高三理科數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷
把主要精力放在基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法這三個方面上,今天小編就給大家分享一下高三數(shù)學(xué),歡迎閱讀學(xué)習(xí)
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷理科
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合 ,則集合 且 為( )
A. B. C. D.
2. 若復(fù)數(shù) 滿足 ,則 的虛部為( )
A. B. C. D.
3.三角形內(nèi),a>b是cosA
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4. 若 是 的一個內(nèi)角,且 ,則 的值為( )
A. B. C. D.
5. 兩個非零向量 滿足 則向量 與 夾角為( )
A. B. C. D.
6. 如果 位于第三象限,那么角 所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第一或三象限 D.第二或四象限
7. 函數(shù) 的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
8. 已知數(shù)列 滿足: , ,設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ,則 ( )
A.1007 B.1008 C.1009.5 D.1010
9. 在平面直角坐標(biāo)系 中,角 與角 均以 為始邊,它們的終邊關(guān)于x軸對稱,若 ,則 ( )
A. 或 B. 或 C. D.
10.已知函數(shù) 的圖象向左平移 個單位后,得到函數(shù) 的圖象,下列關(guān)于 的說法正確的是( )
A.圖象關(guān)于點 中心對稱 B.圖象關(guān)于點 中心對稱.
C.圖象關(guān)于 軸對稱 D.圖象關(guān)于 軸對稱
11. 已知函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱,若函數(shù) 有四個零點 則 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12. 已知 是定義在 上的單調(diào)遞減函數(shù), 是其導(dǎo)函數(shù),若 ,則下列不等關(guān)系成立的是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上).
13. 已知 若 ,則實數(shù) __________
14. __________
15. 在 中, ,其面積為 ,則 的取值范圍是__________
16. 關(guān)于函數(shù) ,有下列命題:
①由 可得 必是 的整數(shù)倍;
?、?的表達式可改寫為 ;
③ 的圖象關(guān)于點 對稱;
?、?的圖象關(guān)于直線 對稱.
其中不正確的命題的序號是__________.
三、解答題(本大題共6小題,滿分共70分)
17.(本小題滿分10分) 在 中,角 、 、 的對邊分別為 、 、 ,向量 , ,且 .
(1)求銳角 的大小;
(2)若 ,求 面積的最大值.
19.(本小題滿分12分)
某經(jīng)銷商計劃經(jīng)營一種商品,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每日的銷售量 (單位:千克)與銷售價格 (單位:元/千克, ),滿足:當(dāng) 時, ( 為常數(shù));當(dāng) 時, .已知當(dāng)銷售價格為 元/千克時,每日可售出該特產(chǎn) 千克;當(dāng)銷售價格為 元/千克時,每日可售出 千克.
(1)求 的值,并確定 關(guān)于 的函數(shù)解析式;
(2)若該商品的銷售成本為 元/千克,試確定銷售價格 的值,使店鋪每日銷售該特產(chǎn)所獲利潤 最大
20.(本小題滿分12分)
設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 的前 項和為 ,滿足 , 且 構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列 的通項公式;
(2)若對一切正整數(shù) 都有 ,求實數(shù) 的最小值.
21.(本小題滿分12分)
已知 .
(1)討論 的單調(diào)性
(2)若 在 上有且僅有一個零點,求 的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(1)若 ,求曲線 在點 處的切線方程
(2)若 在 上恒成立,求實數(shù) 的取值范圍
(3)若數(shù)列 的前 項和 , ,求證:數(shù)列 的前 項和
數(shù) 學(xué) 試 題 答 案(理科)
1--12 B DCBC CCDCB BA
13. -1 14. 15.(-1,0) 16. (1)(4)
17.解:(1)∵ ,∴ , +1分
∴ . +3分
又∵ 為銳角,∴ ,
∴ ,∴ . +5分
4. ∵ , ,
由余弦定理 ,得 . +7分
又 ,代入上式,得 ,
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立. +9分
故 ,
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立,
即 的最大值為 . +10分
+4分
+6分
+8分
+10分
+12分
19.解:(1)由題意: 時 ,
∴ ,
又∵ 時 ,
∴ ,可得 , +2分
∴ +4分
(2)由題意: +5分
當(dāng) 時,
由 得 或 由 得
所以 在 上是增函數(shù),在 上是減函數(shù)
因為 所以 時, 的最大值為 +8分
當(dāng) 時,
當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時取等號,
∴ 時有最大值 . ∵ , +11分
∴當(dāng) 時 有最大值 ,
即當(dāng)銷售價格為 元的值,使店鋪所獲利潤最大. +12分
20.解:(1) 即
且
∴ ,
∴ ,
∵ ,∴ ,
∴當(dāng) 時, 是公差為 的等差數(shù)列. +4分
∵ ,構(gòu)成等比數(shù)列,
∴ ,解得 , +5分
又由已知,當(dāng) 時, ,
∴ ∵ ,
∴ 是首項 ,公差 的等差數(shù)列.
