇題(共12小題，滿分48分)
1.下列美麗的圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)55°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函數(shù)中，二次函數(shù)的是( )
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2
4.將拋物線y=﹣x2向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后所得到的拋物線解析式是( )
A. B.
C. D.
5.拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過A(4，4)，B(2，m)兩點，點B到拋物線對稱軸的距離記為d，滿足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.圖示為拋物線y=ax2+bx+c的一部分，其對稱軸為直線x=2，若其與x軸的一交點為B(6，0)，則由圖象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x>6 B.06
7.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
從上表可知，下列說法中，錯誤的是( )
A.拋物線于x軸的一個交點坐標(biāo)為(﹣2，0)
B.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為(0，6)
C.拋物線的對稱軸是直線x=0
D.拋物線在對稱軸左側(cè)部分是上升的
9.如圖，⊙O的半徑OA=6，以A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于B、C點，則BC=( )
A. B. C. D.
10.關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，則下列結(jié)論：
①2a+b<0;②ab<0;③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;
④拋物線y=2x2+ax+b+2的頂點在第四象限.其中正確的結(jié)論有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如圖，函數(shù)y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常數(shù)，且a≠0)在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
12.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=﹣1，點B的坐標(biāo)為(1，0)，則下列結(jié)論：①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0，其中正確的結(jié)論有( )個.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
二.填空題(共6小題，滿分24分，每小題4分)
13.二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知拋物線y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2與x軸交于A (α，0)，B(β，0)兩點，且α2+β2=17，則k= .
15.若二次函數(shù)y=x2+2m﹣1的圖象經(jīng)過原點，則m的值是 .
16.將點P(﹣1，3)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)180°后坐標(biāo)變?yōu)椤? .
17.已知⊙O的半徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是 cm.
18.“a是實數(shù)，|a|≥0”這一事件是 事件.
三.解答題(共7小題，滿分64分)
19.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C，頂點為D.
(1)求出點A、B的坐標(biāo)，并畫出該二次函數(shù)的圖象(不需要列表，但是要在圖中標(biāo)出A、B、C、D);
(2)設(shè)一次函數(shù)y2=kx+b的圖象經(jīng)過B、D兩點，觀察圖象回答：
?、佼?dāng) 時，y1、y2都隨x的增大而增大;
②當(dāng) 時，y1>y2.
20.(10分)如圖，△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=4cm，△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，且點C恰好成為AD的中點.
(1)指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(2)求出∠BAE的度數(shù)和AE的長.
21.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A(﹣4，2)、B(0，4)、C(0，2)，
(1)畫出△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C;平移△ABC，若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為(0，﹣4)，畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2關(guān)于某一點成中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為 .
22.(11分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，已知△ABC三個定點坐標(biāo)分別為A(﹣4，1)，B(﹣3，3)，C(﹣1，2).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1，點A，B，C的對稱點分別是點A1、B1、C1，直接寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)：A1( ， )，B1( ， )，C1( ， );
(2)畫出點C關(guān)于y軸的對稱點C2，連接C1C2，CC2，C1C，并直接寫出△CC1C2的面積是 .
23.(11分)如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，CE=2.
(1)求AB的長;
(2)求⊙O的半徑.
24.(12分)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是邊AC上一點，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓分別交AB、AC于點E、D，在BC的延長線上取點F，使得BF=EF.
(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;
(2)若∠A=30°，求證：DG=DA;
(3)若∠A=30°，且圖中陰影部分的面積等于2，求⊙O的半徑的長.
25.拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于點A，B(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點.
(1)如圖1，連接CD，求線段CD的長;
(2)如圖2，點P是直線AC上方拋物線上一點，PF⊥x軸于點F，PF與線段AC交于點E;將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)PE+EC的值最大時，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo);[來源:學(xué)#科#網(wǎng)]
(3)如圖3，點H是線段AB的中點，連接CH，將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置，再將△O2B2C繞點B2旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，點O2，C的對應(yīng)點分別是點O3，C1，直線O3C1分別與直線AC，x軸交于點M，N.那么，在△O2B2C的整個旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢?，使△AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在，請直接寫出所有符合條件的線段O2M的長;若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空題
13. 4.
