培養(yǎng)逆向思維提高解題效率
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李泗敏1由 分享
逆向思維也叫求異思維，它與常規(guī)思維不同，逆向思維是反過來思考問題，是用絕大多數(shù)人沒有想到的思維方式去思考問題．運(yùn)用逆向思維去思考和處理問題，實(shí)際上就是以“出奇”去達(dá)到“制勝”．人們常常習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問題并尋求解決辦法．其實(shí)，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會(huì)使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉．
逆向思維作為一種重要的思維方式 ,歷來受到人們的廣泛重視 , 它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用十分重要 ,它是當(dāng)前素質(zhì)教育中不可忽視的內(nèi)容之一．在數(shù)學(xué)教學(xué)中 ,加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練和培養(yǎng) ,可以提高學(xué)生的解題效率,增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．課堂教學(xué)結(jié)果表明：許多學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向?qū)W習(xí)公式、定理等并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神．因此，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力．迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，正是數(shù)學(xué)能力增強(qiáng)的一種標(biāo)志．因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)和習(xí)慣．我就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力談?wù)勛约旱目捶ǎ?br/> 充分利用教材所提供的素材 ,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)和自覺性．?dāng)?shù)學(xué)中的許多概念存在著互逆關(guān)系 ,例如正負(fù)數(shù)的概念 ,指數(shù)與對數(shù)的概念等 ,還有許多的公式、法則、定理等都存在著互逆關(guān)系 ,這些都是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的好素材．因此 ,在概念、法則、定理等教學(xué)中 ,要根據(jù)教材本身所提供的潛在的可逆性 ,從正反、順逆兩方面去進(jìn)行分析、比較 ,使學(xué)生深刻理解有關(guān)定義和法則 ,掌握其本質(zhì)特征．同時(shí) ,還要精選一些習(xí)題 ,有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練．這樣 ,非常有利于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí) ,以及解決問題的思維方法．重點(diǎn)從幾個(gè)方面去說
一、在概念教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生逆向思維
數(shù)學(xué)概念、定義總是雙向的，我們在平時(shí)的教學(xué)中，只秉承了從左到右的運(yùn)用，于是形成了定性思維，對于逆用公式、法則等很不習(xí)慣．因此在概念的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解概念本身及其常規(guī)應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展．例如：講述：“同類二次根式”時(shí)明確“化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式是同類二次根式”．反過來，若兩個(gè)二次根式是同類二次根式，則必須在化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同．例如：“互為余角”的定義教學(xué)中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互為余角（正向思維）．∵∠A、∠B互為余角．∴∠A+∠B＝90°（逆向思維）．使學(xué)生把握住“互為余角”的實(shí)質(zhì)：⑴∠A與∠B“互為余角”表示∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角；⑵互余的定義規(guī)定是“兩個(gè)角”，而不是一個(gè)角，也不是兩個(gè)以上的角．因此，像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1、∠2、∠3互為余角”等說法都是錯(cuò)誤的；⑶“互為余角”是兩個(gè)角之間的 “數(shù)量關(guān)系”，它與兩個(gè)角的位置無關(guān)．準(zhǔn)確地掌握概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的首要環(huán)節(jié)．當(dāng)然，在平常的教學(xué)中，教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時(shí)給學(xué)生以訓(xùn)練．
二、重視公式、法則的逆運(yùn)用
公式從左到右及從右到左，這樣的轉(zhuǎn)換正是由正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)．因此，當(dāng)講授完一個(gè)公式及其應(yīng)用后，緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子，可以給學(xué)生一個(gè)完整的印象，開闊思維空間．在代數(shù)中公式的逆向應(yīng)用比比皆是．如多項(xiàng)式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數(shù)冪的運(yùn)算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如：計(jì)算（1） 22000×52001；（2）2m×4m×0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復(fù)雜，甚至解答不了，靈活逆用所學(xué)的冪的運(yùn)算法則，則會(huì)出奇制勝．故逆向思維可充分發(fā)揮學(xué)生的思考能力，提高解題效率，也可大大刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性與探索數(shù)學(xué)奧秘的興趣．
三、加強(qiáng)逆定理的教學(xué)
