2017初中數(shù)學(xué)中考模擬真題(2)
2017初中數(shù)學(xué)中考模擬試題答案
一、選擇題(本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分)
1.在數(shù)2，1，﹣3，0中，最大的數(shù)是( )
A.2 B.1 C.﹣3 D.0
【考點(diǎn)】18：有理數(shù)大小比較.
【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0;②負(fù)數(shù)都小于0;③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可.
【解答】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得
2>1>0>﹣3，
∴在數(shù)2，1，﹣3，0中，最大的數(shù)是2.
故選：A.
2.下列俯視圖正確的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】U2：簡(jiǎn)單組合體的三視圖.
【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案.
【解答】解：從上邊看第一列第二層是一個(gè)小正方形，第二列是兩個(gè)小正方形，第三列第二層是一個(gè)小正方形，
故選：B.
3.下列計(jì)算正確的是( )
A.xy•xy=2xy B.3 ﹣ =3(x≥0)
C.(2x)3=2x3 D. • = (x≥0，y≥0)
【考點(diǎn)】79：二次根式的混合運(yùn)算;47：冪的乘方與積的乘方;49：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式.
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則對(duì)A進(jìn)行判斷;根據(jù)二次根式的加減法對(duì)B進(jìn)行判斷;根據(jù)冪的乘方對(duì)C進(jìn)行判斷;根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)D進(jìn)行判斷.
【解答】解：A、原式=x2y2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、原式=2 ，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、原式=8x3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、原式= ，所以A選項(xiàng)正確.
故選D.
4.如圖，直線a∥直線b，若∠1=40°，∠2=75°，則∠3的大小為( )
A.65° B.75° C.85° D.115°
【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì);K8：三角形的外角性質(zhì).
【分析】先根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得出∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得∠5，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：由圖可得，∠4=∠1+∠2=115°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=115°，
∴∠3=180°﹣∠5=180°﹣115°=65°，
故選：A.
5.方程 = 的解為( )
A.x=1 B.x=2 C.x=4 D.x=0
【考點(diǎn)】B3：解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：3x﹣3=1+2x，
解得：x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的解，
故選C
6.某市預(yù)計(jì)2022年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試10門學(xué)科整合后的滿分值如下表：
科目 語文 數(shù)學(xué) 英語 理化生 政史地 體育
滿分值 130 120 100 120 120 40
請(qǐng)問根據(jù)130，120，100，150，120，40中，眾數(shù)、中位數(shù)分別是( )
A.150，120 B.120，120 C.130，120 D.120，100
【考點(diǎn)】W5：眾數(shù);W4：中位數(shù).
【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：130，120，100，150，120，40中，眾數(shù)、中位數(shù)分別是120，120，
故選B.
7.如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，BE=2，DC=4，則平行四邊形ABCD的周長為( )
A.16 B.24 C.20 D.12
【考點(diǎn)】L5：平行四邊形的性質(zhì).
【分析】由▱ABCD中，DE平分∠ADC，易得△CDE是等腰三角形，求出CE=4，再求得BC的長，繼而求得答案.
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=4，
∴BC=BE+CE=6，
∴▱ABCD的周長為：2×(4+6)=20.
故選：C.
8.若正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第8行第5列的數(shù)字是( )
A.64 B.56 C.58 D.60
【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
【分析】觀察數(shù)據(jù)的排列規(guī)律得到每一行的第一列的數(shù)字為行數(shù)的平方，每列的數(shù)從第一列開始依次減小1，據(jù)此可得.
【解答】解：由題意可得每行的第一列數(shù)字為行數(shù)的平方，
所以第8行第1列的數(shù)字為82=64，
則第8行第5列的數(shù)字是64﹣5+1=60，
故選：D.
9.將半徑為3cm的圓形紙片沿AB折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心O，用圖中陰影部分的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】MP：圓錐的計(jì)算.
【分析】過O點(diǎn)作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點(diǎn)C，由折疊的性質(zhì)可知OD為半徑的一半，而OA為半徑，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由內(nèi)角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的長，利用弧長公式求得圍成的圓錐的底面半徑，最后利用勾股定理求得其高即可.