三.解答題
19.解：(1)令y1=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=﹣3，
∴C(0，﹣3)，
﹣=﹣=1，
==﹣4，
∴D(1，﹣4);
(2)①由題意得，當(dāng)x>1時y隨x的增大而增大;
?、诋?dāng)x<1或x>3時，y1>y2.
故答案為x>1，x<1或x>3.
20.解：(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°，
即∠BAD=140°，
所以旋轉(zhuǎn)中心為點A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為140°;
(2)∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，
∴∠EAD=∠BAC=140°，AE=AC，AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°，
∵點C恰好成為AD的中點，
∴AC=AD=2，
∴AE=2.
21.解：(1)△A1B1C如圖所示，
△A2B2C2如圖所示;
(2)如圖，對稱中心為(2，﹣1).
22.解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求.
A1(﹣4，﹣1)B1(﹣3，﹣3)，C1(﹣1，﹣2)，
故答案為：﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
(2)如圖所示，△CC1C2的面積是×2×4=4，
故答案為：4.
23.解：(1)∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵CE=2，
∴AF=2，
∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴，
∴AB=4.
(2)∵AO是⊙O的半徑，AO⊥BC
∴CE=BE=2，
∵AB=4，
∴，
∵∠AEB=90°，
∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，
∴cosA===，
∴，即⊙O的半徑是.
24.解：(1)連接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切線;
(2)∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED=AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG=DA;
(3)∵AD是⊙O的直徑，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵陰影部分的面積=×r×r﹣=2﹣π.
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半徑的長為2.
25.解：(1)如圖1，過點D作DK⊥y軸于K，
當(dāng)x=0時，y=，
∴C(0，)，
y=﹣x2﹣x+=﹣(x+)2+，
∴D(﹣，)，
∴DK=，CK=﹣=，
∴CD===;
(2)在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，則﹣x2﹣x+=0，
解得：x1=﹣3，x2=，
∴A(﹣3，0)，B(，0)，
∵C(0，)，
易得直線AC的解析式為：y=，
設(shè)E(x，)，P(x，﹣x2﹣x+)，
∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=，
∴PE+EC=(﹣x2﹣x+)﹣(x+)+(AC﹣AE)，
=﹣﹣x+ [2﹣()]，
=﹣﹣x﹣x，
=﹣(x+2)2+，(5分)
∴當(dāng)PE+EC的值最大時，x=﹣2，此時P(﹣2，)，(6分)
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四邊形PO1B1C周長的最小，即PO1+B1C的值最小，
如圖2，將點P向右平移個單位長度得點P1(﹣，)，連接P1B1，則PO1=P1B1，
再作點P1關(guān)于x軸的對稱點P2(﹣，﹣)，則P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴連接P2C與x軸的交點即為使PO1+B1C的值最小時的點B1，
∴B1(﹣，0)，
將B1向左平移個單位長度即得點O1，
此時PO1+B1C=P2C==，
對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)為(﹣，0)，(7分)
∴四邊形PO1B1C周長的最小值為+3;(8分)
(3)O2M的長度為或或2+或2.(12分)
理由是：如圖3，∵H是AB的中點，
∴OH=，
∵OC=，
∴CH=BC=2，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴將CO沿CH對折后落在直線AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2(﹣2，)，
①如圖4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋轉(zhuǎn)得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
過C1作C1E⊥B2C于E，
∵B2C=B2C1=2，
∴=B2O2，B2E=，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣;
?、谌鐖D5，AM=MN，此時M與C重合，O2M=O2C=，
?、廴鐖D6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M=AO2=;
?、苋鐖D7，AN=MN，過C1作C1E⊥AC于E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四邊形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2，，
∴EM=，
∴O2M=EO2+EM=2+，
綜上所述，O2M的長是或或2+或2.