∴數(shù)列 的通項公式 . +6分
(2)由(1)可得式
+10分
解得
∴ 的最小值為 +12分
21.解:(1)由已知 的定義域為 ,又 , +1分
當(dāng) 時, 恒成立; +2分
當(dāng) 時,令 得 ;令 得 . +4分
綜上所述,當(dāng) 時, 在 上為增函數(shù);
當(dāng) 時, 在 上為增函數(shù),在 上為減函數(shù). +5分
(2)由題意 ,則 , +6分
當(dāng) 時,∵ , +7分
∴g在上為增函數(shù),又 ,不符合題意.
當(dāng) 時, , +8分
令 ,則 .
令 的兩根分別為 且 ,
則∵ ,∴ ,
當(dāng) 時, ,∴ ,∴ 在 上為增函數(shù);
當(dāng) 時, ,∴ ,∴ 在 上為減函數(shù);
當(dāng) 時, ,∴ ,∴ 在 上為增函數(shù).
∵g=0,∴ 在上只有一個零點 1,且 >0, <0.
∴ ,
∴g在上必有一個零點.
∵ ,當(dāng) 時,g<0,∴ .
∴ 在 上必有一個零點.
綜上所述,a的取值范圍為 +12分
22.解:(1)因為 ,所以 , ,切點為 .由 ,所以 ,所以曲線 在 處的切線方程為 ,即 +2分
(2)由 ,令 ,則 (當(dāng)且僅當(dāng) 取等號).故 在 上為增函數(shù).
①當(dāng) 時, ,故 在 上為增函數(shù),所以 恒成立,故 符合題意;
?、诋?dāng) 時,由于 , ,根據(jù)零點存在定理,必存在 ,使得 ,由于 在 上為增函數(shù),故當(dāng) 時, ,故 在 上為減函數(shù), 所以當(dāng) 時, ,故 在 上不恒成立,所以 不符合題意.綜上所述,實數(shù) 的取值范圍為 +6分
(3)證明:由 由2知當(dāng) 時, ,故當(dāng) 時, , 故 ,故 .下面證明:
因為
而,
所以, ,即: +12分
關(guān)于高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的
1.已知 則 等于( )
A. B. C. D.
2.命題“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.“ ”是“ ”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知函數(shù)y=f(x),其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像如圖所示,則y=f(x)( )
A.在(-∞,0)上為減少的 B.在x=0處取極小值
C.在(4,+∞)上為減少的 D.在x=2處取極大值
5. ( )
A.0 B. C. D.1
6.下列求導(dǎo)運算正確的是( )
A.(cos x)′=sin x B.(ln 2x)′=1x C.(3x)′=3xlog3e D.(x2ex)′=2xex
7 .將函數(shù)y=sinx-π3的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖象向左平移π3個單位,得到的圖象對應(yīng)的解析式為( )
A.y=sin 12x B.y=sin12x-π2 C.y=sin12x-π6 D.y=sin2x-π6
8.三次函數(shù) 的圖象在點 處的切線與 軸平行,則 在區(qū)間 上的最小值是( )
A. B. C. D.
9.函數(shù)錯誤!未找到引用源。(錯誤!未找到引用源。且錯誤!未找到引用源。)的圖象可能為( )
A. B. C. D.
10.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,則tanα的值是( )
A.25 B.2 C.-2 D.-25
11.已知錯誤!未找到引用源。是定義在錯誤!未找到引用源。上的奇函數(shù),當(dāng)錯誤!未找到引用源。時, 錯誤!未找到引用源。,則函數(shù)錯誤!未找到引用源。的零點的集合為( )
A.錯誤!未找到引用源。 B.錯誤!未找到引用源。 C.錯誤!未找到引用源。 D.錯誤!未找到引用源。
12. 對于函數(shù)錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源。,若存在錯誤!未找到引用源。,錯誤!未找到引用源。,使得錯誤!未找到引用源。,則稱函數(shù)錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源?;?ldquo;零點密切函數(shù)”,現(xiàn)已知函數(shù)錯誤!未找到引用源。與錯誤!未找到引用源?;?ldquo;零點密切函數(shù)”,則實數(shù)錯誤!未找到引用源。的取值范圍是( )
A.[3,4] B.[1,2] C.[-1,3] D.[-3,1]
二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.已知sin(π-θ)=-23,且θ∈-π2,0,則tan(2π-θ)=
14.已知冪函數(shù)f(x)= ,若f(a+1)
15.設(shè)函數(shù) ,則
16.如圖,在 中, ,點 在線段 上,且 , ,
則 的面積的最大值為 .
