高三年級數(shù)學期中試卷考試文科
學習好了數(shù)學我們就需要多做題來參考一下,小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學,希望大家一起學習
數(shù)學高三年級期中試卷考試
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.已知 為虛數(shù)單位,若復數(shù) 是純虛數(shù),則實數(shù) 等于 ( )
A. B. C. D.
3.方程 的根的個數(shù)是 ( )
A. B. C. D.
4.等差數(shù)列 的前 項和為 ,若 ,則 ( )
A. B. C. D.
5.已知向量 , ,若 ,則 ( )
A. B. C. D.
6.將函數(shù) 圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的 倍(縱坐標不變),得到函數(shù) 的圖像,則函數(shù) 的圖像的一個對稱中心是( )
A. B. C. D.
7.若如圖的程序框圖輸出的 是 ,則①應為 ( )
A. ?
B. ?
C. ?
D. ?
8.已知某幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖均為斜邊為 的等腰直角三角形,該幾何體的頂點都在同一球面上,則此球的表面積為 ( )
A. B. C. D.
9.設 為拋物線 : 的焦點,曲線 與 交于點 , 軸,則 ( )
A. B. C. D.
10.設函數(shù) ,若 ,則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
11.若函數(shù) 的圖像上存在兩點,使得函數(shù)的圖像在這兩點處的切線互相垂直,則稱 具有 性質(zhì),下列函數(shù)中有 性質(zhì)的是 ( )
A. B. C. D.
12.已知函數(shù) ,則函數(shù) 滿足 ( )
A.最小正周期為 B.圖像關于點 對稱
C.在區(qū)間 上為減函數(shù) D.圖像關于直線 對稱
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知實數(shù) 滿足約束條件 ,則 的最小值是 .
14.設 是等差數(shù)列 的前 項和,若 , ,則公差 .
15.在 中,若 , , ,則 .
16.已知函數(shù) 是定義在 上的周期為 的奇函數(shù),當 時, ,
則 .
三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.
(一)必考題:共60分.
17.(12分)
已知正項等比數(shù)列 ,其前n項和為 滿足: , ,
(1)求 ;
(2)令 ,數(shù)列 的前n項和為 ,求 .
18. (12分)
某中學對高三年級的學生進行體質(zhì)測試,已知高三、一班共有學生30人,測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如下(單位: ):
男 女
7 16 5 7 8 9 9
9 8 17 1 8 4 5 2 9
3 5 6 18 0 2 7 5 4
1 2 4 19 0 1
1
8
5 20
21
22
男生成績不低于 的定義為“合格”,成績低于 的定義為“不合格”;女生成績不低于 的定義為“合格”,成績低于 的定義為“不合格”.
(1) 求女生立定跳遠成績的中位數(shù);
(2) 若在男生中按成績是否合格進行分層抽樣,抽取6個人,求抽取成績“合格”的男生人數(shù);
(3) 若從(2)問所抽取的6人中任選2人,求這2人中恰有1人成績“合格”的概率.
19. (12分)
已知橢圓C: 的右焦點F2和上頂點B在直線 上,過橢圓右焦點的直線交橢圓于 兩點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)求 面積的最大值.
20.(12分)
四棱錐 中, 平面 ,底面 為直角梯形, , , ,M為PA上一點,且 ,
(1)證明:PC//平面MBD;
(2)若 ,四棱錐 的體積為 ,
求直線AB與平面MBD所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函數(shù) 的圖象與直線 相切,
(1)求b的值;
(2)當 時, 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(二) 選考題:共10分.請考生在22、23題中任選一題作答.如果多做則按所做的第一題計分.
22. [選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](10分)
在直角坐標系 中,曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù));以原點
極點,以 軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線 的極坐標方程為 .
?、?求曲線 的普通方程與曲線 的直角坐標方程;
⑵ 試判斷曲線 與 是否存在兩個交點,若存在求出兩交點間的距離;若不存在,說明理由.
23. [選修4-5:不等式選講](10分)
設函數(shù) , .
⑴ 當 時,求不等式 的解集;
⑵ 對任意 恒有 ,求實數(shù) 的取值范圍.
C
A
C
A
B
D
B
B
D
B
A
D
答案:
答案:
答案:
.