九年級數(shù)學(xué)上冊期中試題參考
一.選擇題(共10小題，滿分30分)
1.下面給出的是一些產(chǎn)品的圖案，從幾何圖形的角度看，這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
2.點A(a，3)與點B(﹣4，b)關(guān)于原點對稱，則a+b=( )
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時，變形正確的方程為( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4
4.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，則+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后，得到新拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三點，若拋物線開口向下，則y1、y2和y3的大小關(guān)系為( )
A.y1
7.設(shè)A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
8.如圖，△ABC中，BC=8，AD是中線，將△ADC沿AD折疊至△ADC′，發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°，則點B到C′的距離是( )
A.4 B. C. D.3
9.一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，若設(shè)個位數(shù)字為a，則可列方程為( )
A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4
B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4
D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4
10.已知兩點A(﹣5，y1)，B(3，y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上，點C(x0，y0)是該拋物線的頂點.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1，則a+b= .
12.如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC=90°，則∠A= °.
13.若二次函數(shù)y=(2﹣m)x|m|﹣3 的圖象開口向下，則m的值為 .
14.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為 .
15.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：米)與小球運動時間t(單位：秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米，則小球的運動時間為 .
16.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ACF，連接DF，下列結(jié)論中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有 (填序號)
三.解答題(共9小題，滿分74分)
17.解方程：x2﹣4x﹣5=0.
18.如圖，畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo).
19.淮北市某中學(xué)七年級一位同學(xué)不幸得了重病，牽動了全校師生的心，該校開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率;
(2)按照(1)中收到捐款的增長速度，第四天該校能收到多少捐款?
20.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E，F(xiàn)分別在邊AB和BC上，△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形.
(Ⅰ)旋轉(zhuǎn)中心是點 .
(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)角是 度，∠EDM= 度.
(Ⅲ)若∠EDF=45°，求證△EDF≌△MDF，并求此時△BEF的周長.
21.從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做，只以甲題計分.
題甲：若關(guān)于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a，β.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)，求t的最小值.
題乙：如圖所示，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連接DP并延長，交AB的延長線于點Q.
(1)若=，求的值;
(2)若點P為BC邊上的任意一點，求證：﹣=.
我選做的是 題.
22.小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%.
(1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元)，求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)
23.(12分)如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點.
(1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 ;
(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P，當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=6，并求出此時P點的坐標(biāo).
24.如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C.A(1，1)、B(3，1).動點P從O點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q，設(shè)P點移動的時間為t秒(0
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在，直接寫出t的值;若不存在，請說明理由.
25.已知：二次函數(shù)y=ax2﹣2x+c的圖象與x于A、B，A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，對稱軸是直線x=1，平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)直線交y軸于D點，E為拋物線頂點.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值;
(3)在(2)問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M，使得△BDM的面積等于PA2?若存在，求出點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
參考答案
一.選擇題
1.下面給出的是一些產(chǎn)品的圖案，從幾何圖形的角度看，這些圖案既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形;
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形;
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形;
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.
故選：C.
2.點A(a，3)與點B(﹣4，b)關(guān)于原點對稱，則a+b=( )
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
【解答】解：∵點A(a，3)與點B(﹣4，b)關(guān)于原點對稱，
∴a=4，b=﹣3，
∴a+b=1，
故選：D.
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0時，變形正確的方程為( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4
【解答】解：方程移項得：x2+6x=5，
配方得：x2+6x+9=14，即(x+3)2=14，
故選：A.
4.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，則+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的兩根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣.
故選：C.
5.將拋物線y=x2﹣6x+21向左平移2個單位后，得到新拋物線的解析式為( )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
【解答】解：y=x2﹣6x+21
=(x2﹣12x)+21
= [(x﹣6)2﹣36]+21
=(x﹣6)2+3，
故y=(x﹣6)2+3，向左平移2個單位后，
得到新拋物線的解析式為：y=(x﹣4)2+3.
故選：D.
6.在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三點，若拋物線開口向下，則y1、y2和y3的大小關(guān)系為( )
A.y1
【解答】解：
∵A(﹣4，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三點在拋物線y=ax2﹣2ax﹣7上，
∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7，y2=4a﹣4a﹣7=﹣7，y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7，
∵拋物線開口向下，
∴a<0，
∴24a<3a<0，
∴24a﹣7<3a﹣7<﹣7，
∴y1
故選：A.