三.解答題:共70分。解答題應(yīng)寫出文字說明,證題過程或演算步驟。
17.(10分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時, f(x)=x2+2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象,如圖所示.
(1)畫出函數(shù)f(x)在y軸右側(cè)的圖象,并寫出函數(shù)f(x)(x∈R)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),當(dāng)a>1時求函數(shù)g(x)的最小值.
18.(12分)已知函數(shù)f(x)=4cosωx•sinωx+π4 (ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在區(qū)間0,π2上的單調(diào)增區(qū)間.
19.(12分)已知△ABC是斜三角形,內(nèi)角A,B,C所對的邊的長分別為a,b,c.若csin A=3acos C.
(1)求角C;
(2)若c=21,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC的面積.
20. (12分)已知函數(shù)f(x)=-x3+12x+m.
(1)若x∈R,求函數(shù)f(x)的極大值與極小值之差;
(2)若函數(shù)y=f(x)有三個零點,求m的取值范圍.
21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=12ax+b.
(1)若f(x)與g(x)在x=1處相切,求g(x)的表達式;
(2)若φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)m的取值范圍.
22.(12分)設(shè)函數(shù) , ,其中 .
(1)求 的單調(diào)區(qū)間;
(2)若 存在極值點 ,且 ,其中 ,求證: .
高三數(shù)學(xué)(理科)試卷參考答案
一.選擇題:
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A C B B C D D B D A
二.填空題:
13. 14. (3,5) 15. 7 16.
三.解答題:共70分。解答題應(yīng)寫出文字說明,證題過程或演算步驟。
17.(10分)
解:(1)若x>0,則-x<0,又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù), ----( 補畫圖正確給3分)
且當(dāng)x≤0時, f(x)=x2+2x,
∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
∴f(x)= --------5分
(3)g(x)=x2-2x-2ax+2,其圖象的對稱軸方程為x=a+1,
當(dāng)a>1時,a+1>2,g(x)=x2-2x-2ax+2)在[1,2]上單調(diào)遞減, ----------8分
g(x)在[1,2]上的最小值為g(2)=2-4a 。 ----------10分
18. (12分)
解:(1)f(x)=4cos ωx•sinωx+π4=22sin ωx•cos ωx+22cos2ωx
=2(sin 2ωx+cos 2ωx)+2=2sin2ωx+π4+2. ------4分
因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0,從而有2π2ω=π,故ω=1. -----6分
(2)由(1)知,f(x)=2sin2x+π4+2.若0≤x≤π2,則π4≤2x+π4≤5π4. ------7分
當(dāng)π4≤2x+π4≤π2,即0≤x≤π8時,f(x)單調(diào)遞增;
綜上可知,f(x)在區(qū)間0,π8上單調(diào)遞增。 ------------ 12分
19.(12分)
解:(1)根據(jù)asin A=csin C,可得csin A=asin C, ----------2分
又因為csin A=3acos C,所以asin C=3acos C, ---------4分
所以sin C=3cos C,所以tan C=sin Ccos C=3,
因為C∈(0,π),所以C=π3. ------------6分
(2)因為sin C+sin(B-A)=5sin 2A,sin C=sin(A+B),
所以sin(A+B)+sin(B-A)=5sin 2A,
所以2sin Bcos A=5×2sin Acos A.
因為△ABC為斜三角形,所以cos A≠0,
所以sin B=5sin A. ----------8分
由正弦定理可知b=5a, ①
由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
所以21=a2+b2-2ab×12=a2+b2-ab,?、?/p>
由①②解得a=1,b=5, -----------10分
所以S△ABC=12absin C=12×1×5×32=534. ---------12分
20. (12分)
解:(1)f′(x)=-3x2+12.
當(dāng)f′(x)=0時,x=-2或x=2.
當(dāng)f′(x)>0時,-2
∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上單調(diào)遞減,在(-2,2)上單調(diào)遞增.-------3分
∴f(x)極小值=f(-2)=-16+m. ,
f(x)極大值=f(2)=16+m.