每個(gè)定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經(jīng)過證明后成立即為逆定理．逆命題是尋找新定理的重要途徑．在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理．如：平行線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理與逆定理等，注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)應(yīng)用對開闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處．例：△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n＞0),求證△ABC是直角三角形．
分析 已知三邊,欲證△ABC是直角三角形,可考慮用勾股定理的逆定理
證明 ∵n＞0
∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1即c＞b＞a
又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴a2+b2=c2
根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．
四、在例題教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維
學(xué)生在解題時(shí)往往習(xí)慣于正向使用定律、法則、公式，因此容易形成消極的思維定勢，從而使解題的思維受阻．我在講解定律、法則、分式時(shí)，除安排正向應(yīng)用的例題外，也常適當(dāng)安排一些逆向思維的范例．
如幾何中的反證法，以及在應(yīng)用題教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生用“分析法”分析問題，用綜合法解答問題也是逆向思維在教學(xué)中的應(yīng)用等等．教師要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，必須把握教材，注意發(fā)揮這方面范例的作用．
另外，教師可以根據(jù)實(shí)際情況，在學(xué)生學(xué)有余力的情況下，適當(dāng)補(bǔ)充一些逆向思維的范例．通過教材和自己補(bǔ)充的一些范例的學(xué)習(xí)，學(xué)生的逆向思維便會(huì)潛移默化地受到熏陶，同時(shí)也提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
五、多用“逆向變式”訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維
“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成一種與原題目似曾相似的新題型．例如：不解方程，請判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況．可變式為：已知關(guān)于x的方程2x2-6x+k=0，當(dāng)K取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？經(jīng)常進(jìn)行這些有針對性的“逆向變式”訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用．
逆向思維的培養(yǎng)、訓(xùn)練也是一個(gè)持久的過程．我在安排練習(xí)時(shí)，總是精心設(shè)計(jì)好練習(xí)題，要為學(xué)生提供逆向思維的材料，設(shè)法通過不同層次的練習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練．另外，還要多鼓勵(lì)學(xué)生突破常規(guī)的思維方式，敢于想象，敢于標(biāo)新立異．這些練習(xí)都活躍了學(xué)生的思維，有效地訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維．
總之，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅提高了學(xué)生解題效率，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)．
逆向思維作為一種重要的思維方式 ,歷來受到人們的廣泛重視 , 它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用十分重要 ,它是當(dāng)前素質(zhì)教育中不可忽視的內(nèi)容之一．在數(shù)學(xué)教學(xué)中 ,加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練和培養(yǎng) ,可以提高學(xué)生的解題效率,增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．課堂教學(xué)結(jié)果表明：許多學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，定性于順向?qū)W習(xí)公式、定理等并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神．因此，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問題和解決問題的能力．迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，正是數(shù)學(xué)能力增強(qiáng)的一種標(biāo)志．因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)實(shí)際，有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)和習(xí)慣．我就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力談?wù)勛约旱目捶ǎ?br/> 充分利用教材所提供的素材 ,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)和自覺性．?dāng)?shù)學(xué)中的許多概念存在著互逆關(guān)系 ,例如正負(fù)數(shù)的概念 ,指數(shù)與對數(shù)的概念等 ,還有許多的公式、法則、定理等都存在著互逆關(guān)系 ,這些都是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的好素材．因此 ,在概念、法則、定理等教學(xué)中 ,要根據(jù)教材本身所提供的潛在的可逆性 ,從正反、順逆兩方面去進(jìn)行分析、比較 ,使學(xué)生深刻理解有關(guān)定義和法則 ,掌握其本質(zhì)特征．同時(shí) ,還要精選一些習(xí)題 ,有意識(shí)地加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練．這樣 ,非常有利于培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí) ,以及解決問題的思維方法．重點(diǎn)從幾個(gè)方面去說
一、在概念教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生逆向思維
