高三數(shù)學(xué)上冊期末考試試卷
數(shù)學(xué)是一個很多同學(xué)學(xué)習(xí)不好的一門科目，大家努力一點就可以了，小編今天下面就給大家整理高三數(shù)學(xué)，要好好閱讀哦
關(guān)于高三數(shù)學(xué)文上冊期末試卷
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
(1)若集合 ， ，則
(A) (B) (C) (D)
(2)下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是
(A) (B) (C) (D)
(3)在平面直角坐標系 中，角 以 為始邊，終邊在射線 上，則 的值是
(A) (B) (C) (D)
(4)若 滿足 則 的最小值為
(A) (B) (C) (D)
(5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入 ，那么輸出的
值為
(A) (B)
(C) (D)
(6)設(shè) 為實數(shù)，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
(7)某三棱錐的三視圖如圖所示，在此三棱錐的六條棱中，最長棱的長度
為
(A)2 (B)
(C) (D)3
(8)地震里氏震級是地震強度大小的一種度量. 地震釋放的能量 (單位：焦耳)與地震里氏震級 之
間的關(guān)系為 . 已知兩次地震里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為 和 ，則 的值所在的區(qū)間為
(A) (B) (C) (D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
( 9 )已知向量 ， ，若 ，則 .
(10)在 中，已知 ， ， ，則 .
(11)若等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 ， ，試寫出一組滿足條件的數(shù)列 和 的通項公式: ， .
(12)過雙曲線 的右焦點 作垂直于 軸的直線，交雙曲線于 兩點， 為坐標原點，若 為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率 _________.
(13)小菲在學(xué)校選修課中了解到艾賓浩斯記憶曲線，
為了解自己記憶一組單詞的情況，她記錄了
隨后一個月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制散點圖，擬合
了記憶保持量與時間(天)之間的函數(shù)關(guān)系：
某同學(xué)根據(jù)小菲擬合后的信息得到以下結(jié)論：
① 隨著時間的增加，小菲的單詞記憶保持量降低;
② 9天后，小菲的單詞記憶保持量低于 ;
?、?26天后，小菲的單詞記憶保持量不足 .
其中正確的結(jié)論序號有 . (注：請寫出所有正確結(jié)論的序號)
(14)已知函數(shù) ， .若 ，都有 ，則a的最大值為______;此時ω=_______.
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
(15)(本小題13分)
已知等差數(shù)列 滿足
D D 的通項公式;
(Ⅱ) 若 ,求數(shù)列 的前n項和.
(16)(本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求 的最小正周期;
(Ⅱ) 求證：對于任意的 ，都有 .
(17)(本小題13分)
某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生課外閱讀時間，從中隨機抽取了50名學(xué)生，收集了他們2018年10月課外閱讀時間(單位：小時)的數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進行整理，分為5組： ， ， ， ， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)試估計該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時間不小于16小時的學(xué)生人數(shù);
(Ⅱ)已知這50名學(xué)生中恰有2名女生的課外閱讀時間在 ，現(xiàn)從課外閱讀時間在 的樣
本對應(yīng)的學(xué)生中隨機抽取2人，求至少抽到1名女生的概率;
(Ⅲ)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，試估計該校學(xué)生2018年10月課外閱讀時間
的平均數(shù).
(18)(本小題14分)
如圖，三棱柱 中，側(cè)棱垂直于底面， ， ， ， 為 中點.
(I) 求證： 平面 ;
(II) 求三棱錐 的體積;
(III) 設(shè)平面 與直線 交于點 ，求線段 的長.
(19)(本小題13分)
已知函數(shù) ，a∈R.
(Ⅰ) 當 時，求曲線 在點 處的切線方程;
(Ⅱ) 求 的單調(diào)區(qū)間.
(20)(本小題14分)
已知橢圓 的離心率為 ，其左焦點為 .直線 交橢圓 于不同的兩點 ，直線 與橢圓 的另一個交點為 .
(I)求橢圓 的方程;
(II)當 時，求 的面積;
(III)證明：直線 與 軸垂直.
高三數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分標準
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)
(1)C (2)D (3)A (4)B
(5)B (6)A (7)D (8)B
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)
(9) (10)
(11) , (答案不唯一) (12)
(13)①② (14)4，
三、解答題(共6小題，共80分)
(15)(共13分)
解：(I)設(shè) 的公差為 ,
因為 ， 所以 .
所以
解得 .