【解答】解：過O點(diǎn)作OC⊥AB，垂足為D，交⊙O于點(diǎn)C，
由折疊的性質(zhì)可知，OD= OC= OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°，
在△AOB中，由內(nèi)角和定理，
得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°
∴弧AB的長為 =2π
設(shè)圍成的圓錐的底面半徑為r，
則2πr=2π
∴r=1cm
∴圓錐的高為 =2
故選A.
10.如圖，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C(1，a)為OA的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BOD，則k=( )
A.8 B.2 C. D.2
【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】由點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合△AOB為直角三角形可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得出 = ，由此可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于a的方程，解之即可得出a、k的值.
【解答】解：∵點(diǎn)C(1，a)為OA的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)A(2，2a)，OA=2 .
∵∠ABO=90°，
∴點(diǎn)B(2，0)，OB=2，AB=2a.
∵∠AOD=∠BOD，
∴ = ，即BD= = ，
∴BD= ，
∴點(diǎn)D(2， ).
∵反比例函數(shù)y= 的圖象經(jīng)過點(diǎn)C、D，
∴k=1×a=2× ，
整理得： =3，
解得：a=2 或a=﹣2 (舍去)，
∴k=a=2 .
故選B.
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
11.禽流感病毒的形狀一般為球形，直徑大約為0.000000102m，該直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為 1.02×10﹣7 m.
【考點(diǎn)】1J：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù).
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解：0.000000102=1.02×10﹣7.
故答案為：1.02×10﹣7.
12.我市某果園2014年獼猴桃產(chǎn)量為100噸，2016年獼猴桃產(chǎn)量為150噸，設(shè)該果園獼猴桃產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為 100(1+x)2=150 .
【考點(diǎn)】AC：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程.
【分析】2016年的獼猴桃產(chǎn)量=2014年的獼猴桃產(chǎn)量×(1+年平均增長率)2，把相關(guān)數(shù)值代入即可.
【解答】解：根據(jù)題意，得 100(1+x)2=150，
故答案為：100(1+x)2=150.
13.如圖，已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長等于 20 cm.
【考點(diǎn)】LN：中點(diǎn)四邊形.
【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線求出HG、GF、EF、EH的長，再求出四邊形EFGH的周長即可.
【解答】解：如圖，連接AC、BD，
∵四邊形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=BD= =10(cm)，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴HG=EF= AC=5cm，EH=FG= BD=5cm，
∴四邊形EFGH的周長等于：5×4=20(cm_，
故答案為：20.
14.如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，則⊙O的半徑為 2 cm.
【考點(diǎn)】M2：垂徑定理;KW：等腰直角三角形;M5：圓周角定理.
【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根據(jù)垂徑定理得到BE= AB= ，且△BOE為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解.
【解答】解：連結(jié)OB，如圖，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE= AB= ×2 = ，△BOE為等腰直角三角形，
∴OB= BE=2(cm).
故答案為：2.
15.一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，則k﹣b的值是 ﹣1或﹣8 .
【考點(diǎn)】F5：一次函數(shù)的性質(zhì).
【分析】分k>0和k<0兩種情況，結(jié)合一次函數(shù)的增減性，可得到關(guān)于k、b的方程組，求解即可.
【解答】解：當(dāng)k>0時(shí)，此函數(shù)是增函數(shù)，
∵當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=3;當(dāng)x=4時(shí)，y=6，
∴ ，
解得 ;
當(dāng)k<0時(shí)，此函數(shù)是減函數(shù)，
∵當(dāng)1≤x≤4時(shí)，3≤y≤6，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=6;當(dāng)x=4時(shí)，y=3，
∴ ，
解得： ，
∴k﹣b的值是﹣1或﹣8.
故答案為：﹣1或﹣8.
16.如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊AB上，且BE=2AE.將△ADE沿ED對(duì)折至△FDE，延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)DG，BF.下列結(jié)論：①△DCG≌△DFG;②BG=GC;③DG∥BF;④S△BFG=3.其中正確的結(jié)論是?、佗冖邸?填寫序號(hào))
【考點(diǎn)】PB：翻折變換(折疊問題);KD：全等三角形的判定與性質(zhì);LE：正方形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=CD，∠A=∠C=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DF=AD，∠DFE=∠A=90°，根據(jù)全等三角形的判定得到△DCG≌△DFG，故①正確;設(shè)CG=x，則BG=6﹣x，根據(jù)勾股定理得到BG=CG;故②正確;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠FGD=∠BFG，由平行線的判定得到DG∥BF，故③正確;由 = = ，由于S△GBE= ×3×4=6，于是得到S△BFG= ×6= ，④錯(cuò)誤.