∴f(x)極大值-f(x)極小值=32. ---------------6分
(2)由(1)知要使函數(shù)y=f(x)有三個零點,必須f(x)極小值<0,f(x)極大值>0,----------10分
即-16+m<0,16+m>0,∴-16
∴m的取值范圍為(-16,16). --------------12分
21.(12分)
解:(1)由已知得f′(x)=1x,
所以f′(1)=1=12a,所以a=2. --------3分
又因為g(1)=0=12a+b,所以b=-1,
所以g(x)=x-1. --------6分
(2)因為φ(x)=m(x-1)x+1-f(x)=m(x-1)x+1-ln x在[1,+∞)上是減函數(shù).
所以φ′(x)=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)2≤0在[1,+∞)上恒成立. --------9分
即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,
則2m-2≤x+1x,x∈[1,+∞),
因為x+1x∈[2,+∞),
所以2m-2≤2,m≤2.
故實數(shù)m的取值范圍是(-∞,2]. ----------12分
22.(12分)
解:(1)由 ,可得 ,下面分兩種情況討論:
?、?時,有 恒成立,所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .-----2分
②當(dāng) 時,令 ,解得 或 .
當(dāng) 變化時, , 的變化情況如下表:
0 0
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ,單調(diào)遞增區(qū)間為 , .---6分
(2)證明:因為 存在極值點,所以由(1)知 且 .由題意,
得 ,即 , -----7分
進而 ,
又 ,且 , ---------10分
由題意及(1)知,存在唯一實數(shù) 滿足 ,且 ,
因此 ,所以 . -------- 12分
上學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中試卷理科
第I卷 (選擇題, 共60分)
一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分,每小題只有一個正確答案)
1. 已知集合 2, , ,則
A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3} D. {1,2}
2.已知復(fù)數(shù) (其中i是虛數(shù)單位),則 =( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,“ >0”是“△ABC為銳角三角形”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
4設(shè)數(shù)列 是單調(diào)遞增的等差數(shù)列, 且 , , 成等比數(shù)列,則 ( )
A.1009 B. 1011 C. 2018 D. 2019
5. ,,則 ( )
A. B. C. D.
6.函數(shù) 的最小正周期為 ,若其圖象向左平移 個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù),則 =
A. B. C. D.-
7.函數(shù) 的圖象可能是( )
A. B. C. D.
8.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有人持金出五關(guān),前關(guān)二而稅一,次關(guān)三而稅一,次關(guān)四而稅一,次關(guān)五而稅一,次關(guān)六而稅一,并五關(guān)所稅,適重一斤”。其意思為“今有持金出五關(guān),第1關(guān)收稅金為持金的 ,第2關(guān)收稅金為剩余金的 ,第3關(guān)收稅金為剩余金的 ,第4關(guān)收稅金為剩余金的 ,第5關(guān)收稅金為剩余金的 ,5關(guān)所稅金之和,恰好重1斤。”則在此問題中,第5關(guān)收稅金為( )
A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤
9.設(shè)正實數(shù) 滿足 則( )
A. B. C. D.
10.已知數(shù)列 為等差數(shù)列,若 ,且它們的前n項和 有最大值,則使得 的n的最大值為( )
A. 39 B.40 C.41 D.42
11.已知兩個單位向量 , ,且滿足,存在向量 使 ,則 的最大值為
A. 2 B. C. D. 1
12.已知點 是曲線 上任意一點,記直線 ( 為坐標(biāo)系原點)的斜率為 ,則( )
A.至少存在兩個點 使得 B.對于任意點 都有
C.對于任意點 都有 D.至少存在兩個點 使得
第Ⅱ卷 (非選擇題, 共90分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上)
13. 。
14.設(shè)向量 與 的夾角為 , ,則 。
15.已知 若函數(shù) 只有一個零點,則 的取值范圍是________。
16.設(shè)△ 的三邊 所對的角分別為 .已知 ,則 的最大值為_____。
三.解答題(滿分70分,解答應(yīng)寫出文字說明,推理過程或演算步驟)
17、(本小題滿分12分)
已知在等差數(shù)列 中, 為其前 項和, ;等比數(shù)列 的前 項和 .
(I)求數(shù)列 , 的通項公式;
(II)設(shè) ,求數(shù)列 的前 項和 .
18、(本小題滿分12分)
如圖,在 中,點P在邊BC上,, , .
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若 的面積是,求 .