所以 ……………………………..7分
(Ⅱ)由(I)知， ，
所以 的前n項和為
=
= . ……………………..13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)
. ……………………………..5分
所以 的最小正周期 . ……………………………..7分
(Ⅱ)因為 ，所以 .
所以 .
所以
所以 .
所以對于任意的 ，都有 . ……………………………..13分
(17)(共13分)
解：(Ⅰ) ，
即課外閱讀時間不小于 小時的樣本的頻率為 .
因為 ，
所以估計該校所有學(xué)生中，2018年10月課外閱讀時間不小于 小時的學(xué)生人數(shù)為
. …………………………………………………………………………………………….5分
(Ⅱ)閱讀時間在 的樣本的頻率為 .
因為 ，即課外閱讀時間在 的樣本對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)為 .
這 名學(xué)生中有 名女生， 名男生，設(shè)女生為 ， ，男生為 ， ， ，
從中抽取 人的所有可能結(jié)果是：
， ， ， ， ，
， ， ， ， .
其中至少抽到 名女生的結(jié)果有 個，
所以從課外閱讀時間在 的樣本對應(yīng)的學(xué)生中隨機抽取 人，至少抽到 名女生的所求概率為 . ……………………………..11分
(Ⅲ)根據(jù)題意， (小時).
由此估計該校學(xué)生 年10月課外閱讀時間的平均數(shù)為 小時 …………….13分
(18)(共14分)
解：(Ⅰ)因為三棱柱 中，側(cè)棱垂直于底面，
所以 平面 .
因為 平面 ，
所以 .
又因為 ， ，
所以 平面 .
因為 平面 ，
所以 .
因為 ，所以四邊形 為菱形.
所以 .
因為 ，
所以 平面 . ……………………………..5分
(Ⅱ) 由已知， 平面 ， 平面 ，
所以 .
因為 ， ，
所以 平面 .
又 ，故 到平面 的距離為 .
因為 為 中點，所以 點到平面 距離為 .
所以 .……..9分
(Ⅲ)在三棱柱 中，
因為 ， 為平面 與平面 的公共點，
所以平面 平面 .
因為平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又平面 平面 ,
所以 .
又 ，所以 .
因為 為 中點, 所以 為 中點 .
所以 .………………………..14分
(19)(共13分)
解：(Ⅰ) 的定義域為 ,
.
當 時， ， ，
所以曲線 在點 處的切線方程為 .………………………..7分
(Ⅱ) .
(1) 當 時， ，
所以當 時， ;當 時， .
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為(–∞，–1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(–1，+∞).
(2) 當 時，令 ，得 ， .
?、佼?，即 時， ，
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為(–∞，+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間;
?、诋?，即 時，
當 時， ;當 時， .
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ;
?、郛?，即 時，
當 時， ;當 時， .
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ， . …………………………………………………………………………………………13分
(20)(共14分)
解：(I) 由已知有 解得
所以橢圓 的方程為 . ……………………………………5分
(II)由 消去 ，整理得 .
由已知， ，解得 .
設(shè) ，則
直線 的方程為 ， 到直線 的距離 .
所以 的面積為 . …………………………………10分
(III)當 時， .
此時直線 的斜率為 ，由(II)知不符合題意，所以 .
設(shè)直線 的斜率為 .
則直線 的方程為 .
由 消去 ，整理得 .
設(shè) ，則有 .
由 得 ，代入上式整理得 ，
解得 .
因為 ，
將 ， 代入，整理得 ，
所以 . 所以直線 與 軸垂直. ……………………………………14分
高三數(shù)學(xué)理上冊期末試卷參考
第一部分 (選擇題 共40分)
一、 選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1.已知集合 ， ，那么
(A)
(B)
(C)
(D)
2.若復(fù)數(shù) 的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)
(A)3 (B)
(C)
(D)
3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 的值為
(A)
(B)
(C)
(D)
4.已知等差數(shù)列 中， ， .
若 ，則數(shù)列 的前5項和等于
(A)30 (B)45
(C)90 (D)186
5.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的
棱中，最長的棱的長度為
(A)2 (B)
6.設(shè) ， 是非零向量，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
7.一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿 通過 處的鉸鏈與固定好的短桿 連接，取一條定長的細繩，一端固定在點 ，另一端固定在點 ，套上鉛筆(如圖所示).作圖時，使鉛筆緊貼長桿 ，拉緊繩子，移動筆尖 (長桿 繞 轉(zhuǎn)動)，畫出的曲線即為雙曲線的一部分.若 ， ，細繩長為8，則所得雙曲線的離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
8.如圖，在棱長為2的正方體 中， 分
別是棱 的中點， 是底面 內(nèi)一動點，若直線
與平面 不存在公共點，則三角形 的面積的最小值
為
(A)
(B)1
(C)
(D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9.在極坐標系中，圓C： 的圓心到點 的距離為____.