17.解:(1)設公比為q(q>0)
由已知可得: 解得q=3,q=-1(舍)……………………………
,解得 , ………………………………………
………………
所以當 時, ;………………
當 時, ………………
綜上可知 ……
18.解:(1) 女生立定跳遠成績的中位數(shù) cm.…………………
(2) 男生中成績“合格”和“不合格”人數(shù)比為 ,用分層抽樣的方法抽取6個人,
則抽取成績“合格”人數(shù)為4人;…………………
(3)由(2)設成績“合格”的4人為A,B,C,D,成績“不合格”的2人為 ,從中選出2人有(A,B),(A,C),(A,D),(A, ),(A, ),(B,C),(B,D),(B, ),(B, ),(C,D),(C, ),(C, ),(D, ),(D, ),( ),共15種,…………………
其中恰有1人成績“合格”的有(A, ),(A, ),(B, ),(B, ),(C, ),(C, ),(D, ),(D, ),共8種,故所求事件概率為 .…………………
19.解:(1) 橢圓C: 的右焦點F2和上頂點B在直線 上, 橢圓的右焦點為F2(1,0),上頂點為B ,…………
故c=1,b= ,a2=b2+c2=4,∴所求橢圓標準方程為 .…………
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),直線 的方程為
聯(lián)立 得: ,…………
…………
…………
= , ,令 ,函數(shù) 在 上為增函數(shù),故當 即 時, ,此時三角形 的面積取得最小值為 .…………
20.(1)證明:連結AC交BD于N點,連結MN,則 ∽
又 , , ,
, ……………………
(2) 解:不妨設 ,因為PA=AD=3,四棱錐 的體積為 ,所以 ,解得 ;………………
設點 到平面 的距離為 ,利用體積橋, ,在 中, ,利用余弦定理可求得 ,所以 ,所以三角形 的面積 ,………………
代入 中得: ,解得 ,………………
又因為 ,所以直線AB與平面MBD所成角的正弦值為 . ………………
21.解:(1)
, 在 上為增函數(shù),且 …………………
切點的坐標為 ,將 代入 得1+b=2, b=1…………………
(2)由 , …………
令
………………
,
,顯然
………………………………………
22.解:(1) 對于曲線 有 ,對于曲線 有 .…………
(2) 顯然曲線 : 為直線,則其參數(shù)方程可寫為 ( 為參數(shù))與曲線 : 聯(lián)立,可知 ,所以 與 存在兩個交點,
由 , ,得 . …………
23. 解:(1) 當 時, ,
所以 的解集為 或 . …………
(2) ,
由 恒成立,有 ,解得
所以 的取值范圍是 . …………
高三年級數(shù)學期中上學期考試卷
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
相關公式:
1.獨立性檢驗有關數(shù)據(jù):
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合 , ,則 ( )
A. B. C. D.
2.復數(shù) 等于( )
A. B. C. D.
3.若非零向量 , 滿足 ,則 與 的夾角為( )
A. B. C. D.
4.已知 ,則 的值為( )
A. B. 或 C. D.
5.設 滿足 ,則 ( )
A.有最小值 ,無最大值 B.有最小值 ,無最大值
C.有最大值 ,無最小值 D.既無最小值,又無最大值
6. 一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A. B. C. D.12
7.右面的程序框圖表示求式子 × × × × ×
的值, 則判斷框內(nèi)可以填的條件為( )
A. B. C. D.
8. 若函數(shù) 同時滿足下列三個性質(zhì):
?、僮钚≌芷跒?;
②圖像關于直線 對稱;
?、墼趨^(qū)間 上是增函數(shù),則 的解析式可以是( )
A. B.
C. D.
9.已知等比數(shù)列 滿足 ,且 ,則當 時,
( )
A. B. C. D.
10.若直線 與圓 相切,且 為銳角,則該直線的斜率是( )
A. B. C. D.
11.若 是雙曲線 和圓 的一個交點,且, ,其中 是雙曲線 的兩個焦點,則雙曲線 的離心率為( )
A. B. C. D.
12.定義域為 的函數(shù) ,若關于 的方程 ,
恰有5個不同的實數(shù)解 等于( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.
13.已知 ,則數(shù)列 的通項公式為 .
14. 已知函數(shù) 的定義域為 ,若其值域也為 ,則稱區(qū)間 為 的保值區(qū)間.
若 的保值區(qū)間是 ,則 的值為 .
15. 已知三棱錐 的三條側棱 兩兩互相垂直,且 ,
則該三棱錐的外接球的體積為 .