7.設(shè)A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
【解答】解：
∵A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是拋物線y=﹣x2﹣2x+2上的三點，
∴y1=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+2=2，y2=﹣1﹣2+2=﹣1，y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6，
∴y1>y2>y3，
故選：A.
8.如圖，△ABC中，BC=8，AD是中線，將△ADC沿AD折疊至△ADC′，發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°，則點B到C′的距離是( )
A.4 B. C. D.3
【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AD是中線，
∴BD=DC=4，
∵將△ADC沿AD折疊至△ADC′，發(fā)現(xiàn)CD與折痕的夾角是60°，
∴∠C′DA=∠ADC=60°，DC=DC′，
∴∠C′DB=60°，
∴△BDC′是等邊三角形，
∴BC′=BD=DC′=4.
故選：A.
9.一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個兩位數(shù)小4，若設(shè)個位數(shù)字為a，則可列方程為( )
A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4
B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4
D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4
【解答】解：依題意得：十位數(shù)字為：a+4，這個數(shù)為：a+10(x+4)
這兩個數(shù)的平方和為：a2+(a+4)2，
∵兩數(shù)相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4.
故選：C.
10.已知兩點A(﹣5，y1)，B(3，y2)均在拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上，點C(x0，y0)是該拋物線的頂點.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
【解答】解：∵點C(x0，y0)是該拋物線的頂點.且y1
∴a<0，x0﹣(﹣5)>|3﹣x0|，
∴x0>﹣1.
故選：A.
二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一個根為x=﹣1，則a+b= 2018 .
【解答】解：把x=﹣1代入方程有：
a+b﹣2018=0，
即a+b=2018.
故答案是：2018.
12.如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC=90°，則∠A= 55 °.
【解答】解：∵三角形△ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的對應(yīng)角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°;
故答案為：55°.
13.若二次函數(shù)y=(2﹣m)x|m|﹣3 的圖象開口向下，則m的值為 5 .
【解答】解：
∵y=(2﹣m)x|m|﹣3 是二次函數(shù)，
∴|m|﹣3=2，解得m=5或m=﹣5，
∵拋物線圖象開口向下，
∴2﹣m<0，解得m>2，
∴m=5，
故答案為：5.
14.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為 k≤4且k≠1 .
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有實數(shù)根，
∴，
解得：k≤4且k≠1.
故答案為：k≤4且k≠1.
15.從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：米)與小球運動時間t(單位：秒)的函數(shù)關(guān)系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度為4.9米，則小球的運動時間為 1s .
【解答】解：由題意知，
小球的高度h與小球運動時間t的函數(shù)關(guān)系式是：
h=9.8t﹣4.9t2.
令h=4.9，
解得t=1s，
故答案為：1s.
16.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ABE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ACF，連接DF，下列結(jié)論中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正確的有?、佗邰堋?填序號)
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC， ]
∴∠B=∠ACB=45°，
?、儆尚D(zhuǎn)，可知：∠CAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正確;
?、谟尚D(zhuǎn)，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②錯誤;
③∵∠EAD=∠DAF=45°，
∴AD平分∠EAF，故③正確;
?、苡尚D(zhuǎn)可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
即BE2+DC2=DF2，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE=DF，
∴BE2+DC2=DE2，
故答案為：①③④.
三.解答題(共9小題，滿分74分)
17.(10分)解方程：x2﹣4x﹣5=0.
【解答】解：(x+1)(x﹣5)=0，
則x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5.
18.(9分)如圖，畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo).
【解答】解：如圖所示，△A1B1C1即為所求，
A1(3，﹣2)，B1(2，1)，C1(﹣2，﹣3).
19.(9分)淮北市某中學(xué)七年級一位同學(xué)不幸得了重病，牽動了全校師生的心，該校開展了“獻(xiàn)愛心”捐款活動.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率;
(2)按照(1)中收到捐款的增長速度，第四天該校能收到多少捐款?
【解答】解：(1)捐款增長率為x，根據(jù)題意得：
10000(1+x)2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1(舍去).
則x=0.1=10%.
答：捐款的增長率為10%.