10. 展開式中 的系數(shù)為____.
11.能夠說明“設(shè) 是任意非零實數(shù).若 ，則 ”是假命題的一組整數(shù) 的值依次為____.
12.若 滿足 則 的最大值為____.
13.動點 在圓 上沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周.已知時間 時，點 的坐標是 ，則當 時，動點 的縱坐標 關(guān)于 (單位：秒)的函數(shù)的值域為____.
14.已知函數(shù)
?、?若 ，則函數(shù) 的零點有____個;
② 若存在實數(shù) ，使得函數(shù) 總有三個不同的零點，則實數(shù) 的取值范圍是____.
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
15.(本小題13分)
在 中，角 的對邊分別為 ， ， ， .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的面積.
16.(本小題14分)
如圖，在四棱錐 中，底面 為正方形，側(cè)棱 底面 ， 為棱 的中點， .
(Ⅰ)求證： ;
(Ⅱ)求直線 與平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
17.(本小題13分)
2018年11月5日上午，首屆中國國際進口博覽會拉開大幕，這是中國也是世界上首次以進口為主題的國家級博覽會.本次博覽會包括企業(yè)產(chǎn)品展、國家貿(mào)易投資展.其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個展區(qū)，每個展區(qū)統(tǒng)計了備受關(guān)注百分比，如下表：
展區(qū)類型 智能及高端裝備 消費電子及家電 汽車 服裝服飾及日用消費品 食品及農(nóng)產(chǎn)品 醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健 服務(wù)貿(mào)易
展區(qū)的企業(yè)數(shù)(家) 400 60 70 650 1670 300 450
備受關(guān)注百分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24%
備受關(guān)注百分比指：一個展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注(簡稱備受關(guān)注)的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值.
(Ⅰ)從企業(yè)產(chǎn)品展7個展區(qū)的企業(yè)中隨機選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率;
(Ⅱ)從“消費電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪.
(i)記 為這2家企業(yè)中來自于“消費電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù)，求隨機變量 的分布列;
(ii)假設(shè)表格中7個展區(qū)的備受關(guān)注百分比均提升10%.記 為這2家企業(yè)中來自于“消費電子及家電”展區(qū)的企業(yè)數(shù).試比較隨機變量 的均值 和 的大小.(只需寫出結(jié)論)
18.(本小題14分)
已知橢圓C: 的右焦點為 ，離心率為 ，直線 與橢圓C交于不同兩點 ，直線 分別交 軸于 兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證： .
19.(本小題13分)
設(shè)函數(shù) .
(Ⅰ)當 時，求證： ;
(Ⅱ)如果 恒成立，求實數(shù) 的最小值.
20.(本小題13分)
將 階數(shù)陣 記作 (其中，當且僅當 時， ).如果對于任意的 ，當 時，都有 ，那么稱數(shù)陣 具有性質(zhì) .
(Ⅰ)寫出一個具有性質(zhì) 的數(shù)陣 ，滿足以下三個條件：① ，②數(shù)列 是公差為2的等差數(shù)列，③數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列;
(Ⅱ)將一個具有性質(zhì)A的數(shù)陣 的每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個新的 階數(shù)陣，記作數(shù)陣 .試判斷數(shù)陣 是否具有性質(zhì)A，并說明理由.
高三數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分參考
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C D A D C
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空3分，第二空2分)
9. 10. 11. 滿足 且 即可
12.1 13. 14.2; 且
三、解答題(共6小題，共80分)
15.(共13分)
解：(Ⅰ)在△ 中，因為 ， ， ，
由余弦定理 ， ……………….2分
可得 ， ……………….4分
所以 ，或 (舍). ……………….6分
(Ⅱ)因為 ，
所以 .
所以 的面積 . …………….13分
16.(共14分)
解：(Ⅰ)因為 底面 ， 底面 ，
所以 ，
正方形 中 ，
又因為 ，
所以 平面 ，
因為 平面 ，
所以 . …………….4分
(Ⅱ)正方形 中 ，側(cè)棱 底面 .
如圖建立空間直角坐標系 ，不妨設(shè) .
依題意，則 ，
所以 .
設(shè)平面 的法向量 ，
因為 ，
所以 .