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=90°，
∵△ADE沿ED對(duì)折至△FDE，
∴DF=AD，∠DFE=∠A=90°，
∴∠GFD=∠C=90°，
在Rt△DCG與Rt△DFG中， ，
∴△DCG≌△DFG，故①正確;
∴CG=CF，
設(shè)CG=x，則BG=6﹣x，
∵BE=2AE，
∴BE=4，AE=2，
∴EG=x+2，
∵BG2+BE2=EG2，
∴(6﹣x)2+42=(x+2)2，
∴x=3，
∴BG=CG;故②正確;
∵BG=GF，
∴∠GBF=∠GFB，
∵∠CGF=∠GBF+∠GFB，
又∵∠CGF=∠CGD+∠FGD，
∴∠GBF+∠GFB=∠CGD+∠FGD，
∵∠CGD=∠FGD，∠GBF=∠GFB，
∴∠FGD=∠BFG，
∴DG∥BF，故③正確;
∵△BFG和△CEG中，分別把FG和GE看作底邊，
則這兩個(gè)三角形的高相同.
∴ = = ，
∵S△GBE= ×3×4=6，
∴S△BFG= ×6= ，
∴④錯(cuò)誤;
正確的結(jié)論有3個(gè)，
故答案為：①②③.
三、解答題(本大題共9小題，共72分)
17.計(jì)算： ﹣2×(﹣4)﹣(﹣3)2+20170.
【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算;6E：零指數(shù)冪.
【分析】首先計(jì)算乘方、開方，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可.
【解答】解： ﹣2×(﹣4)﹣(﹣3)2+20170
=2 +8﹣9+1
=2
18.化簡(jiǎn)：(1﹣ )÷(a﹣ )，然后從﹣2≤a≤2中選出一個(gè)合適的整數(shù)作為a的值代入求值.
【考點(diǎn)】6D：分式的化簡(jiǎn)求值.
【分析】先將括號(hào)內(nèi)的部分通分相減，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解后約分即可.
【解答】解：原式= ÷ ，
= ×
= .
∵﹣2≤a≤2，且a為整數(shù)
∴a=﹣2或a=﹣1或a=0或a=1或a=2，
∵a≠﹣1，a≠0，a≠2，
∴a=﹣2或a=1，
∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，原式=﹣1，或者當(dāng)a=1時(shí)，原式= .
19.如圖，梯子斜靠在與地面垂直(垂足為O)的墻上，當(dāng)梯子位于AB位置時(shí)，它與地面所成的角∠ABO=60°;當(dāng)梯子底端向右滑動(dòng)1m(即BD=1m)到達(dá)CD位置時(shí)，它與地面所成的角∠CDO=45°，求梯子的長(結(jié)果保留根號(hào))
【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】設(shè)梯子長度為xm，由OB=AB•cos∠ABO= x、OD=CD•cos∠CDO= x，根據(jù)BD=OD﹣OB列方程求解可得.
【解答】解：設(shè)梯子的長為xm.
在Rt△ABO中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°= x，
在Rt△CDO中，∵cos∠CDO= ，
∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos45°= x.
∵BD=OD﹣OB，
∴ x﹣ x=1，
解得x=2 +2.
故梯子的長是(2 +2)米.
20.為了解中考體育科目訓(xùn)練情況，某縣從全縣九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了一次中考體育科目測(cè)試(把測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)：優(yōu)秀;B級(jí)：良好;C級(jí)：及格;D級(jí)：不及格)，并將測(cè)試結(jié)果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：
(1)本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是 40 ;
(2)圖1中∠α的度數(shù)是 54° ，并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該縣九年級(jí)有學(xué)生3500名，如果全部參加這次中考體育科目測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)不及格的人數(shù)為 700 .
(4)測(cè)試?yán)蠋熛霃?位同學(xué)(分別記為E、F、G、H，其中E為小明)中隨機(jī)選擇兩位同學(xué)了解平時(shí)訓(xùn)練情況，請(qǐng)用列表或畫樹形圖的方法求出選中小明的概率.
【考點(diǎn)】VC：條形統(tǒng)計(jì)圖;V5：用樣本估計(jì)總體;VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖;X6：列表法與樹狀圖法.