19、(本小題滿分12分)
食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥,化肥的濫用給人民群眾的健康帶來一定的危害,為了給消費者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲,乙兩個無公害蔬菜大棚,每個大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)種西紅柿的的年收入P與投入 (單價:萬元)滿足 ,種黃瓜的年收入Q與投入 (單價:萬元)滿足 ,設(shè)甲大棚的投入為 (單價:萬元),每年兩個大棚的總收益為 (單價:萬元).
(Ⅰ)求 的值
(Ⅱ)試問如何安排甲,乙兩個大棚的投入,才能使總收益 最大?
20、(本小題滿分12分)
將射線y=17x(x≥0)繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)π4后所得的射線經(jīng)過點A(cos θ,sin θ).
(I)求點A的坐標(biāo);
(II)若向量 =(sin 2x,2cos θ), =(3sin θ,2cos 2x),求函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性.
21、(本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng) 時,求 的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若 ,且 ,證明: .
請考生在第22、23題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計分.做答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。
22(本小題滿分10分)
選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為 .
(Ⅰ)求圓C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)過點 且傾斜角為 的直線l與圓C交于A,B兩點,且 ,求直線l的普通方程.
23(本小題滿分10分)
4—5:不等式
已知函數(shù) .
(Ⅰ)若 ,解不等式 ;
(Ⅱ)若不等式 對任意的實數(shù) 恒成立,求 的取值范圍.
泉港一中、南安國光中學(xué)高三年段兩校聯(lián)考
2018-2019學(xué)年第一學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案
一. 選擇題:DCBBD BDCCA AC
二. 解答題:
13. 4 14.
15. 16.
三.解答題
17.解:(I)設(shè)等差數(shù)列 的首項為 公差為 ,
………………3分
且 滿足上式, ……………6分
(II) …………8分
………… 分
18. Ⅰ 在 中,因為, , ,
由余弦定理得,………………2分
所以 ,
整理得 ,
解得 .
所以 .
所以 是等邊三角形.
所以. ………………6分
?、?法1:由于是 的外角,所以.
因為 的面積是,所以 .
所以 .…………8分
在 中,,
所以 .………………….10分
在 中,由正弦定理得 ,
所以 .………………12分
19.解:(Ⅰ)因為甲大棚投入50萬元,則乙大棚投入150萬元,
所以 .………………4分
(II) ,………………6分
依題意得 解得 ,
故 ( ). ………………7分
令 , ………………8分
則 ,
當(dāng) ,即 時, , ………………11分
所以投入甲大棚128萬元,乙大棚72萬元時,總收益最大,且最大收益為282萬元……12分
20.解:(Ⅰ)設(shè)射線y=17x(x≥0)與x軸的非負半軸所成的銳角為α,
則tan α=17,α∈0,π2. ………………2分
所以tan α
所以tan θ=tanα+π4=17+11-17×1=43, ………………4分
θ∈π4,π2,
所以由sin2θ+cos2θ=1,sin θcos θ=43, 得sin θ=45,cos θ=35.
所以點A的坐標(biāo)為35,45. ………………6分
(II)f(x)=3sin θ•sin 2x+2cos θ•2cos 2x
=125sin 2x+125cos 2x=1225sin2x+π4. ………………8分
由x∈0,π2,
得2x+π4∈π4,5π4,
2x+π4∈ 即x∈ 時,f(x)單調(diào)遞增,
所以f(x)在x∈ 上單調(diào)遞增在x∈ 上單調(diào)遞減………………12分
21. 解:
,
時,因為 ,所以
函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值;
當(dāng) 時,令 ,解得 ,
當(dāng)時, ;當(dāng) , .
所以函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ,單調(diào)遞增區(qū)間是,
在區(qū)間 上的極小值為,無極大值.……………4分
(II)因為 ,由 知,函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,
在區(qū)間上單調(diào)遞增,
不妨設(shè) ,則 ,
要證 ,只要證 ,即證 …………6分
因為 在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以 ,
又 ,即證 ,……………8分
構(gòu)造函數(shù) ,
即, ,……………10分
因為 ,所以 , ,即 ,
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增,故 ,
而,故,
所以 ,即 ,所以 成立.……………12分
22 圓C的極坐標(biāo)方程為 .
, , ,
圓C的直角坐標(biāo)方程為 ,
化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ………………5分
(II)設(shè)直線l的參數(shù)方程為 為參數(shù)
將l代入圓C的直角坐標(biāo)方程 中,
化簡得 ,
設(shè)A,B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為 , ,
由韋達定理知 , ,
由 , 同號 又, ,
由 可知 或 ,
或,解得 ,
,
的普通方程為
23.(Ⅰ)
所以解集為: . ………………5分
(II)
所以 的取值范圍為: . ………………10分
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