令 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 ; ………………11分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 平面 ，所以 為平面 的法向量，
因為 ， 且二面角 為銳角，
所以二面角 的余弦值為 . …………………14分
17.(共13分)
解：(Ⅰ)7個展區(qū)企業(yè)數(shù)共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)共 家，
設(shè)從各展區(qū)隨機選1家企業(yè)，這家企業(yè)是備受關(guān)注的智能及高端裝備為事件A,
所以 . ………………4分
(Ⅱ)消費電子及家電備受關(guān)注的企業(yè)有 家，
醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健備受關(guān)注的企業(yè)有 家，共36家.
的可能取值為0，1，2.
所以隨機變量 的分布列為：
0 1 2
………………11分
(Ⅲ) ………………13分
18.(共14分)
解：(Ⅰ)由題意得 解得
所以橢圓C的方程為 ………………5分
(Ⅱ)設(shè) .
由 得
依題意 ，即 .
則 ………………8分
因為
.
所以直線 的傾斜角與直線 的傾斜角互補，即 .
因為 ，所以 . …………………14分
19.(共13分)
解：(Ⅰ)因為 ，所以 .
當 時， 恒成立，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以 . . .. …… …….5分
(Ⅱ)因為 ，
所以 .
①當 時，由(Ⅰ)知， 對 恒成立;
?、诋?時，因為 ，所以 .
因此 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以 對 恒成立;
?、郛?時，令 ，則 ，
因為 ，所以 恒成立，
因此 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
且 ，
所以存在唯一 使得 ，即 .
所以任意 時， ，所以 在 上單調(diào)遞減.
所以 ，不合題意. . .. …… …….12分
綜上可知， 的最小值為1. . .. …… …….13分
20.(共13分)
解：(Ⅰ) (答案不唯一). . .. …… …….4分
(Ⅱ)數(shù)陣 具有性質(zhì)A.
只需證明，對于任意的 ，都有 ，其中 .
下面用反證明法證明：
假設(shè)存在 ，則 都大于 ，即在第 列中，至少有 個數(shù)大于 ，且 .
根據(jù)題意，對于每一個 ，都至少存在一個 ，使得 ，即在第 列中，至少有 個數(shù)小于 .
所以，第 列中至少有 個數(shù)，這與第 列中只有 個數(shù)矛盾.
所以假設(shè)不成立.
所以數(shù)陣 具有性質(zhì)A. . .. …… …….13分
高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷帶答案
第一部分 (選擇題 共40分)
一、 選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1.已知集合 ， ，那么
(A)
(B)
(C)
(D)
2.復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 的值為
(A)
(B)
(C)
(D)
4.若 滿足 則 的最大值是
(A)
(B)
(C)1 (D)4
5.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的
棱中，最長的棱的長度為
(A)2
(B)
(C)
(D)
6.設(shè) 是非零向量，則“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
7.已知拋物線 的焦點與橢圓 的一個焦點重合，且橢圓截拋物線的準線所得線段長為6，那么該橢圓的離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
8.如圖，在平面直角坐標系 中， 是正六邊形
的中心，若 ，則點 的縱坐標
為
(A)
(B)
(C)
(D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9.已知函數(shù) 的圖象過點 ，那么 ____.
10.在△ 中，角 的對邊分別為 .若 ，且 ，則 ____.
11.能夠說明“設(shè) 是任意非零實數(shù).若 ，則 ”是假命題的一組整數(shù) 的值依次為____.
12.已知雙曲線 的一個焦點是 ，那么雙曲線 的漸近線方程為____.
13.已知兩點 ， ，動點 滿足 .若 為直線 上一動點，則 的最小值為____.
14.已知函數(shù)
① 若 ，則函數(shù) 的零點有____個;
② 若 對任意的實數(shù)x都成立，則實數(shù) 的取值范圍是____.
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
15.(本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求證：當 時， .
16.(本小題13分)
已知等差數(shù)列 和等比數(shù)列 滿足 ， .
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式;
(Ⅱ)求和： .
17.(本小題14分)
如圖，在四棱柱 中，底面 為正方形，側(cè)棱 底面 ， 為棱 的中點， ， .
(Ⅰ)求證： 平面 ;
(Ⅱ)求證： ;
(Ⅲ)求三棱錐 的體積.