數(shù)學(xué)概念、定義總是雙向的，我們在平時(shí)的教學(xué)中，只秉承了從左到右的運(yùn)用，于是形成了定性思維，對于逆用公式、法則等很不習(xí)慣．因此在概念的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解概念本身及其常規(guī)應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展．例如：講述：“同類二次根式”時(shí)明確“化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式是同類二次根式”．反過來，若兩個(gè)二次根式是同類二次根式，則必須在化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同．例如：“互為余角”的定義教學(xué)中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互為余角（正向思維）．∵∠A、∠B互為余角．∴∠A+∠B＝90°（逆向思維）．使學(xué)生把握住“互為余角”的實(shí)質(zhì)：⑴∠A與∠B“互為余角”表示∠A是∠B的余角，∠B也是∠A的余角；⑵互余的定義規(guī)定是“兩個(gè)角”，而不是一個(gè)角，也不是兩個(gè)以上的角．因此，像“∠A是余角”.“∵∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1、∠2、∠3互為余角”等說法都是錯(cuò)誤的；⑶“互為余角”是兩個(gè)角之間的 “數(shù)量關(guān)系”，它與兩個(gè)角的位置無關(guān)．準(zhǔn)確地掌握概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的首要環(huán)節(jié)．當(dāng)然，在平常的教學(xué)中，教師本身應(yīng)明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時(shí)給學(xué)生以訓(xùn)練．
二、重視公式、法則的逆運(yùn)用
公式從左到右及從右到左，這樣的轉(zhuǎn)換正是由正向思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力的體現(xiàn)．因此，當(dāng)講授完一個(gè)公式及其應(yīng)用后，緊接著舉一些公式的逆應(yīng)用的例子，可以給學(xué)生一個(gè)完整的印象，開闊思維空間．在代數(shù)中公式的逆向應(yīng)用比比皆是．如多項(xiàng)式的乘法公式的逆用用于因式分解、同底數(shù)冪的運(yùn)算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如：計(jì)算（1） 22000×52001；（2）2m×4m×0.125m等，這組題目若正向思考不但繁瑣復(fù)雜，甚至解答不了，靈活逆用所學(xué)的冪的運(yùn)算法則，則會(huì)出奇制勝．故逆向思維可充分發(fā)揮學(xué)生的思考能力，提高解題效率，也可大大刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性與探索數(shù)學(xué)奧秘的興趣．
三、加強(qiáng)逆定理的教學(xué)
每個(gè)定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經(jīng)過證明后成立即為逆定理．逆命題是尋找新定理的重要途徑．在平面幾何中，許多的性質(zhì)與判定都有逆定理．如：平行線的性質(zhì)與判定，線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理與逆定理等，注意它的條件與結(jié)論的關(guān)系，加深對定理的理解和應(yīng)用，重視逆定理的教學(xué)應(yīng)用對開闊學(xué)生思維視野，活躍思維大有益處．例：△ABC中,a=2n+1, b=2n2+2n, c=2n2+2n+1(n＞0),求證△ABC是直角三角形．
分析 已知三邊,欲證△ABC是直角三角形,可考慮用勾股定理的逆定理
證明 ∵n＞0
∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1即c＞b＞a
又∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2
=4n4+8n3+8n2+4n+1
c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1
∴a2+b2=c2
根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．
四、在例題教學(xué)中培養(yǎng)逆向思維
學(xué)生在解題時(shí)往往習(xí)慣于正向使用定律、法則、公式，因此容易形成消極的思維定勢，從而使解題的思維受阻．我在講解定律、法則、分式時(shí)，除安排正向應(yīng)用的例題外，也常適當(dāng)安排一些逆向思維的范例．
如幾何中的反證法，以及在應(yīng)用題教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生用“分析法”分析問題，用綜合法解答問題也是逆向思維在教學(xué)中的應(yīng)用等等．教師要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，必須把握教材，注意發(fā)揮這方面范例的作用．
另外，教師可以根據(jù)實(shí)際情況，在學(xué)生學(xué)有余力的情況下，適當(dāng)補(bǔ)充一些逆向思維的范例．通過教材和自己補(bǔ)充的一些范例的學(xué)習(xí)，學(xué)生的逆向思維便會(huì)潛移默化地受到熏陶，同時(shí)也提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
五、多用“逆向變式”訓(xùn)練，強(qiáng)化學(xué)生的逆向思維
“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成一種與原題目似曾相似的新題型．例如：不解方程，請判斷方程2x2-6x+3=0的根的情況．可變式為：已知關(guān)于x的方程2x2-6x+k=0，當(dāng)K取何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？經(jīng)常進(jìn)行這些有針對性的“逆向變式”訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用．
逆向思維的培養(yǎng)、訓(xùn)練也是一個(gè)持久的過程．我在安排練習(xí)時(shí)，總是精心設(shè)計(jì)好練習(xí)題，要為學(xué)生提供逆向思維的材料，設(shè)法通過不同層次的練習(xí)題對學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練．另外，還要多鼓勵(lì)學(xué)生突破常規(guī)的思維方式，敢于想象，敢于標(biāo)新立異．這些練習(xí)都活躍了學(xué)生的思維，有效地訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維．
總之，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅提高了學(xué)生解題效率，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)．