(2)根據(jù)題意得：12100×(1+10%)=13310(元)，
答：第四天該校能收到的捐款是13310元.
20.(10分)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E，F(xiàn)分別在邊AB和BC上，△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形.
(Ⅰ)旋轉(zhuǎn)中心是點 D .
(Ⅱ)旋轉(zhuǎn)角是 90 度，∠EDM= 90 度.
(Ⅲ)若∠EDF=45°，求證△EDF≌△MDF，并求此時△BEF的周長.
【解答】解：(Ⅰ)∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，
∴旋轉(zhuǎn)中心是點D.
故答案為D;
(Ⅱ)∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，
∴∠ADC=∠EDM=90°
∴旋轉(zhuǎn)角是90度，∠EDM=90度.
故答案為90，90;
(Ⅲ)∵∠EDF=45°，∠EDM=90°，
∴∠MDF=45°.
∵△DCM是由△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，
∴△DCM≌△DAE，
∴DM=DE，CM=AE.
在△EDF與△MDF中，
，
∴△EDF≌△MDF，
∴EF=MF=MC+CF，
∴△BEF的周長=BE+EF+BF
=BE+MC+CF+BF
=(BE+AE)+(CF+BF)
=AB+BC
=2.
21.(12分)從甲、乙兩題中選做一題.如果兩題都做，只以甲題計分.
題甲：若關(guān)于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a，β.
(1)求實數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)，求t的最小值.
題乙：如圖所示，在矩形ABCD中，P是BC邊上一點，連接DP并延長，交AB的延長線于點Q.
(1)若=，求的值;
(2)若點P為BC邊上的任意一點，求證：﹣=.
我選做的是 甲 題.
【解答】題甲
解：(1)∵一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有實數(shù)根a，β，
∴△≥0，
即4(2﹣k)2﹣4(k2+12)≥0，
得k≤﹣2.
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+β=﹣[﹣2(2﹣k)]=4﹣2k，
∴，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤<0，
∴，
即t的最小值為﹣4.
題乙：
(1)解：∵AB∥CD，∴==，即CD=3BQ，
∴===;
(2)證明：四邊形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴=
﹣=﹣=1+﹣=1
∴﹣=1.
22.(12分)小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%.
(1)設(shè)小明每月獲得利潤為w(元)，求每月獲得利潤w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?
(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價×銷售量)
【解答】解：(1)由題意，得：w=(x﹣20)•y=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32)
(2)對于函數(shù)w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線.
又∵a=﹣10<0，拋物線開口向下.∴當(dāng)20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大，
∴當(dāng)x=32時，W=2160
答：當(dāng)銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元.
(3)取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解這個方程得：x1=30，x2=40.
∵a=﹣10<0，拋物線開口向下.
∴當(dāng)30≤x≤40時，w≥2000.
∵20≤x≤32
∴當(dāng)30≤x≤32時，w≥2000.
設(shè)每月的成本為P(元)，由題意，得：P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000
∵k=﹣200<0，
∴P隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=32時，P的值最小，P最小值=3600.
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元.
23.(12分)如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點.
(1)拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為 (﹣1，0)或(3，0) ;
(2)設(shè)(1)中的拋物線上有一個動點P，當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=6，并求出此時P點的坐標(biāo).
【解答】解：(1)當(dāng)y=0時，
x2﹣2x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(﹣1，0)或(3，0)，
故答案為：(﹣1，0)或(3，0);
(2)∵點A(﹣1，0)，點B(3，0)，y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴此拋物線有最小值，此時y=﹣4，AB=3﹣(﹣1)=4，
∵S△PAB=6，拋物線上有一個動點P，
∴點P的縱坐標(biāo)的絕對值為：，
∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3，
解得，x1=1+，x2=1﹣，x3=0，x4=2，
∴點P的坐標(biāo)為(1+，3)、(1﹣，3)、(0，﹣3)、(2，﹣3).
24.如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C.A(1，1)、B(3，1).動點P從O點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q，設(shè)P點移動的時間為t秒(0
(1)求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上?若存在，直接寫出t的值;若不存在，請說明理由.
【解答】解：(1)解法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點，
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx(a≠0).