18.(本小題13分)
2018年11月5日上午，首屆中國國際進口博覽會拉開大幕，這是中國也是世界上首次以進口為主題的國家級博覽會.本次博覽會包括企業(yè)產(chǎn)品展、國家貿(mào)易投資展.其中企業(yè)產(chǎn)品展分為7個展區(qū)，每個展區(qū)統(tǒng)計了備受關(guān)注百分比，如下表：
展區(qū)類型 智能及高端裝備 消費電子及家電 汽車 服裝服飾及日用消費品 食品及農(nóng)產(chǎn)品 醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健 服務(wù)貿(mào)易
展區(qū)的企業(yè)數(shù)(家) 400 60 70 650 1670 300 450
備受關(guān)注百分比 25% 20% 10% 23% 18% 8% 24%
備受關(guān)注百分比指：一個展區(qū)中受到所有相關(guān)人士關(guān)注(簡稱備受關(guān)注)的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的企業(yè)數(shù)的比值.
(Ⅰ)從企業(yè)產(chǎn)品展7個展區(qū)的企業(yè)中隨機選取1家，求這家企業(yè)是選自“智能及高端裝備”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率;
(Ⅱ)某電視臺采用分層抽樣的方法，在“消費電子及家電”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中抽取6家進行了采訪，若從受訪企業(yè)中隨機抽取2家進行產(chǎn)品展示，求恰有1家來自于“醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健”展區(qū)的概率.
19.(本小題14分)
已知橢圓C: 的右焦點為 ，離心率為 ，直線 與橢圓C交于不同兩點 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求證：直線 的傾斜角與直線 的傾斜角互補.
20.(本小題13分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線 在點 處的切線方程;
(Ⅱ)求證：當 時， .
(考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)
高三數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分參考 2019.01
一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D D A D C
二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空3分，第二空2分)
9. 10. 11.滿足 且 即可
12. 13. 14.2;
三、解答題(共6小題，共80分)
15.(共13分)
解：(Ⅰ)因為
所以 . ……………….6分
(Ⅱ)證明：因為 ，
所以 .
當 時，
即 時， 取得最小值 .
所以當 時， . ……………….13分
16.(共13分)
解：(Ⅰ)因為 ……………….2分
所以 ……………….4分
從而 . ………………6分
(Ⅱ)因為 ………………8分
所以 ………………10分
所以 ， ………………11分
所以 . ………………13分
17.(共14分)
解：(Ⅰ)設(shè) ， 連接 ，
因為 中， ， 分別為 ， 的中點，
所以 為 的中位線，即 ， ………………2分
因為 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………4分
(Ⅱ)因為 側(cè)棱 底面 ， 底面 ，
所以 ， ………………5分
因為 底面 為正方形，
所以 ， ………………6分
因為 ，
所以 平面 ， ……………… 8分
因為 平面 ，
所以 . ………………10分
(Ⅲ)因為 側(cè)棱 底面 于 ， 為棱 的中點，
所以 為三棱錐 的高.
因為 ，
所以 .
因為 ，
所以 .
所以 ， ………………14分
18.(共13分)
解：(Ⅰ)7個展區(qū)企業(yè)數(shù)共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，
其中備受關(guān)注的智能及高端裝備企業(yè)共 家，
設(shè)從各展區(qū)隨機選1家企業(yè)，這家企業(yè)是備受關(guān)注的智能及高端裝備為事件A，
所以 . ………………5分
(Ⅱ)消費電子及家電展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)有 家，醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)有 家，共36家.
所以抽取的6家企業(yè)中，來自消費電子及家電展區(qū)企業(yè)有 家，記為 ， ;來自醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)企業(yè)有 家，記為 ， ， ， .
抽取兩家進行產(chǎn)品展示的企業(yè)所有可能為：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15種;
其中滿足恰有1家來自于醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)的有 ， ， ， ， ， ， ， ，共8種;
設(shè)恰有1家來自于醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健展區(qū)為事件 ，
所以 . ………………13分
19.(共14分)
解：(Ⅰ)由題意得 解得
所以橢圓C的方程為 …………………5分
(Ⅱ)設(shè) .
由 得
依題意 ，即 .
則 …………………8分
當 或 時，得 ，不符合題意.
因為
.
所以直線 的傾斜角與直線 的傾斜角互補. …………………14分
20.(共13分)
解：(Ⅰ)因為 .
所以 ， ，
所以曲線 在點 處的切線方程 .
整理得： ………………5分
(Ⅱ)先證 .
因為 ， ，
所以 .
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以 ，
即 .① ………………8分
再證 .
設(shè) ，
則 ，
設(shè) ，
則 ，由①可知 ，
所以 在 上單調(diào)遞減， .
所以 時， .
所以 在 上單調(diào)遞減， .
即 .②
綜合①②可知:當 時， . ………………13分
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