16.有如下四個命題:
①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲:28,31,39,42,45,55,57,58,66;乙:29,34,35,48,42,46,55,53,55,67
則甲乙的中位數(shù)分別為45和44.
?、谙嚓P系數(shù) ,表明兩個變量的相關性較弱.
③若由一個2 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得 的觀測值 ,那么有95%的把握認為兩個變量有關.
?、苡米钚《朔ㄇ蟪鲆唤M數(shù)據(jù) 的回歸直線方程 后要進行殘差分析,相應于數(shù)據(jù) 的殘差是指 .
以上命題“錯誤”的序號是 .
三、解答題:解答應寫出必要的文字說明,證明過程或演算步驟.
17. (本小題滿分12分)
在 中,角 所對應的邊分別為 ,且滿足 = , .
(1)求 的面積;
(2)若 ,求 的值.
18.(本小題滿分12分)
某校高三文科 名學生參加了 月份的高考模擬考試,學校為了了解高三文科學生的歷史、
地理學習情況,從 名學生中抽取 名學生的成績進行統(tǒng)計分析,抽出的 名學生的地理、歷史成績?nèi)缦卤恚?/p>
歷史 地理 [80,100] [60,80) [40,60)
[80,100] 8 m 9
[60,80) 9 n 9
[40,60) 8 15 7
若歷史成績在[80,100]區(qū)間的占30%,
(1)求 的值;
(2)請根據(jù)上面抽出的 名學生地理、歷史成績,填寫下面地理、歷史成績的頻數(shù)分布表:
[80,100] [60,80) [40,60)
地理
歷史
根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)估計歷史和地理的平均成績及方差(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表),并估計哪個學科成績更穩(wěn)定.
19. (本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱 中, , 分別是 , 的中點.
(1)證明: 平面 ;
(2)設 , ,求三棱錐 的體積.
20. (本題滿分12分)
設 、 分別是橢圓 的左、右焦點.
(1)若 是該橢圓上的一個動點,求 的最大值與最小值.
(2)是否存在過點 的直線 與橢圓交于不同的兩點 ,使得 ?若存在,
求直線 的方程;若不存在,請說明理由.
21. (本小題滿分12分)
設函數(shù) ,已知曲線 在點
處的切線與直線 垂直.
(1)求 的值;
(2)求函數(shù) 的極值點.
請考生在題22,23中任選一題作答,如果多做,則按所做的的第一題計分.做題時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系 中,以 為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線 過點 ,傾斜角為 .
(1)寫出直線 的參數(shù)方程,及當 時,直線 的極坐標方程 .
(2)已知從極點 作直線 與直線 相交于點 ,在 上取一點 ,使 ,求點 的極坐標方程.
23(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù)
(1)當 時,求不等式 的解集;
(2)若 |的解集包含 ,求 的取值范圍.
高三文科數(shù)學答案
答案1-5CACAB 6-10CBADA 11-12DC
13. 14. ①② 15. 16.
17.(1)因為 , ,又由 ,得 ,
(2)對于 ,又 , 或 ,由余弦定理得 ,
18. 解:(1)∵由歷史成績在[80,100]區(qū)間的占30%,∴ ,得 ,
∴ . 3分
可得
[80,100] [60,80) [40,60)
地理 25 50 25
歷史 30 40 30
從以上計算數(shù)據(jù)來看,地理學科的成績更穩(wěn)定。………………………………12分
19.(1)略 (2)
20. 解:(Ⅰ)易知
設P(x,y),則
,
,即點P為橢圓短軸端點時, 有最小值3;
當 ,即點P為橢圓長軸端點時, 有最大值4
(Ⅱ)假設存在滿足條件的直線l易知點A(5,0)在橢圓的外部,當直線l的斜率不存在時,直線l與橢圓無交點,所在直線l斜率存在,設為k
直線l的方程為
由方程組
依題意
當 時,設交點C ,CD的中點為R ,
則
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立, 所以不存在直線 ,使得|F2C|=|F2D|
綜上所述,不存在直線l,使得|F2C|=|F2D|
21.【 解析】(1) ,所以 ,所以 .
(2) ,其定義域為 ,
,
令 , ,
?、佼?時, ,有 ,即 ,所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,故 在區(qū)間 無極值點.