把A(1，1)，B(3，1)代入上式得，
解得，
∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x;
解法二：∵A(1，1)，B(3，1)，∴拋物線的對稱軸是直線x=2.
設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+h(a≠0)，
把O(0，0)，A(1，1)代入得
解得∴所求拋物線解析式為：y=﹣(x﹣2)2+.
(2)分三種情況：
?、佼?dāng)0
∵A(1，1)，在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=(t)2=t2.
?、诋?dāng)2
作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S梯形OAGP.
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.
?、郛?dāng)3
重疊部分的面積是S五邊形OAMNC.
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.
∵B(3，1)，OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣(t﹣3)=4﹣t，
∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t)2 S=﹣t2+4t﹣;
(3)存在t1=1，t2=2.
將△OPQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時Q(t+，)，O(t，t)
①當(dāng)點Q在拋物線上時， =×(t+)2+×(t+)，解得t=2;
?、诋?dāng)點O在拋物線上時，t=﹣t2+t，解得t=1.
25.已知：二次函數(shù)y=ax2﹣2x+c的圖象與x于A、B，A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，對稱軸是直線x=1，平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)直線交y軸于D點，E為拋物線頂點.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值;
(3)在(2)問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點M，使得△BDM的面積等于PA2?若存在，求出點M的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【解答】解：(1)由題意，A(﹣1，0)，
∵對稱軸是直線x=1，
∴B(3，0);(1分)
把A(﹣1，0)，B(3，0)分別代入y=ax2﹣2x+c
得;(2分)
解得.
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直線與y軸交于D(0，1)，
∴OD=1，
由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1，﹣4);
連接CE，過E作EF⊥y軸于F(如圖1)，則EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC==，
;
∴∠BCE=90°=∠BOD，，
，
∴，
∴△BOD∽△BCE，(6分)
∴∠CBE=∠DBO，
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)
(3)設(shè)P(1，n)，
∵PA=PC，
∴PA2=PC2，即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2
解得n=﹣1，
∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5，
∴S△EDW=PA2=5;(8分)
法一：設(shè)存在符合條件的點M(m，m2﹣2m﹣3)，則m>0，
?、佼?dāng)M在直線BD上側(cè)時，連接OM(如圖1)，
則S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0，
解得m1=﹣2(舍去)，，
把代入y=m2﹣2m﹣3得;
∴;(10分)
?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時，不妨叫M1，連接OM1(如圖1)，
則S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1(2，﹣3);
綜上所述，存在符合條件的點M，其坐標(biāo)為或(2，﹣3).(12分)
法二：設(shè)存在符合條件的點M(m，m2﹣2m﹣3)，則m>0，
?、佼?dāng)M在直線BD上側(cè)時，過M作MG∥y軸，
交DB于G;(如圖2)
設(shè)D、B到MG距離分別為h1，h2，則
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，
即，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0;
解得m1=﹣2(舍去)，;
把代入y=m2﹣2m﹣3
得;
∴.(10分)
?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時，不妨叫M1，過M1作M1G1∥y軸，交DB于G1(如圖2)
設(shè)D、B到M1G1距離分別為h1、h2，則S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，
即，
，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1(2，﹣3);
綜上所述，存在符合條件的點M，其坐標(biāo)為或(2，﹣3).(12分)
法三：①當(dāng)M在直線BD上側(cè)時，過M作MH∥BD，交y軸于H，連接BH;(如圖3)
則S△DHB=S△BDM=5，
即，，
∴DH=，
∴;
∴直線MH解析式為;
聯(lián)立
得或;
∵M(jìn)在y軸右側(cè)，
∴M坐標(biāo)為.(10分)
?、诋?dāng)M在直線BD下側(cè)時，不妨叫M1，過M1作M1H1∥BD，交y軸于H1，
連接BH1(如圖3)，同理可得，
∴，
∴直線M1H1解析式為，
聯(lián)立
得或;
∵M(jìn)1在y軸右側(cè)，
∴M1坐標(biāo)為(2，﹣3)
綜上所述，存在符合條件的點M，其坐標(biāo)為或(2，﹣3).(12分)
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