【分析】(1)用B級(jí)的人數(shù)除以所占的百分比求出總?cè)藬?shù);
(2)用360°乘以A級(jí)所占的百分比求出∠α的度數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去A、B、D級(jí)的人數(shù)，求出C級(jí)的人數(shù)，從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)用九年級(jí)所有得學(xué)生數(shù)乘以不及格的人數(shù)所占的百分比，求出不及格的人數(shù);
(4)根據(jù)題意畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解：(1)本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是： =40(人)，
故答案為：40;
(2)根據(jù)題意得：
360°× =54°，
答：圖1中∠α的度數(shù)是54°;
C級(jí)的人數(shù)是：40﹣6﹣12﹣8=14(人)，
如圖：
故答案為：54°;
(3)根據(jù)題意得：
3500× =700(人)，
答：不及格的人數(shù)為700人.
故答案為：700;
(4)根據(jù)題意畫樹形圖如下：
共有12種情況，選中小明的有6種，
則P(選中小明)= = .
21.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若|x1﹣x2|=3﹣x1x2時(shí)，求k的值.
【考點(diǎn)】AB：根與系數(shù)的關(guān)系;AA：根的判別式.
【分析】(1)根據(jù)判別式的意義得到△=(﹣3)2﹣4k≥0，然后解不等式即可得到m的范圍;
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=3，x1x2=k，再利用完全平方公式把|x1﹣x2|=3﹣x1x2轉(zhuǎn)化為(x1+x2)2﹣4x1x2=9﹣6x1x2+(x1x2)2，則9﹣4k=9﹣6k+k2，然后解關(guān)于k的方程即可.
【解答】解：(1)根據(jù)題意得△=(﹣3)2﹣4k≥0，
解得k≤ ;
(2)根據(jù)題意得x1+x2=3，x1x2=k，
∵|x1﹣x2|=3﹣x1x2，
∴(x1﹣x2)2=(3﹣x1x2)2，
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=9﹣6x1x2+(x1x2)2，
即9﹣4k=9﹣6k+k2，
整理得k2﹣2k=0，
解得k1=0，k2=2，
而k≤ ，
∴k=0或2.
22.某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時(shí)，y=55;x=75時(shí)，y=45.
(1)求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式;
(2)若該商場(chǎng)獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式;銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤，最大利潤是多少元?
【考點(diǎn)】HE：二次函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】(1)先用待定系數(shù)法求出y與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)利潤=銷售量×(銷售單價(jià)﹣成本)得到W與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出商場(chǎng)獲得的最大利潤以及獲得最大利潤時(shí)的售價(jià).
【解答】解：(1)根據(jù)題意得 ，
解得 .
所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x+120.
(2)w=(x﹣60)(﹣x+120)
=﹣x2+180x﹣7200
=﹣(x﹣90)2+900，
∵拋物線的開口向下，
∴當(dāng)x<90時(shí)，w隨x的增大而增大，
而60≤x≤87，
∴當(dāng)x=87時(shí)，w═﹣(87﹣90)2+900=891.
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤，最大利潤是891元.
23.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E在BC上，以CE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F，AO∥EF
(1)求證：AB是⊙O的切線;
(2)如圖2，連結(jié)CF交AO于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)P，若BE=2，BF=4，求 的值.
【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì);S9：相似三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)連接OF，如圖，利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，再證明△AOC≌△AOF得到∠ACO=∠AFO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論;(2)在Rt△OFB中，設(shè)OE=OF=r，利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2，解得r=3，則OB=5，再證明△BEF∽△BOA得到 = = ，然后證明△PEF∽△PAO，利用相似比可得到 的值.
【解答】(1)證明：連接OF，如圖，
∵OA∥EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OE=OF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△AOC和△AOF中
，
∴△AOC≌△AOF，
∴∠ACO=∠AFO=90°，
∴OF⊥AB，
∴AB是⊙O的切線;
(2)解：在Rt△OFB中，設(shè)OE=OF=r，
∵OF2+BF2=OB2，
∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，
∴OB=5，
∴OA∥EF，
∴△BEF∽△BOA，
∴ = = ，
∵EF∥OA，
∴△PEF∽△PAO，
∴ = = ，
∴ = .