?、诋?時, ,令 ,有 , ,
當 時, ,即 ,得 在 上遞減;
當 時, ,即 ,得 在 上遞增;
當 時, ,即 ,得 在 上遞減,
此時 有一個極小值點 和一個極大值點 .
?、郛?時, ,令 ,有 ,
當 時, ,即 ,得 在 上遞增;
當 時, ,即 ,得 在 上遞減,
此時 有唯一的極大值點 .
綜上可知,當 時,函數(shù) 有一個極小值點 和一個極大值點 ;
當 時,函數(shù) 在 無極值點;
當 時,函數(shù) 有唯一的極大值點 ,無極小值點.
22.(1) ( 為參數(shù)) ( 為參數(shù)) 的極坐標方程為
設點 , , , , , ,即點 的軌跡方程為 。
23.答案(1) ; (2)
高三年級數(shù)學期末試卷文科
參考公式:
三角函數(shù)的和差化積公式
正棱臺、圓臺的側面積公式
其中c’、c分別表示上、下底面周長,l表示斜高或母線長臺體的體積公式
其中S’、S分別表示上、下底面面積,h表示高
一、選擇題:本題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請把你認為正確的選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。
(1)設集合 ,若 ,則a的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)已知二面角 ,直線 , ,且a與l不垂直,b與l不垂直,那么( )
(A)a與b可能垂直,但不可能平行 (B)a與b可能垂直,也可能平行
(C)a與b不可能垂直,但可能平行 (D)a與b不可能垂直,也不可能平行
(3)函數(shù) 在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,函數(shù) 解析式為( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)若橢圓 ,雙曲線 有相同的焦點 , ,P是兩曲線的交點,則 的值是( )
(A) (B) (C)a-m (D)b-n
(5)如圖,O為直二面角 的棱MN上的一點,射線OE,OF分別在 內(nèi),且∠EON=∠FON=45°,則∠EOF的大小為( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
(6)在等差數(shù)列 中, ,公差d<0,前n項和是 ,則有( )
(A) (B)
(C) (D)
(7)8種不同的商品,選出5種放入5個不同的柜臺中,如果甲、乙兩種商品不能放入第5號柜臺中,那么不同的放法共有( )
(A)3360種 (B)5040種 (C)5880種 (D)2160種
(8)下列四個命題:
?、贊M足 的復數(shù)只有 ;
②若a,b是兩個相等的實數(shù),則 是純虛數(shù);
?、蹚?的充要條件是 ;
?、軓推矫鎯?nèi)x軸即實軸,y軸即虛軸。
其中正確的有( )
(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個
(9)在 中, ,則角C等于( )
(A) (B)
(C) (D)
(10)過拋物線 的焦點作直線與此拋物線交于P,Q兩點,那么線段PQ中點的軌跡方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷(非選擇題共100分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分。把答案填在題中橫線上。
(11)已知 ,則 =________________。
(12)在一個棱長為 的正四面體內(nèi)有一點P,它到三個面的距離分別是1cm,2cm,3cm,則它到第四個面的距離為_______________cm。
(13)設等比數(shù)列 的前n項和為 ,前n+1項的和為 ,則 =___________________。
(14)拋物線 和圓 上最近兩點的距離是_________________。
三、解答題:本大題共6小題,共84分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
(15)(本小題滿分14分)解關于x的不等式 ,(a>0且a≠1)。
(16)(本小題滿分14分)
已知:定義在R上的函數(shù) 為奇函數(shù),且在 上是增函數(shù)。
(Ⅰ)求證: 在 上也是增函數(shù);
(Ⅱ)對任意 ,求實數(shù)m,使不等式 恒成立。
(17)(本小題滿分14分)
在長方體ABCD— 中,AB=2, ,E為 的中點,連結ED,EC,EB和DB。
(Ⅰ)求證:平面EDB⊥平面EBC;
(Ⅱ)求二面角E-DB-C的正切值;
(Ⅲ)求異面直線EB和DC的距離。
(18)(本小題滿分14分)
某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池(平面圖如圖所示),池的深度一定,池的外圈周壁建造單價為每米400元,中間一條隔壁建造單價為每米100元,池底建造單價每平方米60元(池壁厚度忽略不計)。
(Ⅰ)設污水處理池的長為x米時,寫出總造價f(x)的解析式;
(Ⅱ)污水處理池的長設計為多少米時,可使總造價最低。
(19)(本小題滿分14分)
已知橢圓c: ,將橢圓c平移,中心移到點(1,2),成為橢圓c’。
(Ⅰ)求橢圓c’的方程;
(Ⅱ)橢圓c’上存在關于直線 對稱的不同的兩點,求出m的范圍。
(20)(本小題滿分14分)
已知函數(shù) ,滿足條件:
?、?;② ;③ ;
?、墚攛>y時,有 。
(Ⅰ)求f(1),f(3)的值;
(Ⅱ)由f(1),f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式;
(Ⅲ)證明你猜想的f(n)的解析式的正確性。
高三期末試卷
一、選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D C C A B A C D
二、填空題
11. 12.4 13. 14.
三、解答題
15.解:當a>1時,原不等式等價于 。……………………2分
…………………………………………………………4分
解得 。………………………………………………………………6分
∴原不等式的解集為 。……………………………………8分
或 ……………………………………12分
解得 或x>2。
∴原不等式的解集為 。…………………………………………14分
16.(Ⅰ)證明:設 ,且 ,則 ,且 。
…………………………2分
∵ 在 上是增函數(shù),
∴ …………………………………………………………4分
又 為奇函數(shù),∴ ……………………………………6分
∴ 。
∴ 在 上也是增函數(shù)。…………………………………………8分
(Ⅱ)∵函數(shù) 在 和 上是增函數(shù),且 在R上是奇函數(shù)
∵ 在 上是增函數(shù)。…………………………………………10分
∵ ,
∴ 。
,
,………………………………………………12分
,
。
∵當 時, 的最大值為 ,
∴當 時,不等式恒成立。…………………………………………14分
17.(Ⅰ)證明:在長方體ABCD- 中,AB=2, ,E為 的中點。
∴ 為等腰直角三角形, 。
同理 。
∴ ,即DE⊥EC。……………………………………………2分
在長方體ABCD- 中,BC⊥平面 ,又DE 平面 ,
∴BC⊥DE。……………………………………………………………………4分
又 ,
∴DE⊥平面EBC。
∵平面DEB過DE,
∵平面DEB⊥平面EBC。……………………………………………………5分
(Ⅱ)解:如圖,過E胡平面 中作EO⊥DC于O。
在長方體ABCD- 中,
∵面ABCD⊥面 ,
∴EO⊥面ABCD。
過O在平面DBC中作OF⊥DB于F,連結EF
∴EF⊥BD。
∠EFO為二面角E-DB-C的平面角。………………………………7分
利用平幾知識可得
。…………………………10分
(Ⅲ)解:E在 上,B在AB上,在長方體ABCD- 中, ,
∴EB在平面 內(nèi)。
又∵DC//AB
∴DC//平面 。
直線DC到平面 的距離就等于異面直線DC和EB的距離。………………12分
在長方體ABCD- 中,平面 ⊥平面 ,連結 ,在平面 中,過C作 。
CH⊥平面 ,CH為所求的距離。
∴ 。…………………………………………………………14分
18.(Ⅰ)解:設污水處理池的長為x米,則寬為 米。………………………2分
總造價 。…………………4分
(Ⅱ)
=36000(元)………………………………………………………………10分
當且僅當 時,即x=15等號成立。…………………………………12分
答:當污水處理池的長為15米(寬為 米)時,總造價最低。………………14分
19.(Ⅰ)解:橢圓c’的方程為 。…………………………4分
(Ⅱ)解:設 為橢圓c’上關于直線l對稱的不同的兩點,AB的中點為 ,則有
……………………………………8分
(2)-(1)得 (5) ………………………10分
(3)代入(5)得 (6)。
由(4)與(6)得: 。…………………………………12分
∵M在c’內(nèi)
∴ 。
解得 。…………………………………………………………………14分
20.(Ⅰ)解:∵ ,又 ,
∴ 。…………………………………………………………………………2分
又∵ ,…………………………………………4分
,且 。
∴ 。…………………………………………………………………………5分
(Ⅱ)解:由 猜想 。…………8分
(Ⅲ)用數(shù)學歸納法證明:
(1)當n=1時,f(1)=1,函數(shù)解析式成立;
(2)假設 時, ,函數(shù)解析式成立;
?、偃?,
。………………10分
?、谌?,
,
。
∴ 。……………………………………12分
即 時,函數(shù)解析式成立。
綜合(1)(2)可知, 成立。……………………14分
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