24.將一塊正方形和一塊等腰直角三角形如圖1擺放.
(1)如果把圖1中的△BCN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到圖2，則∠GBM= 45° ;
(2)將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn).
①當(dāng)M，N分別在AD，CD上(不與A，D，C重合)時(shí)，線段AM，MN，NC之間有一個(gè)不變的相等關(guān)系式，請(qǐng)你寫出這個(gè)關(guān)系式： MN=AM+CN ;(不用證明)
②當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上，點(diǎn)N在DC的延長線時(shí)(如圖3)，①中的關(guān)系式是否仍然成立?若成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由;若不成立，寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并說明理由.
【考點(diǎn)】RB：幾何變換綜合題.
【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GBA=∠CBN，于是得到∠ABM+∠GBA=45°，即可得到結(jié)論;
(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，得到D，A，G三點(diǎn)共線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GM=MN，于是得到結(jié)論;
?、谠贏M上截取AG，使得AG=CN，連結(jié)BG;根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠BCN=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BG=BN，∠ABG=∠NBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)在正方形ABCD和等腰直角△BEF中，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠GBA=∠CBN，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
即∠GBM=45°，
故答案為：45°;
(2)①AM+NC=MN;
理由：∵把圖1中的△BCN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠C=90°，AG=CN，BG=BN，∠ABG=∠CBN，
∴∠GAB+∠DAB=180°，
∴D，A，G三點(diǎn)共線，
∴∠ABM+∠GBA=45°，
∴∠GBM=∠MBN，
在△GBM與△NBM中， ，
∴△GBM≌△NBM，
∴GM=MN，
∵GM=AG+AM=CN+AM，
∴MN=AM+CN;
故答案為：MN=AM+CN;
②上面的式子不成立，結(jié)論是：AM﹣NC=MN，
理由：在AM上截取AG，使得AG=CN，連結(jié)BG;
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCN=90°，
在△BAG與△BCN中， ，
∴△BAG≌△BCN，
∴BG=BN，∠ABG=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBC+∠CBN=∠MBC+∠ABG=45°=∠GBM，
在△BGM與△BMN中，
，
∴△BGM≌△BNM，
∴GM=NM，
∴AM﹣CN=MN.
25.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(1，4)，與y軸交于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式
(2)點(diǎn)F在第三象限的拋物線上，且S△BEF=15，求點(diǎn)F的坐標(biāo)
(3)點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AE交拋物線于點(diǎn)Q，若以A，P，Q，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果沒有，請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.
【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，把點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(1，4)，分別代入求出a，b，c的值即可求出拋物線的解析式;
(2)設(shè)x軸上有一點(diǎn)G，使得S△EGB=15，易求點(diǎn)G的坐標(biāo)，過點(diǎn)G作GF∥BE，交第三象限拋物線于點(diǎn)F，求出直線GF解析式，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)分點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊和右邊兩種情況，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，從點(diǎn)A、C的坐標(biāo)關(guān)系，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解即可.
【解答】解：
(1)設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，把點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，C(1，4)代入得：
，
解得： ，
∴拋物線的解析式是y=﹣x2+2x+3;
(2)設(shè)x軸上有一點(diǎn)G，使得S△EGB=15，
∵EO=3，
∴BG=10，
∵BO=3，
∴OG=7，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)是(﹣7，0)，
過G作GF∥BE，交第三象限拋物線于點(diǎn)F，
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，
由點(diǎn)B(3，0)，點(diǎn)E坐標(biāo)(0，3)可得y=﹣x﹣3，
∴直線GF解析式為y=﹣x﹣7，
聯(lián)立拋物線和直線GF的解析式得： ，
解得：x=﹣2，y=﹣5或x=5，y=12，
∵點(diǎn)F在第三象限的拋物線上，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(﹣2，﹣5);
(3)∵直線l∥AC，
∴PQ∥AC且PQ=AC，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，
則①若點(diǎn)Q在x軸上方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+1，3)，
此時(shí)，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，
解得x1=﹣1(舍去)，x2=1，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)，
?、谌酎c(diǎn)Q在x軸下方，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x﹣1，﹣3)，
此時(shí)，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，
整理得，x2﹣4x﹣3=0，
解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1+ ，﹣3)或(1﹣ ，﹣3)，
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，3)或(1+ ，﹣3)或(1﹣ ，﹣3).
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